Với giải sách bài tập Toán 10 Bài 4: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 10 Bài 4: Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu

Giải SBT Toán 10 trang 129 Tập 1

Bài 1 trang 129 SBT Toán 10 Tập 1: Hãy tìm phương sai, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và giá trị ngoại lệ (nếu có) của mỗi mẫu số liệu sau:

a) 90; 56; 50; 45; 46; 48; 52; 43.

b) 19; 11; 1; 16; 19; 12; 14; 10; 11.

c) 6,7; 6,2; 9,7; 6,3; 6,8; 6,1; 6,2.

d) 0,79; 0,68; 0,35; 0,38; 0,05; 0,35.

Lời giải:

a) Ta có: n = 8.

Số trung bình cộng:

Phương sai:

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:

43; 45; 46; 48; 50; 52; 56; 90

Khi đó, khoảng biến thiên R = 90 – 43 = 47.

Vì n = 8 là số chẵn nên ta có tứ phân vị thứ hai

Q₂ = (48 + 50) : 2 = 49.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của nửa số liệu bên trái Q₂, gồm Q₂ vì n là số chẵn: 43; 45; 46; 48.

Vậy Q₁ = (45 + 46) : 2 = 45,5.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của nửa số liệu bên phải Q₂, gồm Q₂ vì n là số chẵn: 50; 52; 56; 90.

Vậy Q₃ = (52 + 56) : 2 = 54.

Khi đó khoảng tứ phân vị là ∆_Q = Q₃ − Q₁ = 54 – 45,5 = 8,5.

Giá trị ngoại lệ x thỏa mãn

x > Q₃ + 1,5∆_Q = 54 + 1,5.8,5 = 66,75

Hoặc x < Q₁ − 1,5∆_Q = 45,5 − 1,5.8,5 = 32,75

Vậy đối chiếu mẫu số liệu suy ra giá trị ngoại lệ là 90.

b) Ta có: n = 9.

Số trung bình cộng:

Phương sai:

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:

1; 10; 11; 11; 12; 14; 16; 19; 19

Khi đó, khoảng biến thiên R = 19 – 1 = 18.

Vì n = 9 là số lẻ nên ta có tứ phân vị thứ hai Q₂ = 12.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của nửa số liệu bên trái Q₂, không kể Q₂ vì n là số lẻ: 1; 10; 11; 11.

Vậy Q₁ = (10 + 11) : 2 = 10,5.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của nửa số liệu bên phải Q₂, không kể Q₂ vì n là số lẻ: 14; 16; 19; 19.

Vậy Q₃ = (16 + 19) : 2 = 17,5.

Khi đó khoảng tứ phân vị là ∆_Q = Q₃ − Q₁ = 17,5 – 10,5 = 7.

Giá trị ngoại lệ x thỏa mãn

x > Q₃ + 1,5∆_Q = 17,5 + 1,5.7 = 28

Hoặc x < Q₁ − 1,5∆_Q = 10,5 − 1,5.7 = 0

Vậy đối chiếu mẫu số liệu suy ra không có giá trị ngoại lệ.

c) Ta có: n = 7.

Số trung bình cộng:

Phương sai:

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:

6,1; 6,2; 6,2; 6,3; 6,7; 6,8; 9,7

Khi đó, khoảng biến thiên R = 9,7 – 6,1 = 3,6.

Vì n = 7 là số lẻ nên ta có tứ phân vị thứ hai Q₂ = 6,3.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của nửa số liệu bên trái Q₂, không kể Q₂ vì n là số lẻ: 6,1; 6,2; 6,2.

Vậy Q₁ = 6,2.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của nửa số liệu bên phải Q₂, không kể Q₂ vì n là số lẻ: 6,7; 6,8; 9,7.

Vậy Q₃ = 6,8.

Khi đó khoảng tứ phân vị là ∆_Q = Q₃ − Q₁ = 6,8 – 6,2 = 0,6.

Giá trị ngoại lệ x thỏa mãn

x > Q₃ + 1,5∆_Q = 6,8 + 1,5.0,6 = 7,7

Hoặc x < Q₁ − 1,5∆_Q = 6,2 − 1,5.0,6 = 5,3

Vậy đối chiếu mẫu số liệu suy ra giá trị ngoại lệ là 9,7.

d) Ta có: n = 6.

