Sách bài tập Toán 9 Bài 12 (Kết nối tri thức): Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

520

Với giải sách bài tập Toán 9 Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng sách Kết nối tri thức hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 9. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 9 Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

Bài 4.18 trang 49 sách bài tập Toán 9 Tập 1Cho tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH. Hãy tính cos C theo hai cách và suy ra AC2 = BC . HC.

Lời giải:

Cho tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH. Hãy tính cos C theo hai cách và suy ra AC^2 = BC . HC

Xét tam giác ABC vuông tại A ta có: cosC=ACBC

Xét tam giác HAC vuông tại H ta có: cosC=HCAC

Suy ra ACBC=HCAC, hay AC2 = BC . HC (đpcm).

Bài 4.19 trang 49 sách bài tập Toán 9 Tập 1Gọi AH là đường cao của tam giác ABC vuông tại A. Tính tanABH^  tanCAH^, suy ra AH2 = BH . CH.

Lời giải:

Gọi AH là đường cao của tam giác ABC vuông tại A. Tính tan góc ABH và tan góc CAH

Xét tam giác vuông ABH có tanABH^=AHBH.

Xét tam giác vuông CAH có tanACH^=AHCH.

Vì hai góc BAH và CAH là hai góc phụ nhau (tam giác ABC vuông tại A) nên ta có:

tanABH^=cotACH^=1tanACH^ , hay AHBH=CHAH

Suy ra AH2 = BH . CH (đpcm)

Bài 4.20 trang 49 sách bài tập Toán 9 Tập 1Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Chứng minh rằng 1AH2=1AB2+1AC2

 (HD. Ta có sin B = AHAB, sin C = AHAC, cos B = sin C và áp dụng công thức sin2 α + cos2 α = 1 với mọi góc nhọn α).

Lời giải:

Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao. Chứng minh rằng

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có: tanABH^=AHBH

Xét tam giác ACH vuông tại H ta có: tanACH^=AHHC

 ABH^  ACH^ là hai góc phụ nhau (tam giác ABC vuông tại A) nên:

tanABH^=cotACH^=1tanACH^ hay AHBH=HCAH

Suy ra AH2 = BH . CH (đpcm).

Bài 4.21 trang 49 sách bài tập Toán 9 Tập 1Cho tam giác ABC có BC = 11 cm, ABC^=38°, ACB^=30°. Gọi H là chân của đường vuông góc kẻ từ A đến BC. Hãy tính AH.

Lời giải:

Cho tam giác ABC có BC = 11 cm, góc ABC = 38 độ, ACB = 30 độ. Gọi H là chân của đường vuông góc kẻ từ A đến BC

Vì hai góc B và C của tam giác ABC đều nhọn nên đường cao AH có chân đường cao H nằm giữa B và C.

Gọi h (cm) là độ dài đường cao AH của tam giác ABC.

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có:

tanABH^=AHBH hay tan38°=hBH, suy ra BH=htan38°

Xét tam giác ACH vuông tại H, ta có:

tanACH^=AHCH hay tan30°=hCH, suy ra CH=htan30°

Ta có: BC=BH+CH

Hay 11=htan38°+htan30°=h1tan38°+1tan30°

Do đó h=111tan38°+1tan30°3,652(cm).

Vậy AH ≈ 3,652 cm.

Bài 4.22 trang 49 sách bài tập Toán 9 Tập 1Giải tam giác ABC vuông tại A, với AB = c, BC = a, CA = b trong các trường hợp (cạnh làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba):

a) a = 5, B^ = 50°;

b) b = 5, B^ = 40°;

c) b = 5, C^ = 55°

Lời giải:

a) Ta có: C^=90°B^=90°50°=40°

b=a.sinB=5.sin50°3,830

c=a.sinC=5.sin40°3,214

Vậy tam giác ABC có a = 5, b ≈ 3,830, c ≈ 3,214, A^=90°,B^=50°,C^=40°

Giải tam giác ABC vuông tại A, với AB = c, BC = a, CA = b trong các trường hợp cạnh làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba

b) Ta có: C^=90°B^=90°40°=50°

a=bsinB=5sin40°7,779

c=b.cot40°=5.cot40°5,959

Giải tam giác ABC vuông tại A, với AB = c, BC = a, CA = b trong các trường hợp cạnh làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba

c) Ta có: B^=90°C^=90°55°=35°

a=bcosC=5cos55°8,717

c=b.tanC=5.tan55°7,141

Giải tam giác ABC vuông tại A, với AB = c, BC = a, CA = b trong các trường hợp cạnh làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba

