Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x lớp 10 đầy đủ, chi tiết

Van Anh Ngày: 18-09-2024 Lớp 10

786

Tailieumoi.vn xin giới thiệu Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x lớp 10 được sưu tầm và biên soạn theo chương trình học của 3 bộ sách mới. Bài viết gồm bài tập với đầy đủ các mức độ và có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn luyện kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài tập Toán 10. Ngoài ra, bài viết còn có phần tóm tắt nội dung chính lý thuyết Bất phương trình. Mời các bạn đón xem:

Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x

A. Lý thuyết Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x

Phương pháp: Đối với các bài toán tìm điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x hay bất phương trình vô nghiệm ta sử dụng các lập luận như sau: (ta xét với bất phương trình bậc hai một ẩn)

- f(x) > 0 vô nghiệm ⇔ f(x) $\leq$ 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc R nghĩa là ⇔ a < 0; $\Delta \leq 0$

- f(x) < 0 vô nghiệm ⇔ f(x) $\geq$ 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc R nghĩa là ⇔ a > 0; $\Delta \leq 0$

- f(x) $\geq$ 0 vô nghiệm ⇔ f(x) < 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc R nghĩa là ⇔ a < 0; $\Delta < 0$

- f(x) $\leq$ 0 vô nghiệm ⇔ f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x thuộc R nghĩa là ⇔ a > 0; $\Delta <$ 0

Ví dụ 1: Cho bất phương trình (m - 1)x2 + 2mx - 3 > 0. Tìm giá trị của m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc R

Đáp án:

Đặt (m - 1)x2 + 2mx - 3 = f(x)

TH1: m - 1 = 0 ⇒ m = 1. Thay m = 1 vào bất phương trình ta được: 2x - 3 > 0⇒ x > $\frac{3}{2}$ (Loại)

TH2: m - 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1

Để bất phương trình f(x) > 0 nghiệm đúng với mọi x ⇔ a >0; $\Delta <$ 0

Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x lớp 10 đầy đủ, chi tiết (ảnh 1)

Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc R.

Ví dụ 2: Tìm m để các bất phương trình sau đúng với mọi x thuộc R

a. (m - 3)x2 + (m + 1)x + 2 < 0

b. (m - 1)x 2 + (m - 3)x + 4 > 0

Hướng dẫn giải

a. Đặt (m - 3)x2 + (m + 1)x + 2 = f(x)

TH1: m - 3 = 0 ⇔ m = 3. Thay m = 3 vào bất phương trình ta được: 2x + 2 < 0 ⇔ x < -1 (Loại)

TH2: m - 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3

Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x lớp 10 đầy đủ, chi tiết (ảnh 2)

Ta có: m2 - 6m + 25 = (m - 3)2 + 16 ≥ 16,với mọi m

Vậy không có giá trị nào của m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc R

b. Đặt (m - 1)x2 + (m - 3)x + 4 = f(x)

TH1: m - 1 = 0 ⇔ m = 1. Thay m = 1 vào bất phương trình ta được: -2x + 4 > 0 ⇔ x < 2 (Loại)

TH2: m - 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ 1

Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x lớp 10 đầy đủ, chi tiết (ảnh 4)

Vậy thì bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc R.

B. Bài tập Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng

1. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Nghiệm x = 3 là nghiệm của bất phương trình nào sau đây?

A. 5 - x < 1

B. 3x + 1 < 4

C. 4x - 11 > x

D. 2x - 1 > 3

Lời giải:

Ta có:

+ 5 - x < 1 ⇔ 4 < x

+ 3x + 1 < 4 ⇔ 3x < 3 ⇔ x > 1

+ 4x - 11 > x ⇔ 3x > 11 ⇔ x > $\frac{11}{3}$

+ 2x - 1 > 3 ⇔ 2x > 4 ⇔ x > 2

Vậy x = 3 là nghiệm của bất phương trình 2x - 1 > 3

Bài 2: Tập nghiệm nào sau đây là tập nghiệm của bất phương trình: x ≤ 2 ?

A. S = { x| x ≥ 2 }.

B. S = { x| x ≤ 2 }.

C. S = { x| x ≥ - 2 }.

D. S = { x| x < 2}.

Lời giải:

Tập nghiệm của bất phương trình: x ≤ 2 là S = { x| x ≤ 2 }.

Bài 3: Cho bất phương trình 3x - 6 > 0. Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào tương đương với bất phương trình đã cho?

A. 2x - 4 < 0

B. 2x - 4 ≥ 0

C. x > 2

D. 1 - 2x < 1

Lời giải:

Ta có: 3x - 6 > 0 ⇔ 3x > 6 ⇔ x > 2

Vậy bất phương trình x > 2 tương đương với bất phương trình đã cho.