Số trung bình cộng:

Phương sai:

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:

0,05; 0,35; 0,35; 0,38; 0,68; 0,79

Khi đó, khoảng biến thiên R = 0,79 – 0,05 = 0,74.

Vì n = 6 là số chẵn nên ta có tứ phân vị thứ hai

Q₂ = (0,35 + 0,38) : 2 = 0,365.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của nửa số liệu bên trái Q₂, gồm Q₂ vì n là số chẵn: 0,05; 0,35; 0,35.

Vậy Q₁ = 0,35.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của nửa số liệu bên phải Q₂, gồm Q₂ vì n là số chẵn: 0,38; 0,68; 0,79.

Vậy Q₃ = 0,68.

Khi đó khoảng tứ phân vị là ∆_Q = Q₃ − Q₁ = 0,68 – 0,35 = 0,33.

Giá trị ngoại lệ x thỏa mãn

x > Q₃ + 1,5∆_Q = 0,68 + 1,5.0,33 = 1,175

Hoặc x < Q₁ − 1,5∆_Q = 0,35 − 1,5.0,33 = −0,145.

Vậy đối chiếu mẫu số liệu suy ra không có giá trị ngoại lệ.

Bài 2 trang 129 SBT Toán 10 Tập 1: Hãy tìm phương sai, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và giá trị ngoại lệ (nếu có) của mỗi mẫu số liệu cho bởi bảng tần số sau:

a)

b)

Lời giải:

a) Ta có: n = 1 + 3 + 5 + 4 + 2 + 1 = 16.

Số trung bình cộng:

$$\begin{gathered} \overline{x}=\frac{0.1+4.3+6.5+9.4+10.2+17.1}{16} \\ =\frac{115}{16}. \end{gathered}$$

Phương sai:

≈ 13,4.

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:

0; 4; 4; 4; 6; 6; 6; 6; 6; 9; 9; 9; 9; 10; 10; 17

Khi đó, khoảng biến thiên R = 17 – 0 = 17.

Vì n = 16 là số chẵn nên ta có tứ phân vị thứ hai

Q₂ = (6 + 6) : 2 = 6.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của nửa số liệu bên trái Q₂, gồm Q₂ vì n là số chẵn: 0; 4; 4; 4; 6; 6; 6; 6.

Vậy Q₁ = (4 + 6) : 2 = 5.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của nửa số liệu bên phải Q₂, gồm Q₂ vì n là số chẵn: 6; 9; 9; 9; 9; 10; 10; 17.

Vậy Q₃ = (9 + 9) : 2 = 9.

Khi đó khoảng tứ phân vị là ∆_Q = Q₃ − Q₁ = 9 – 5 = 4.

Giá trị ngoại lệ x thỏa mãn

x > Q₃ + 1,5∆_Q = 9 + 1,5.4 = 15

Hoặc x < Q₁ − 1,5∆_Q = 5 − 1,5.4 = −1.

Vậy đối chiếu mẫu số liệu suy ra giá trị ngoại lệ là 17.

b) Ta có: n = 1 + 6 + 8 + 9 + 4 + 2 = 30.

Số trung bình cộng:

Phương sai:

≈ 17,74.

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:

2; 23; 23; 23; 23; 23; 23; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 26; 26; 26; 26; 27; 27

Khi đó, khoảng biến thiên R = 27 – 2 = 25.

Vì n = 30 là số chẵn nên ta có tứ phân vị thứ hai

Q₂ = (24 + 25) : 2 = 24,5.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của nửa số liệu bên trái Q₂, gồm Q₂ vì n là số chẵn: 2; 23; 23; 23; 23; 23; 23; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 24; 24.

Vậy Q₁ = 24.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của nửa số liệu bên phải Q₂, gồm Q₂ vì n là số chẵn: 25; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 26; 26; 26; 26; 27; 27.

Vậy Q₃ = 25.

