a) Hãy chỉ ra ít nhất hai nghiệm của bất phương trình trên.

b) Với y=0, có bao nhiêu giá trị của x thỏa mãn bất phương trình đã cho?

Phương pháp giải:

a) Thử các giá trị x và y và thay vào bất phương trình $x+2y\ge 0$, nếu bất phương trình đúng thì cặp (x;y) đó là một nghiệm của bất phương trình.

b) Thay y=0 vào bất phương trình $x+2y\ge 0$ sau đó tìm các giá trị của x.

Lời giải:

a)

+) Ta thử với cặp số (x;y)=(0;0):

Thay x=0 và y=0 vào bất phương trình $x+2y\ge 0$, ta được: (Đúng)

$0+2.0\ge 0\iff 0\ge 0$(Đúng)

=> (0;0) là một nghiệm của bất phương trình $x+2y\ge 0$

+) Ta thử với cặp số (1;1):

Thay x=1, y=1 vào bất phương trình $x+2y\ge 0$ ta được:

$1+2.1\ge 0\iff 3\ge 0$(Đúng)

=>  (1;1) là một nghiệm của bất phương trình $x+2y\ge 0$

Như thế ta đã tìm được 2 nghiệm của bất phương trình đã cho là (0;0) và (1;1).

b)

Thay y=0 vào bất phương trình $x+2y\ge 0$ ta được:

$x+2.0\ge 0\iff x\ge 0$

Ta thấy bất phương trình bài cho tương đương với bất phương trình nên số giá trị của x thỏa mãn bất phương trình đã cho là số x thỏa mãn điều kiện .

Mà ta có vô số giá trị của x thỏa mãn nên có vô số giá trị của x thỏa mãn bất phương trình đã cho.

Chú ý:

Ta có thể thử các cặp số khác đối với câu a, miễn là cặp số đấy làm cho bất phương trình đúng.

2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bật nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ

HĐ3 trang 22 Toán lớp 10: Cho đường thẳng d: 2x - y = 4 trên mặt phẳng toạ độ Oxy (H.2.1). Đường thẳng này chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng.

a) Các điểm 0,0; 0), A(-1; 3) và B(-2; -2) có thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d không?

Tính giá trị của biểu thức 2x - y tại các điểm đó và so sánh với 4.

b) Trả lời câu hỏi tương tự như câu a với các điểm C(3; 1), D(4; -1).

Phương pháp giải:

a)

Bước 1: Quan sát hình vẽ, nếu O, A, B nằm cùng một phía so với đường thẳng d thì 3 điểm đó cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d.

Bước 2: Thay tọa độ các điểm O, A, B vào biểu thức 2x-y và so sánh các giá trị tìm được với 4.

b)

Bước 1: Quan sát hình vẽ, nếu C, D nằm cùng một phía so với đường thẳng d thì 2 điểm đó cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d.

Bước 2: Thay tọa độ các điểm C, D vào biểu thức 2x-y và so sánh các giá trị tìm được với 4.

Lời giải:

a)

Bước 1:

Quan sát hình trên, các điểm A, O, B là các điểm được bôi vàng, và các điểm đó cùng nằm một phía (bên trái) nên chúng thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d.

Bước 2:

+) Thay tọa độ của điểm O(0;0) vào biểu thức 2x-y ta được: 2.0-0=0.

Như vậy giá trị của biểu thức 2x-y tại O là 0 và 0<4.

+) Thay tọa độ của điểm A(-1;3) vào biểu thức 2x-y ta được: 2.(-1)-3=-5.

Như vậy giá trị của biểu thức 2x-y tại A là -5 và -5<4

+) Thay tọa độ của điểm B(-2;-2) vào biểu thức 2x-y ta được: 2.(-2)-(-2)=-2.

Như vậy giá trị của biểu thức 2x-y tại B là -2 và -2<4.

b) 

Bước 1:

Quan sát hình trên, các điểm C, D là các điểm được bôi vàng, và các điểm đó cùng nằm một phía (bên phải) nên chúng thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d.