Bài 4: Hỏi x = 2 là nghiệm của bất phương trình nào trong các bất phương trình sau:

A. x + 2 > 4

B. 4 -2x < 4

C. 4x – 2 < 2

D. x - 10 > 2

Lời giải:

- Thay x = 2 vào bất phương trình x + 2 > 4 ta được: 2 + 2 > 4 là khẳng định sai nên x = 2 không là nghiệm của bất phương trình.

- Thay x = 2 vào bất phương trình 4 -2x < 4 ta được: 4 – 2.2 < 4 là khẳng định đúng nên x = 2 là nghiệm của bất phương trình.

- Thay x = 2 vào bất phương trình 4x - 2 < 2 ta được: 4.2 - 2 < 2 là khẳng định sai nên x = 2 không là nghiệm của bất phương trình.

- Thay x = 2 vào bất phương trình x -10 > 2 ta được: 2 - 10 > 2 là khẳng định sai nên x = 2 không là nghiệm của bất phương trình.

Bài 5: Lập bất phương trình cho bài toán sau:

Cô Lan chia đều 20 cái kẹo cho 4 bạn nhỏ. Hỏi mỗi bạn được bao nhiêu cái kẹo để sau khi chia xong cô Lan vẫn còn kẹo?

A. 4x < 20

B. 4x > 20

C. 20x < 4

D. 20x > 4

Lời giải:

Gọi số kẹo mỗi bạn nhận được là x ( cái kẹo)

Khi đó, 4 bạn sẽ có tất cả: 4x ( cái kẹo)

Để sau khi chia xong, cô Lan vẫn còn kẹo thì 4x < 20

2. Bài tập tự luận

Bài 6: Hãy chọn câu đúng. Tập nghiệm của bất phương trình 1 - 3x ≥ 2 - x là?

Lời giải:

1 - 3x ≥ 2 - x

⇔ 1 - 3x + x - 2 ≥ 0

⇔ -2x - 1 ≥ 0

⇔ -2x - 1

⇔ x ≤ - $\frac{1}{2}$

Vậy nghiệm của bất phương trình S =

Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x lớp 10 đầy đủ, chi tiết (ảnh 5)

Bài 7: Hãy chọn câu đúng. Bất phương trình 2 + 5x ≥ -1 - x có nghiệm là?

Lời giải:

Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x lớp 10 đầy đủ, chi tiết (ảnh 6)

Vậy bất phương trình có nghiệm x ≥ - $\frac{1}{2}$

Bài 8: Cho a < b, hãy so sánh:

2a và 2b;

2a và a + b;

-a + b;

-a và -b.

Lời giải:

+ a < b ⇒ 2a < 2b (nhân cả 2 vế với 2 > 0, BĐT không đổi chiều).

+ a < b ⇒ a + a < b + a (Cộng cả 2 vế với a)

hay 2a < a + b.

+ a < b ⇒ (-1).a > (-1).b (Nhân cả 2 vế với -1 < 0, BĐT đổi chiều).

hay –a < -b.

Bài 9: Số a là số âm hay dương nếu:

a) 12a < 15 a ?

b) 4a < 3a ?

c) -3a > -5a?

Lời giải:

a) Ta có: 12 < 15 (*). Để có bất đẳng thức cùng chiều là 12a < 15a ta phải nhân cả 2 vế của (*) với số dương. Vậy a là số dương.

b) Ta có: 4 > 3 (**). Để có bất đẳng thức trái chiều là 4a < 3a ta phải nhân cả 2 vế của (**) với số âm. Vậy a là số âm.

c) Ta có: -3 > -5 (***). Để có bất đẳng thức cùng chiều là -3a > -5a ta phải nhân cả 2 vế của (*) với số dương. Vậy a là số dương.

Bài 10: Cho a < b, chứng tỏ:

a) 2a - 3 < 2b - 3;

b) 2a - 3 < 2b + 5.

Lời giải:

a) Ta có: a < b

⇒ 2a < 2b (Nhân cả hai vế với 2 > 0, BĐT không đổi chiều).

⇒ 2a – 3 < 2b – 3 (Cộng cả hai vế với -3, BĐT không đổi chiều).

Vậy 2a – 3 < 2b – 3.

b) Ta có: -3 < 5

⇒ 2b - 3 < 2b + 5 (cộng vào 2 vế với 2b)

mà 2a - 3 < 2b - 3 (chứng minh ở câu a))

Vậy: 2a - 3 < 2b + 5 (Tính chất bắc cầu)

Bài 11:

a) Cho hai ví dụ về bất phương trình bậc hai một ẩn.

b) Cho hai ví dụ về bất phương trình mà không phải là bất phương trình bậc hai một ẩn.