Bài 4.23 trang 49 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho A, B là hai địa điểm ở hai bên bờ sông, biết AN và PM cùng vuông góc MN, MN = n (mét), MP = p (mét), p > n và MPA^=α (H.4.12). Chứng minh rằng: AB=ptanαnsinα.

Cho A, B là hai địa điểm ở hai bên bờ sông, biết AN và PM cùng vuông góc MN, MN = n (mét), MP = p (mét), p lớn hơn n

Lời giải:

Vì AN và PM cùng vuông góc với MN nên AN // PM.

Vì AN // PM nên BAN^=BPM^=α

+ Xét tam giác BAN vuông tại N ta có:

BN=ABsinBAN^=AB.sinα

+ Xét tam giác BPM vuông tại M ta có:

BM=PM.tanBPM^=p.tanα

Ta có: BM – BN = MN

p . tan α – AB . sinα = n

AB . sinα = p . tanα – n

AB=p.tanαnsinα (đpcm).

Bài 4.24 trang 49 sách bài tập Toán 9 Tập 1Một người đứng xa toà nhà 100 m, dùng giác kế thẳng đứng ngắm thấy điểm trên nóc nhà với góc nhìn 15° (so với phương nằm ngang) (H.4.13). Hỏi toà nhà cao bao nhiêu mét (làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất), biết chiều cao của giác kế là 1,7 m?

Một người đứng xa toà nhà 100 m, dùng giác kế thẳng đứng ngắm thấy điểm trên nóc nhà với góc nhìn 15° so với phương nằm ngang

 

Lời giải:

Một người đứng xa toà nhà 100 m, dùng giác kế thẳng đứng ngắm thấy điểm trên nóc nhà với góc nhìn 15° so với phương nằm ngang

Gọi C là chân tòa nhà, D là điểm trên nóc tòa nhà, A là điểm đặt mắt giác kế.

Kẻ đường cao AH của tam giác ACD, ta có:

CH = 1,7 m, AH = 100 m, DAH^=15°

Xét tam giác AHD vuông tại H, ta có:

HD=AH.tanDAH^=100.tan15°

Do đó CD = CH + HD = 1,7 + 100 . tan 15° ≈ 28,5 (m)

Vậy tòa nhà cao xấp xỉ 28,5 m.

Bài 4.25 trang 50 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Hai trạm quan trắc tàu biển đặt ở hai mỏm núi A và B cách nhau 2 km, nhìn thấy chiếc tàu C ở phía xa với với CAB^=50°,  CBA^=45°(H.4.14). Hỏi tàu còn cách đường thẳng AB bao nhiêu mét?

Hai trạm quan trắc tàu biển đặt ở hai mỏm núi A và B cách nhau 2 km, nhìn thấy chiếc tàu C ở phía xa

 

Lời giải:

Hai trạm quan trắc tàu biển đặt ở hai mỏm núi A và B cách nhau 2 km, nhìn thấy chiếc tàu C ở phía xa

Kẻ đường cao CH vuông góc với AB.

+ Xét tam giác ACH vuông tại H ta có:

AH=CH.cotA=CH.cot50°

+ Xét tam giác BCH vuông tại H, ta có:

BH=CH.cotB=CH.cot45°

Do AB = AH + HB, nên

2000=CH.cot50°+CH.cot45°=CHcot50°+cot45°

Suy ra CH=2  000cot50°+cot45°1  087(m).

Vậy tàu còn cách đường thẳng AB xấp xỉ 1 087 m.