Bước 2:

+) Thay tọa độ của điểm C(3;1) vào biểu thức 2x-y ta được: 2.3-1=5.

Như vậy giá trị của biểu thức 2x-y tại C là 5 và 5>4.

+) Thay tọa độ của điểm D(4;-1) vào biểu thức 2x-y ta được: 2.4-(-1)=9.

Như vậy giá trị của biểu thức 2x-y tại D là 9 và 9>4

Chú ý:

Khi thay tọa độ các điểm vào biểu thức 2x-y, nếu y là một giá trị âm thì cần đưa nguyên dấu vào trong biểu thức.

Giải Toán 10 trang 24 Tập 1 Kết nối tri thức

Luyện tập 2 trang 24 Toán lớp 10: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình 2x+y

Phương pháp giải:

Ta biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn ax+b

Bước 1: Vẽ đường thẳng (nét đứt).

Bước 2: Lấy một điểm bất kì không thuộc d trên mặt phẳng rồi thay vào biểu thức ax+b. Xác định c có bằng 0 hay không, nếu c khác 0 thì ta lấy điểm để thay vào là gốc O(0;0).

Nếu O thỏa mãn bất phương trình thì miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng bờ d chứa điểm đã lấy.

Lời giải:

Ta biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn 2x+y

Bước 1: Vẽ đường thẳng d: 2x+y=200 trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Bước 2: Lấy một điểm bất kì không thuộc d trên mặt phẳng rồi thay vào biểu thức 2x+y. Chẳng hạn, lấy O(0;0), ta có: 2.0+0<200

Do đó miền nghiệm của bất phương trình đã cho là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ. (miền không bị gạch).

Chú ý:

Miền nghiệm của bất phương trình 2x+y

Giải Toán 10 trang 25 Tập 1 Kết nối tri thức

Vận dụng trang 25 Toán lớp 10: Một công ty viễn thông tính phí 1 nghìn đồng mỗi phút gọi nội mạng và 2 nghìn đồng mỗi phút gọi ngoại mạng. Em có thể sử dụng bao nhiêu phút gọi nội mạng và bao nhiêu phút gọi ngoại mạng trong một tháng nếu em muốn số tiền phải trả ít hơn 200 nghìn đồng?

Phương pháp giải:

Bước 1: Gọi x là số phút gọi nội mạng ($x\in \mathbb{N}$), y là số phút gọi ngoại mạng ($y\in \mathbb{N}$) và biến đổi bài toán đã cho thành bài toán tìm miền nghiệm của bất phương trình.

Bước 2: Xác định miền nghiệm.

Lời giải:

Bước 1:

Gọi x là số phút gọi nội mạng ($x\in \mathbb{N}$), y là số phút gọi ngoại mạng ($y\in \mathbb{N}$)

Số tiền cần phải trả là $x+2y$ nghìn đồng.

Để số tiền phải trả ít hơn 200 nghìn đồng thì $x+2y<200$.

Như vậy, bài toán trở thành tìm miền nghiệm của bất phương trình $x+2y<200$

Bước 2:

Xác định miền nghiệm:

+ Vẽ đường thẳng d: x+2y=200 (nét đứt).

+ Thay tọa độ O(0;0) vào biểu thức x+2y ta được 0+2.0=0<200

=> Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ không kể đường thẳng d.

Vậy nếu số phút sử dụng nội mạng là x và ngoại mạng là y mà điểm (x;y) nằm trong miền tam giác OAB không kể đoạn AB thì số tiền phải trả thấp hơn 200 nghìn đồng.

Chú ý:

x và y là số tự nhiên nên cần lấy phần không âm của trục Ox và phần không âm của trục Oy.

Bài tập

Bài 2.1 trang 25 Toán lớp 10: Bất phương trình nào sau đây là bất phương tình bậc nhất hai ẩn?

a) 2x+3y > 6

b) $2^{2}x+y\le 0$

c) $2x^2-y\ge 1$

Lời giải:

a) Ta có hệ số a=2, b=3, c=6 và các ẩn là x và y.