Khi đó khoảng tứ phân vị là ∆_Q = Q₃ − Q₁ = 25 – 24 = 1.

Giá trị ngoại lệ x thỏa mãn

x > Q₃ + 1,5∆_Q = 25 + 1,5 = 26,5

Hoặc x < Q₁ − 1,5∆_Q = 24 − 1,5.1 = 22,5.

Vậy đối chiếu mẫu số liệu suy ra giá trị ngoại lệ là 2 và 27.

Bài 3 trang 129, 130 SBT Toán 10 Tập 1: Một kĩ thuật viên thống kê lại số lần máy bị lỗi từng ngày trong tháng 5/2021 ở bảng sau:

a) Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu.

b) Xác định các giá trị ngoại lệ (nếu có) của mẫu số liệu.

c) Hãy tìm phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu.

Lời giải:

a) Ta có: n = 2 + 3 + 4 + 6 + 6 + 3 + 2 + 3 + 1 + 1 = 31.

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: 0; 0; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 12; 15.

Khi đó, khoảng biến thiên R = 15 – 0 = 15.

Vì n = 31 là số lẻ nên ta có tứ phân vị thứ hai Q₂ = 4.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của nửa số liệu bên trái Q₂, không kể Q₂ vì n là số lẻ: 0; 0; 1; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 3.

Vậy Q₁ = 2.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của nửa số liệu bên phải Q₂, không kể Q₂ vì n là số lẻ: 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 12; 15.

Vậy Q₃ = 5.

Khi đó khoảng tứ phân vị là ∆_Q = Q₃ − Q₁ = 5 – 2 = 3.

b) Giá trị ngoại lệ x thỏa mãn

x > Q₃ + 1,5∆_Q = 5 + 1,5.3 = 9,5

Hoặc x < Q₁ − 1,5∆_Q = 2 − 1,5.3 = −2,5

Vậy đối chiếu mẫu số liệu suy ra giá trị ngoại lệ là 12 và 15.

c) Số trung bình cộng:

Phương sai:

≈ 9,79.

Khi đó độ lệch chuẩn S = $\sqrt{S^2}=\sqrt{9,79}\approx$ 3,13.

Giải SBT Toán 10 trang 130 Tập 1

Bài 4 trang 130 SBT Toán 10 Tập 1: Biểu đồ sau ghi lại nhiệt độ lúc 12 giờ trưa tại một trạm quan trắc trong 10 ngày liên tiếp (đơn vị: °C).

a) Hãy viết mẫu số liệu thống kê nhiệt độ từ biểu đồ trên.

b) Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu đó.

c) Hãy tìm phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu đó.

Lời giải:

a) Ta có:

+) Nhiệt độ đạt 23°C tại các ngày: 1 và 8

+) Nhiệt độ đạt 24°C tại các ngày: 2, 3, 7 và 9

+) Nhiệt độ đạt 25°C tại các ngày: 6 và 10

+) Nhiệt độ đạt 29°C tại ngày: 5

+) Nhiệt độ đạt 32°C tại ngày: 4

Từ đó ta có mẫu số liệu thống kê nhiệt độ từ biểu đồ trên là

23; 24; 24; 32; 29; 25; 24; 23; 24; 25

b) Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm:

23; 23; 24; 24; 24; 24; 25; 25; 29; 32

Khi đó, khoảng biến thiên R = 32 – 23 = 9.

Vì n = 10 là số chẵn nên ta có tứ phân vị thứ hai

Q₂ = (24 + 24) : 2 = 24.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của nửa số liệu bên trái Q₂, gồm Q₂ vì n là số chẵn: 23; 23; 24; 24; 24.

Vậy Q₁ = 24.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của nửa số liệu bên phải Q₂, gồm Q₂ vì n là số chẵn: 24; 25; 25; 29; 32.

Vậy Q₃ = 25.

Khi đó khoảng tứ phân vị là ∆_Q = Q₃ − Q₁ = 25 – 24 = 1.

c) Số trung bình cộng:

$$\begin{gathered} \overline{x}=\frac{2.23+4.24+2.25+1.29+1.32}{10} \\ =25,3. \end{gathered}$$

Phương sai:

= 7,61

Khi đó độ lệch chuẩn S = $\sqrt{S^2}=\sqrt{7,61}\approx$2,76.