Lời giải:

a) Hai ví dụ về bất phương trình bậc hai một ẩn:

9x2 – 8 ≥ 0;

- 4x2 – 5x + 2 < 0.

b) Hai ví dụ về bất phương trình không phải bất phương trình bậc hai một ẩn:

0x2 – 7x ≤ 0;

6x2 + 4x – 3 > 0.

Bài 12: Giải các bất phương trình (theo quy tắc chuyển vế)

a) x – 3 > 5

b) 2x ≥ x + 2

c) 2x – 4 < 3x – 2

d) 2,5 – 2x ≤ -x – 3,5

e) 3x – 5 > 2(x – 1) + x

Lời giải:

a) x – 3 > 5

⇔ x > 5 + 3

⇔ x > 8

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = {x|x > 8}

b) 2x ≥ x + 2

⇔ 2x – x ≥ 2

⇔ x ≥ 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = {x|x ≥ 2}

c) 2x – 4 < 3x – 2

⇔ 3x – 2x > -4 + 2

⇔ x > -2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = {x|x > -2}

d) 2,5 – 2x ≤ -x – 3,5

⇔ 2,5 + 3,5 ≤ -x + 2x

⇔ x ≥ 6

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = {x|x ≥ 6}

e) 3x – 5 > 2(x – 1) + x

⇔ 3x – 5 > 2x – x + x

⇔ 3x – 3x > -2 + 5

⇔ 0x > 3

Vậy bất phương trình vô nghiệm

Bài 13: Tìm m để bất phương trình x² - 2(m + 1) + m² + 2m ≤ 0 có nghiệm với mọi x ∈ [0; 1]

Lời giải:

Đặt x² - 2(m + 1) + m² + 2m ≤ 0

Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với ∀x ∈ [0; 1]

Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm thỏa mãn ${{x}_{1}}\le 1<2\le {{x}_{2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} kf(0)\le 0 \\ kf(1)\le 0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} {{m}^{2}}+2m\le 0 \\ {{m}^{2}}-1\le 0 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow -1\le m\le 0 \right.$

Vậy với -1 ≤ m ≤ 0 thỏa mãn điều kiện đề bài cho.

Bài 14: Tìm m để bất phương trình sau (m + 2)x² - 2mx + m² + 2m ≤ 0 có nghiệm.

Lời giải:

Xét 3 trường hợp:

Trường hợp 1: Với m + 2 = 0 ⇒ m = -2 ta được:

(1) ⇔ 4x + 4 <0 ⇔ x < -1

Bất phương trình vô nghiệm

Trường hợp 2: Với m < -2

Bất phương trình đã cho cũng có nghiệm

Trường hợp 3: m + 2 > 0 ⇒ m > -2. Khi đó bất phương trình đã cho có nghiệm thì vế trái phải có 2 nghiệm phân biệt :

$\Leftrightarrow \Delta >0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2>0\Leftrightarrow \left| m \right|>\sqrt{2}\Leftrightarrow$

Vậy với |m| < $\sqrt{2}$ thì bất phương trình có nghiệm.

Bài 15: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: m²x + 3 < mx + 4

Lời giải:

Bất phương trình tương đương với: m²x - mx < 4 ⇔ (m² - m)x < 1; m² - m = 0 ⇔m = {0;1} thì bất phương trình trở thành 0 < 1 đúng với mọi x .

Nên bất phương trình có vô số nghiệm.

Với m² - m ≠ 0 ⇔ m ≠ {0; 1} thì bất phương trình trở thành luôn có nghiệm là

Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi giá trị thực của m.

Bài 16: Tìm tham số m để bất phương trình: f(x) = (m² + 1)x² + (2m - 1)x - 5 < 0

Nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng ( -1; 1)

Lời giải:

Ta có: $\left\{ \begin{matrix}f(-1)\le 0 \\f(1)\le 0 \\\end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}{{m}^{2}}-2m-3\le 0 \\{{m}^{2}}+2m-5\le 0 \\\end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix}-1\le m\le 3 \\-\sqrt{6}\le m\le \sqrt{6}-1 \\\end{matrix} \right. \right.$

⇔ -1 ≤ m ≤ $\sqrt 6$ - 1

Vậy để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng ( -1, 1) thì m ∈ (-1; $\sqrt{6}$ - 1)

Bài 17: Tìm m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x: (m + 4)x² - 2mx + 2m - 6 < 0

Lời giải:

+ Với m = - 4 thì bất phương trình trở thành: 8x - 14 < 0, ∀x (loại)

+ Với

$\Rightarrow\left\{ \begin{matrix} m<-4 \\ m\in (-\infty ,-4)\cup (6,+\infty ) \\ \end{matrix}\left\{ \begin{matrix} m<-4 \\ m\in (-\infty ,-4)\cup (6,+\infty ) \\ \end{matrix}\right. \right.$ $\Leftrightarrow m<-4$

Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x khi m < -4.