=> bất phương trình 2x+3y>6 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) Ta có $2^{2}x+y\le 0\iff 4x+y\le 0$

=> a=4,b=1 và c=0. Các ẩn là x và y

=> $2^{2}x+y\le 0$ là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

c) $2x^2-y\ge 1$ có bậc của x là 2 nên đây không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Chú ý:

Khi bậc của x và y lớn hơn 1 thì bất phương trình bài cho không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Bài 2.2 trang 25 Toán lớp 10: Biểu diễn miền nghiệm của mỗi bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:

a) $3x+2y\ge 300$

b) $7x+20y<0$

Lời giải:

a)

Bước 1: Vẽ đường thẳng $3x+2y=300$

Bước 2: Thay tọa độ điểm O(0;0) vào 3x+2y ta được 3.0+2.0<300

=> Điểm O không thuộc miền nghiệm.

=> Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng có bờ 3x+2y=300 và không chứa điểm O.

b)

Bước 1: Vẽ đường thẳng 7x+20y=0 (nét đứt)

Bước 2: Vì c=0 nên ta thay tọa độ điểm A(-1;-1) vào biểu thức 7x+20y ta được:

7.(-1)+20.(-1)=-27<0

=> Điểm A thuộc miền nghiệm

=> Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng 7x+20y=0 và không chứa điểm A (không kể đường thẳng 7x+20y=0)

Bài 2.3 trang 25 Toán lớp 10: Ông An muốn thuê một chiếc ô tô (có lái xe) trong một tuần. Giá thuê xe được cho như bảng sau:

a) Gọi x và y lần lượt là số kilômét ông An đi trong các ngày từ thứ Hai đến thứ Sáu và

trong hai ngày cuối tuần. Viết bất phương trình biểu thị mối liên hệ giữa x và y sao cho

tổng số tiền ông An phải trả không quá 14 triệu đồng.

b) Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình ở câu a trên mặt phẳng toạ độ.

Lời giải:

a)

Ta có 14 triệu = 14 000 (nghìn đồng)

Số tiền ông An đi x km trong các ngày từ thứ Hai đến thứ Sáu là 8x (nghìn đồng)

Số tiền ông An đi y km trong 2 cuối tuần là 10y (nghìn đồng)

Số tiền ông An đi trong một tuần là 8x+10y (nghìn đồng)

Vì số tiền không quá 14 triệu đồng nên ta có :

$\begin{array}{l}8x+10y\le 14000\\ \iff 4x+5y\le 7000\end{array}$

Vậy bất phương trình cần tìm là $4x+5y\le 7000$

b)

Bước 1: Vẽ đường thẳng $4x+5y=7000$(nét liền)

Bước 2: Thay tọa độ điểm O(0;0) vào biểu thức 4x+5y ta được:

4.0+5.0=0<7000

=> Điểm O thuộc miền nghiệm

=> Miền nghiệm là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $4x+5y=7000$ và chứa gốc tọa độ và (x;y) nằm trong miền tam giác OAB kể cả đoạn AB.

Chú ý:

Khi bài cho số ki lô mét thì ta cần tính theo quãng đường di chuyển.

Lý thuyết Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

- Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là:

$\mathrm{ax}+\mathrm{by}\le \mathrm{c}\left(\mathrm{ax}+\mathrm{by}\ge \mathrm{c},\mathrm{ax}+\mathrm{by}<\mathrm{c},\mathrm{ax}+\mathrm{by}>\mathrm{c}\right)$

Trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.

- Cặp số $\left({\mathrm{x}}_0;{\mathrm{y}}_0\right)$ được gọi là một nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn $\mathrm{ax}+\mathrm{by}\le \mathrm{c}$ nếu bất đẳng thức ${\mathrm{ax}}_0+{\mathrm{by}}_0\le \mathrm{c}$ đúng.

Nhận xét: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn luôn có vô số nghiệm.

Ví dụ:

$5\mathrm{x}+2\mathrm{y}<4$ có dạng ax + by < c với a = 5, b = 2, c = 4 là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

$5\mathrm{x}+2\mathrm{y}-3\mathrm{z}>3$ không là bất phương trình bậc nhất hai ẩn vì có ba ẩn x, y, z.