Bài 5 trang 130 SBT Toán 10 Tập 1: Khuê và Trọng ghi lại số tin nhắn điện thoại mà mỗi người nhận được từ ngày 1/9 đến ngày 15/9 năm 2020 ở bảng sau:

a) Hãy tìm phương sai của từng dãy số liệu.

b) Sau khi bỏ đi các giá trị ngoại lệ (nếu có), hãy so sánh, số lượng tin nhắn mỗi bạn nhận được theo số trung bình và theo trung vị.

Lời giải:

a) n = 15

+) Khuê:

Số trung bình cộng:

Phương sai:

+) Trọng:

Số trung bình cộng:

Phương sai:

b)

+) Khuê:

Áp dụng các bước tìm tứ phân vị ta tìm được Q₁ = 3, Q₃ = 5

Khi đó khoảng tứ phân vị là ∆_Q = Q₃ − Q₁ = 5 – 3 = 2.

Giá trị ngoại lệ x thỏa mãn

x > Q₃ + 1,5∆_Q = 5 + 1,5.2 = 8

Hoặc x < Q₁ − 1,5∆_Q = 3 − 1,5.2 = 0

Vậy đối chiếu mẫu số liệu của Khuê suy ra không có giá trị ngoại lệ.

+) Trọng:

Áp dụng các bước tìm tứ phân vị ta tìm được Q₁ = 2, Q₃ = 4

Khi đó khoảng tứ phân vị là ∆_Q = Q₃ − Q₁ = 4 – 2 = 2.

Giá trị ngoại lệ x thỏa mãn

x > Q₃ + 1,5∆_Q = 4 + 1,5.2 = 7

Hoặc x < Q₁ − 1,5∆_Q = 2 − 1,5.2 = −1

Vậy đối chiếu mẫu số liệu của Trọng suy ra giá trị ngoại lệ là 30.

Sau khi bỏ đi giá trị ngoại lệ thì giá trị trung bình của mẫu của Khuê là:

Và của Trọng là:

Khi đó trung vị của mẫu của Khuê là 4 (Với n = 15 là số lẻ)

Và số trung vị của Trọng là (2 + 2) : 2 = 2 (Với n = 14 là số chẵn).

Vậy so sánh theo cả số trung bình và số trung vị thì Khuê có nhiều tin nhắn mỗi ngày hơn Trọng.

Bài 6 trang 130 SBT Toán 10 Tập 1: Bảng sau ghi giá bán ra lúc 11 giờ trưa của 2 mã cổ phiếu A và B trong 10 ngày liên tiếp (đơn vị: nghìn đồng).

a) Biết có 1 trong 10 ngày trên có sự bất thường trong giá cổ phiếu. Hãy tìm ngày đó và giải thích.

b) Sau khi bỏ đi ngày có giá bất thường, hãy cho biết giá cổ phiếu nào ổn định hơn. Tại sao?

Lời giải:

a) +) Mã cổ phiếu A:

Áp dụng các bước tìm tứ phân vị ta tìm được Q₁ = 45,1, Q₃ = 45,5

Khi đó khoảng tứ phân vị là ∆_Q = Q₃ − Q₁ = 45,5 – 45,1 = 0,4.

Giá trị ngoại lệ x thỏa mãn

x > Q₃ + 1,5∆_Q = 45,5 + 1,5.0,4 = 46,1

Hoặc x < Q₁ − 1,5∆_Q = 45,1 − 1,5.0,4 = 44,5

Vậy đối chiếu mẫu số liệu của A suy ra giá trị ngoại lệ là 35,5 và rơi vào ngày thứ 4.

+) Mã cổ phiếu B:

Áp dụng các bước tìm tứ phân vị ta dễ dàng tìm được Q₁ = 47,8, Q₃ = 49

Khi đó khoảng tứ phân vị là ∆_Q = Q₃ − Q₁ = 49 – 47,8 = 1,2.