Bài 18: Cho bất phương trình: x² + 4x + 3 + m ≤ 0

a. Tìm m để bất phương trình vô nghiệm.

b. Tìm m để bất phương trình có đúng một nghiệm.

c. Tìm m để bất phương trình có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 2.

Lời giải:

a. Bất phương trình vô nghiệm

⇔ Δ' < 0 ⇔ 1 - m < 0 ⇔ m > 1

Vậy m > 1 thì bất phương trình vô nghiệm.

b. Bất phương trình có đúng một nghiệm.

⇔ Δ' = 0 ⇔ 1 - m = 0 ⇔ m = 1

Vậy m = 1 bất phương trình có đúng một nghiệm

c. Để bất phương trình có nghiệm là một đoạn trên trục số có độ dài bằng 2 thì tam thức ở vế trái của bất phương trình phải có hai nghiệm phân biệt x, x’ thỏa mãn điều kiện: $\begin{align} & \left| x-x' \right|=2 \\ & \Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} \Delta '>0 \\ \left| \dfrac{\sqrt{\Delta }}{a} \right|=2 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1-m>0 \\ \sqrt{1-m}=2 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow m=-3 \right. \\ \end{align}$

Vậy m = -3 thì bất phương trình có nghiệm là một đoạn có độ dài bằng 2.

Bài 19: Tìm m để bất phương trình: x⁴ + 2mx² + m ≥ 0 có nghiệm đúng với mọi x.

Lời giải:

Đặt t = x², t ≥ 0

Khi đó bất phương trình trở thành:

f(t) = t² +2mt + m ≥ 0 (*)

⇒Δ' = m² - m

Trường hợp 1: Δ' ≤ 0 ⇔ m² - m ≤ 0 ⇔ 0 ≤ m ≤ 1

Khi đó (*) luôn đúng.

Trường hợp 2: Nếu Δ' > 0, điều kiện là phương trình f(t) phải có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: t₁ < t₂ ≤ 0

Tóm lại ta cần suy ra như sau:

Vậy m ≥ 0 thì bất phương trình có nghiệm đúng với mọi giá trị x.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho tam thức f(x) = x² - 2mx + 3m - 2. Tìm điều kiện của m để tam thức f(x) > 0, ∀x ∈ [1; 2] .

Bài 2: Xác định m sao cho với mọi x ta đều có: mx² - 4x + 3m + 1 >0

Bài 3: Tìm m để bất phương trình: x² - 2x + 1 - m² ≤ 0 nghiệm đúng với ∀x ∈ [1; 2].

Bài 4: Tìm m để bất phương trình: (m - 1)x² + (2 - m)x- 1 > 0 có nghiệm đúng với mọi ∀x ∈ (1; 2).

Bài 5: Tìm m để bất phương trình: 3(m - 2)x² + 2(m + 1)x + m - 1 < 0 có nghiệm đúng với mọi ∀x ∈ (-1; 3).

Bài 6: Tìm m để bất phương trình m² - 2mx + 4 > 0 có nghiệm đúng với mọi ∀x ∈ (-1; 0,5).

Bài 7: Tìm điều kiện của m để mọi nghiệm của bất phương trình: x² + (m - 1)x - m ≤ 0

đều là nghiệm của bất phương trình.

Bài 8: Với giá trị nào của m thì bất phương trình: (m - 2)x² + 2mx - 2 - m < 0 có nghiệm

Bài 9: Tìm các giá trị của m để bất phương trình:f(x) = - (m² + 2)x² - 2mx + 1 - m > 0

Nghiệm đúng với mọi x thuộc nửa khoảng (2; +∞)

Bài 10: Tìm giá trị của tham số m khác 0 để bất phương trình f(x) = 2mx² - (1 - 5m)x + 3m+ 1>0 có nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng (-2; 0)_.

Đánh giá

0 đánh giá

Đánh giá

Bài viết cùng môn học

Toán Tổng hợp kiến thức

Biết a - b chia hết cho 6 chứng minh rằng các biểu thức sau cũng chia hết cho 6 Lữ Ngọc My My

106

Toán Tổng hợp kiến thức

Tìm các tập hợp Ư(8); Ư(12); Ư(15) Lữ Ngọc My My

Toán Tổng hợp kiến thức

Tìm BCNN của 84 và 108 Lữ Ngọc My My

Toán Tổng hợp kiến thức

Cho biết cos∝ = 12/13 giá trị của tan ∝ là Lữ Ngọc My My

Tìm kiếm