Lời giải:

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:

$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$

$\Rightarrow \sin B=\frac{AC.\sin A}{BC}=\frac{5,2.\sin {40}^o}{3,6}\approx 0,93$

$\Rightarrow \hat{B}\approx 68,2^o$ hoặc $\hat{B}\approx 111,8^o$

Trường hợp 1: $\hat{B}\approx 68,2^o$

Ta có: $\hat{C}={180}^o-(\hat{A}+\hat{B})={180}^o-({40}^o+68,2^o)=71,8^o$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:

$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$

$\Rightarrow AB=\sin C.\frac{BC}{\sin A}=\sin 71,8^o.\frac{3,6}{\sin {40}^o}\approx 5,32$

Trường hợp 2: $\hat{B}\approx 111,8^o$

Ta có: $\hat{C}={180}^o-(\hat{A}+\hat{B})={180}^o-({40}^o+111,8^o)=28,2^o$

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:

$\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$

$\Rightarrow AB=\sin C.\frac{BC}{\sin A}=\sin 28,2^o.\frac{3,6}{\sin {40}^o}\approx 2,65$

Vậy AB = 5,32 hoặc AB = 2,65.

Bài tập vận dụng:

Bài 1. Một hành khách ngồi trong máy bay, bay ở độ cao 10 km nhìn xuống hai thị trấn dưới mặt đất. Góc hợp bởi phương ngang và hai thị trấn lần lượt là 28° và 55° (hình vẽ). Tính khoảng cách giữa hai thị trấn.

Hướng dẫn giải:

Đề bài yêu cầu chúng ta tính độ dài CD.

Ta có $\widehat{\mathrm{CAD}}$= 55° – 28° = 27°.

          $\widehat{\mathrm{OAC}}$= 90° – 55° = 35°.

Và cos$\widehat{\mathrm{OAC}}$= $\frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{AC}}$. Do đó, AC = $\frac{\mathrm{AO}}{\cos \widehat{\mathrm{OAC}}}$= $\frac{10}{\cos 35°}$≈ 12,2km.

$\widehat{\mathrm{ACO}}$= 180° – $\widehat{\mathrm{AOC}}$– $\widehat{\mathrm{OAC}}$= 180° – 90° – 35° = 55°

Trong tam giác ACD có $\widehat{\mathrm{ACD}}$= 180° – $\widehat{\mathrm{OAC}}$= 125°

Và $\widehat{\mathrm{ADC}}$= 180° – ($\widehat{\mathrm{ACD}}$+$\widehat{\mathrm{CAD}}$) = 180° – (125° + 27°) = 28°.

Áp dụng định lí sin trong tam giác ACD, ta có:

$\frac{\mathrm{CD}}{\sin 27°}=\frac{\mathrm{AC}}{\sin 28°}$⇔ CD = $\frac{12,2\sin 27°}{\sin 28°}$≈ 11,79km.

Vậy khoảng cách giữa hai thị trấn là 11,79km.

Bài 2. Một cây cột điện cao 20 m được đóng trên một triền dốc thẳng nghiêng hợp với phương nằm ngang một góc 17°. Người ta nối một dây cáp từ đỉnh cột điện đến cuối dốc. Tính chiều dài của dây cáp biết rằng đoạn đường từ đáy cọc đến cuối dốc bằng 72 m (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2).

Hướng dẫn giải:

Bài toán được mô phỏng lại như hình vẽ với A, B lần lượt là điểm cuối dốc, chân của triền dốc; C, D lần lượt là chân và đỉnh của cây cột điện.

Suy ra chiều dài của dây cáp là đoạn AD.

Theo bài ra ta có: CD = 20 m, AB = 72 m, $\widehat{\mathrm{CAB}}$= 17°, $\widehat{\mathrm{ABD}}$= 90°.

$\widehat{\mathrm{ACB}}$= 180° – $\widehat{\mathrm{CAB}}$ – $\widehat{\mathrm{ABD}}$ = 180° – 17° – 90° = 73° (tổng ba góc một tam giác bằng 180°).

$\widehat{\mathrm{ACD}}$ = 180° – $\widehat{\mathrm{ACB}}$= 180° – 73° = 107°

Tam giác ABC vuông tại B ⇒ AC = $\frac{\mathrm{AB}}{\cos \widehat{\mathrm{CAB}}}$= $\frac{72}{\cos 17°}$≈ 75,3 (m)

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ACD, ta có:

AD² = AC² + CD² – 2AC.CD.$\cos \widehat{\mathrm{ACD}}$

         = (75,3)² + 20² – 2.75,3.20.cos107° ≈ 6950,7

AD = 83,4m

Vậy chiều dài của dây cáp là 83,4m.

Câu 1. Tam giác ABC có a = 21, b = 17, c = 10. Diện tích của tam giác ABC bằng:

A. ${\mathrm{S}}_{\mathrm{\Delta ABC}}=16$;     

B. ${\mathrm{S}}_{\mathrm{\Delta ABC}}=48$;    

C. ${\mathrm{S}}_{\mathrm{\Delta ABC}}=24$;    

D. ${\mathrm{S}}_{\mathrm{\Delta ABC}}=84$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có:

Nửa chu vi của tam giác ABC là:

$\mathrm{p}=\frac{21+17+10}{2}=24$ (đvđd).

Do đó

Diện tích tam giác ABC là:

 $\mathrm{S}=\sqrt{\mathrm{p}\left(\mathrm{p}-\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{p}-\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{p}-\mathrm{c}\right)}=\sqrt{24.\left(24-21\right).\left(24-17\right).\left(24-10\right)}=84$ (đvdt).