Giá trị ngoại lệ x thỏa mãn

x > Q₃ + 1,5∆_Q = 49 + 1,5.1,2 = 50,8

Hoặc x < Q₁ − 1,5∆_Q = 47,8 − 1,5.1,2 = 46

Vậy đối chiếu mẫu số liệu của B suy ra giá trị ngoại lệ là 68,4 và rơi vào ngày thứ 4.

b) Sau khi bỏ đi giá trị ngoại lệ thì giá trị trung bình của mẫu của A là:

Khi đó phương sai của mẫu số liệu của A là

Và giá trị trung bình của mẫu của B là:

Khi đó phương sai của mẫu số liệu của B là

Vậy so sánh hai phương sai mẫu ta thấy 0,036 < 0,505 nên giá của mã cổ phiếu A ổn định hơn giá của mã cổ phiếu B.

Xem thêm các bài giải SBT Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Bài 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu

Bài tập cuối chương 6

Bài 1: Dấu của tam thức bậc hai

Bài 2: Giải bất phương trình bậc hai một ẩn

Lý thuyết Các số đặc trưng đo mức độ phân tán của mẫu số liệu

1. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

1.1. Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

x₁ ≤ x₂ ≤ … ≤ x_n.

• Khoảng biến thiên của một mẫu số liệu, kí hiệu là R, là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu đó, tức là:

R = x_n – x₁.

• Khoảng tứ phân vị, kí hiệu là ∆_Q, là hiệu giữa Q_3­ và Q₁, tức là:

∆_Q = Q₃ – Q₁.

Ví dụ: Hãy tính khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu:

10; 3; 5; 7; 20; 1; 4; 9.

Hướng dẫn giải

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: 1; 3; 4; 5; 7; 9; 10; 20.

- Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là R = 20 – 1 = 19.

- Cỡ mẫu là n = 8, là số chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là Q₂ = 6.

- Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 10; 3; 5; 7. Do đó Q₁ = 4.

- Tứ phân vị thứ 3 là trung vị của mẫu: 7; 9; 10; 20. Do đó Q₃ = 9,5.

- Khoảng tứ phân vị của mẫu là: ∆_Q = 9,5 – 4 = 5,5.

1.2. Ý nghĩa của khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị

Khoảng biến thiên đặc trưng cho độ phân tán của toàn bộ mẫu số liệu.

Khoảng tứ phân vị đặc trưng cho độ phân tán của một nửa các số liệu, có giá trị thuộc đoạn từ Q₁ đến Q₃ trong mẫu.

Khoảng tứ phân vị không bị ảnh hưởng bởi các giá trị rất lớn hoặc rất bé trong mẫu.

Ví dụ: Dưới đây là bảng số liệu thống kê của Biểu đồ nhiệt độ trung bình các tháng trong năm 2019 của hai tỉnh Lai Châu và Lâm Đồng (được đề cập đến ở hoạt động khởi động của bài học).

a) Hãy tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của nhiệt độ trung bình mỗi tháng của tỉnh Lai Châu và Lâm Đồng.

b) Hãy cho biết trong một năm, nhiệt độ ở địa phương nào ít thay đổi hơn.

Hướng dẫn giải

a)

* Tỉnh Lai Châu:

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

14,2; 14,8; 18,6; 18,8; 20,3; 21,0; 22,7; 23,5; 23,6; 24,2; 24,6; 24,7.

+ Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: R = 24,7 – 14,2 = 10,5.

+ Cỡ mẫu là n = 12 là số chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là:

Q₂ = $\frac{1}{2}\left(21,0+22,7\right)=21,85$ .

+ Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 14,2; 14,8; 18,6; 18,8; 20,3; 21,0.

Do đó Q₁ = $\frac{1}{2}\left(18,6+18,8\right)=18,7$ .

+ Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 22,7; 23,5; 23,6; 24,2; 24,6; 24,7.

Do đó Q₃ = $\frac{1}{2}\left(23,6+24,2\right)=23,9$ .

+ Khoảng tứ phân vị của mẫu là: ∆_Q = 23,9 – 18,7 = 5,2.

* Tỉnh Lâm Đồng:

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

16,0; 16,3; 17,4; 17,5; 18,5; 18,6; 18,7; 19,3; 19,5; 19,8; 20,2; 20,3.