Nghiệm của bất phương trình 5x + 2y < 4:

Xét cặp số (–1; –2) có 5.(–1) + 2(–2) = –9 < 4 nên cặp số (–1; –2) là nghiệm của bất phương trình.

Xét cặp số (0; 0) có 5.0 + 2.0 = 0 < 4 nên cặp số (0; 0) là nghiệm của bất phương trình.

Xét cặp số (–1;2) có 5.(–1) + 2.2 = –1 < 4 nên cặp số (–1;2) là nghiệm của bất phương trình.

Ta có thể tìm thêm được nhiều cặp số thỏa mãn bất phương trình đã cho. Do đó bất phương trình bậc nhất hai ẩn 5x + 2y < 4 có các cặp nghiệm là (–1; –2); (0; 0); (–1; 2) … hay bất phương trình này có vô số nghiệm.

2. Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ

- Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình $\mathrm{ax}+\mathrm{by}\le \mathrm{c}$ được gọi là miền nghiệm của bất phương trình đó.

- Người ta chứng minh được rằng đường thẳng d có phương trình $\mathrm{ax}+\mathrm{by}=\mathrm{c}$ chia mặt phẳng tọa độ Oxy thành 2 nửa mặt phẳng bờ d:

+ Một nửa mặt phẳng (không kể bờ d) gồm các điểm có tọa độ $\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)$thỏa mãn $\mathrm{ax}+\mathrm{by}>\mathrm{c}$;

+ Một nửa mặt phẳng (không kể bờ d) gồm các điểm có tọa độ $\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)$thỏa mãn $\mathrm{ax}+\mathrm{by}<\mathrm{c}$;

Bờ d gồm các điểm có tọa độ $\left(\mathrm{x};\mathrm{y}\right)$ thỏa mãn $\mathrm{ax}+\mathrm{by}<\mathrm{c}$.

- Cách biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn $\mathrm{ax}+\mathrm{by}\le \mathrm{c}$:

+ Vẽ đường thẳng $\mathrm{d}:\mathrm{ax}+\mathrm{by}=\mathrm{c}$ trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

+ Lấy một điểm ${\mathrm{M}}_0\left({\mathrm{x}}_0;{\mathrm{y}}_0\right)$ không thuộc d.

+ Tính ${\mathrm{ax}}_0+{\mathrm{by}}_0$ và so sánh với c.

+ Nếu ${\mathrm{ax}}_0+{\mathrm{by}}_0<\mathrm{c}$ thì nửa mặt phẳng bờ d chứa ${\mathrm{M}}_0$ là miền nghiệm của bất phương trình. Nếu ${\mathrm{ax}}_0+{\mathrm{by}}_0>\mathrm{c}$ thì nửa mặt phẳng bờ d không chứa ${\mathrm{M}}_0$ là miền nghiệm của bất phương trình.

Chú ý: Miền nghiệm của bất phương trình $\mathrm{ax}+\mathrm{by}<\mathrm{c}$ là miền nghiệm của bất phương trình $\mathrm{ax}+\mathrm{by}\le \mathrm{c}$ bỏ đi đường thẳng $\mathrm{ax}+\mathrm{by}=\mathrm{c}$ và biểu diễn đường thẳng bằng nét đứt.

Ví dụ: Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình $5\mathrm{x}-7\mathrm{y}\le 0$ trên mặt phẳng tọa độ:

Bước 1: Vẽ đường thẳng $\mathrm{d}:5\mathrm{x}-7\mathrm{y}=0$ trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Bước 2: Lấy điểm ${\mathrm{M}}_0\left(0;1\right)$ không thuộc d và thay x = 0 và y = 1 vào biểu thức $5\mathrm{x}-7\mathrm{y}$ ta được $5.0-7.1=-7<0$ là mệnh đề đúng.

Do đó miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d chứa điểm ${\mathrm{M}}_0$ (miền không bị gạch)

Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 1

Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài tập cuối chương 2

Bài 5: Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180