Bài 4.26 trang 50 sách bài tập Toán 9 Tập 1Trong một trận chiến đấu, một máy bay của đối phương bay ở độ cao 1 800 m. Khẩu pháo cao xạ ngắm chiếc máy bay đó dưới một góc 35° so với phương nằm ngang. Tìm khoảng cách từ pháo cao xạ đến máy bay (làm tròn đến mét).

Lời giải:

Trong một trận chiến đấu, một máy bay của đối phương bay ở độ cao 1 800 m. Khẩu pháo cao xạ ngắm chiếc máy bay đó

Gọi vị trí của khẩu pháo cao xạ là A, vị trí máy bay là B, C là vị trí hình chiếu của máy bay với mặt đất.

Khi đó ta có: BC = 1 800 m, BAC^=35°, khoảng cách từ pháo cao xạ tới máy bay là độ dài đoạn AB.

Xét tam giác ABC vuông tại C ta có:

AB=BCsinA=1  800sin35°3  138 (m).

Vậy khoảng cách từ pháo cao xạ tới máy bay xấp xỉ bằng 3 138 m.

Bài 4.27 trang 50 sách bài tập Toán 9 Tập 1Từ một đài quan sát ở cạnh bờ biển, có độ cao 300 m so với mặt biển, nhìn thấy một con tàu dưới một góc 25° (so với phương nằm ngang của mực nước biển). Hỏi khoảng cách từ tàu đến đài quan sát xấp xỉ bao nhiêu mét?

Từ một đài quan sát ở cạnh bờ biển, có độ cao 300 m so với mặt biển, nhìn thấy một con tàu dưới một góc 25°

Lời giải:

Từ một đài quan sát ở cạnh bờ biển, có độ cao 300 m so với mặt biển, nhìn thấy một con tàu dưới một góc 25°

Gọi vị trí đài quan sát là A, vị trí chân đài quan sát là H, vị trí con tàu là B.

Khi đó ta có: AH = 300 m, ABH^=25°, khoảng cách từ tàu đến chân đài quan sát là đoạn BH.

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có:

BH=AH.cotABH^=300.cot25°643 (m).

Vậy khoảng cách từ tàu đến chân đài quan sát xấp xỉ 643 m.

Lý thuyết Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

1. Hệ thức giữa cạnh huyền và cạnh góc vuông

Công thức tính cạnh góc vuông theo cạnh huyền và sin, côsin của các góc nhọn

Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề.

Cạnh góc vuông = (cạnh huyền ) × (sin góc đối)

= (cạnh huyền ) × (cosin góc kề)

Ví dụ 1:

Lý thuyết Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng (Kết nối tri thức 2024) | Lý thuyết Toán 9 (ảnh 1)

Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:

b=a.sinB=a.cosC;c=a.sinC=a.cosB.

2. Hệ thức giữa hai cạnh góc vuông

Công thức tính cạnh góc vuông theo cạnh góc vuông kia và tang, côtang của các góc nhọn

Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối hoặc côtang góc kề.

Cạnh góc vuông = (cạnh góc vuông còn lại ) × (tan góc đối) 

= (cạnh góc vuông còn lại ) × (cot góc kề)

Ví dụ 2:

Lý thuyết Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng (Kết nối tri thức 2024) | Lý thuyết Toán 9 (ảnh 2)

Trong tam giác ABC vuông tại A, ta có:

b=c.tanB=c.cotC;c=b.tanC=b.cotB.

3. Giải tam giác vuông

Bài toán Giải tam giác vuông

Trong một tam giác vuông, nếu cho biết trước hai cạnh (hoặc một góc nhọn và một cạnh) thì ta sẽ tìm được tất cả các cạnh và các góc còn lại của tam giác vuông đó.

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 11: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Bài 12: Một số hệ thức giữa cạnh, góc trong tam giác vuông và ứng dụng

Bài tập cuối chương 4

Bài 13: Mở đầu về đường tròn

Bài 14: Cung và dây của một đường tròn

Bài 15: Độ dài của cung tròn. Diện tích hình quạt tròn và hình vành khuyên

Đánh giá

0

0 đánh giá