+ Khoảng biến thiên của mẫu số liệu là: R' = 20,3 – 16,0 = 4,3.

+ Cỡ mẫu là n = 12 là số chẵn nên giá trị tứ phân vị thứ hai là:

Q'₂ = $\frac{1}{2}\left(18,6+18,7\right)=18,65$ .

+ Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 16,0; 16,3; 17,4; 17,5; 18,5; 18,6.

Do đó Q'₁ = $\frac{1}{2}\left(17,4+17,5\right)=17,45$ .

+ Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 18,7; 19,3; 19,5; 19,8; 20,2; 20,3.

Do đó Q'₃ = $\frac{1}{2}\left(19,5+19,8\right)=19,65$ .

+ Khoảng tứ phân vị của mẫu là: ∆'_Q = 19,65 – 17,45 = 2,2.

b) Xét về cả khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của nhiệt độ trung bình mỗi tháng của cả hai tỉnh, ta thấy: 10,5 > 4,3 hay R > R' và 5,2 > 2,2 hay ∆_Q > ∆'_Q.

Điều đó có nghĩa là trong một năm, nhiệt độ ở Lâm Đồng ít thay đổi hơn.

1.3. Giá trị ngoại lệ  

Khoảng tứ phân vị được dùng để xác định các giá trị ngoại lệ trong mẫu, đó là các giá trị quá nhỏ hay quá lớn so với đa số các giá trị của mẫu. Cụ thể, phần tử x trong mẫu là giá trị ngoại lệ nếu x > Q₃ + 1,5∆_Q hoặc x < Q₁ – 1,5∆_Q.

Sự xuất hiện của các giá trị ngoại lệ làm cho số trung bình và phạm vi của mẫu thay đổi lớn. Do đó, khi mẫu có giá trị ngoại lệ, người ta thường sử dụng trung vị và khoảng tứ phân vị để đo mức độ tập trung và mức độ phân tán của đa số các phần tử trong mẫu số liệu.

Ví dụ: Trong ví dụ ở phần 1.1, ta có:

Q₁ – 1,5∆_Q = 4 – 1,5 . 5,5 = – 4,25

Q₃ + 1,5∆_Q = 9,5 + 1,5 . 5,5 = 17,75

Do đó, mẫu có một giá trị ngoại lệ là 20.

2. Phương sai và độ lệch chuẩn

2.1. Công thức tính phương sai và độ lệch chuẩn

* Giả sử ta có một mẫu số liệu là x₁, x₂, …, x_n.

• Phương sai của mẫu số liệu này, kí hiệu là S², được tính bởi công thức:$S^2=\frac{1}{n}\left[{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2\right],$

 

trong đó $\overline{x}$ là số trung bình của mẫu số liệu.

• Căn bậc hai của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn, kí hiệu là S.

Chú ý: Có thể biến đổi công thức tính phương sai ở trên thành:

$S^2=\frac{1}{n}\left(x_1^2+x_2^2+\mathrm{...}+x_n^2\right)-{\overline{x}}^2$.

Trong thống kê, người ta cũng quan tâm đến phương sai hiệu chỉnh, kí hiệu là , được tính bởi công thức:

${\widehat{s}}^2=\frac{1}{n-1}\left[{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2\right]$.

* Giả sử mẫu số liệu được cho dưới dạng bảng tần số:

Giá trị	x1	x2	…	xk
Tần số	n1	n2	…	nk

Khi đó, công thức tính phương sai trở thành:

$S^2=\frac{1}{n}\left[n_1{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+n_2{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{...}+n_k{\left(x_k-\overline{x}\right)}^2\right],$

trong đó n = n₁ + n₂ + … + n_k.

Có thể biến đổi công thức tính phương sai trên thành

$S^2=\frac{1}{n}\left(n_1{x}_1^2+n_2{x}_2^2+\mathrm{...}+n_k{x}_k^2\right)-\overline{x}$.

Ví dụ: Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu sau:

8; 10; 9; 7; 6; 10; 6; 7; 8; 9.

Hướng dẫn giải

Cỡ mẫu n = 10.

Số trung bình: (8 + 10 + 9 + 7 + 6 + 10 + 6 + 7 + 8 + 9) : 10 = 8.

Phương sai mẫu số liệu là:

S² =$\frac{1}{10}$ (8² + 10² + 9² + 7² + 6² + 10² + 6² + 7² + 8² + 9²) – 8² = 2.

Độ lệch chuẩn mẫu số liệu là S = $\sqrt{S^2}=\sqrt{2}\approx 1,41$ .

Ví dụ: Điều tra số con của mỗi hộ gia đình trong tổ dân cư xóm 2, kết quả được ghi lại ở bảng sau:

Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu.

Hướng dẫn giải

Tổng số hộ gia đình là: n = 4 + 4 + 8 + 3 + 1 = 20 (hộ gia đình).

Số trung bình của mẫu số liệu trên là

$\overline{x}=\frac{1}{20}$(4 . 0 + 4 . 1 + 8 . 2 + 3 . 3 + 1 . 4) = 1,65

Phương sai của mẫu số liệu trên là:

S² = (4 . 0² + 4 . 1² + 8 . 2² + 3 . 3² + 1 . 4²) – 1,65² = 1,2275

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là:

$S=\sqrt{S^2}=\sqrt{1,2275}\approx 1,11$.

2.2. Ý nghĩa của phương sai và độ lệch chuẩn

Phương sai là trung bình cộng của các bình phương độ lệch từ mỗi giá trị của mẫu số liệu đến số trung bình.

Phương sai và độ lệch chuẩn được dùng để đo mức độ phân tán của các số liệu trong mẫu quanh số trung bình. Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì các giá trị của mẫu càng cách xa nhau (có độ phân tán lớn).

Ví dụ: Bảng dưới đây thống kê tổng số giờ nắng trong năm 2019 theo từng tháng được đo bởi hai trạm quan sát khí tượng đặt ở Tuyên Quang và Cà Mau.

a) Hãy tính phương sai và độ lệch chuẩn của dữ liệu từng tỉnh.

b) Nêu nhận xét về sự thay đổi tổng số giờ nắng theo từng tháng ở mỗi tỉnh.

Hướng dẫn giải

a)

* Tỉnh Tuyên Quang:

+ Số trung bình:

$\overline{x_1}=\frac{25+89+72+117+106+177+156+203+227+146+117+145}{12}\approx 131,67$.

+ Phương sai mẫu số liệu ở tỉnh Tuyên Quang là:$S_1^2=\frac{1}{12}\left({25}^2+{89}^2+{72}^2+{117}^2+{106}^2+{177}^2+{156}^2+{203}^2+{227}^2+{146}^2+{117}^2+{145}^2\right)$≈ 2920,34.

+ Độ lệch chuẩn mẫu số liệu ở tỉnh Tuyên Quang là:

S₁ = $\sqrt{S_1^2}=\sqrt{2920,34}\approx 54,04$ .

* Tỉnh Cà Mau:

+ Số trung bình:

$\overline{x_2}=\frac{180+223+257+245+191+111+141+134+130+122+157+173}{12}=172$.

+ Phương sai mẫu số liệu ở tỉnh Cà Mau là:

$S_2^2=\frac{1}{12}$(180² + 223² + 257² + 245² + 191² + 111² + 141² + 134² + 130² + 122² + 157² + 173²) – 172² = 2183.

+ Độ lệch chuẩn mẫu số liệu ở tỉnh Cà Mau là:

S₂ = $\sqrt{S_2^2}=\sqrt{2183}\approx 46,72$ .

b) Phương sai mẫu và độ lệch chuẩn mẫu số liệu ở tỉnh Tuyên Quang cao hơn tỉnh Cà Mau nên tổng số giờ nắng trong năm 2019 theo từng tháng ở tỉnh Tuyên Quang có độ phân tán cao hơn ở tỉnh Cà Mau. Do đó, sự thay đổi tổng số giờ nắng theo từng tháng ở tỉnh Cà Mau ổn định (có ít sự thay đổi) hơn so với tỉnh Tuyên Quang.