Với giải Bài 6.11 trang 78 Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức chi tiết trong Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 12 Bài 19: Công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes

Bài 6.11 trang 78 Toán 12 Tập 2: Một bộ lọc được sử dụng để chặn thư rác trong các tài khoản thư điện tử. Tuy nhiên, vì bộ lọc không tuyệt đối hoàn hảo nên một thư rác bị chặn với xác suất 0,95 và một thư đúng (không phải là thư rác) bị chặn với xác suất 0,01. Thống kê cho thấy tỉ lệ thư rác là 3%.

a) Chọn ngẫu nhiên một thư bị chặn. Tính xác suất để đó là thư rác.

b) Chọn ngẫu nhiên một thư không bị chặn. Tính xác suất để đó là thư đúng.

c) Trong số các thư bị chặn, có bao nhiêu phần trăm là thư đúng? Trong số các thư không bị chặn, có bao nhiêu phần trăm là thư rác?

Lời giải:

a) Gọi A là biến cố: “Thư được chọn là thư rác”;

B là biến cố: “Thư được chọn là bị chặn”.

Ta có P(A) = 3% = 0,03; $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)=\mathrm{0,97}$ ; P(B | A) = 0,95; $P\left(B|\overline{A}\right)=\mathrm{0,01}$.

Ta cần phải tính P(A | B). Áp dụng công thức Bayes, ta có:

$P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\right)\cdot P\left(B|A\right)}{P\left(A\right)\cdot P\left(B|A\right)+P\left(\overline{A}\right)\cdot P\left(B|\overline{A}\right)}=\frac{\mathrm{0,03}\cdot \mathrm{0,95}}{\mathrm{0,03}\cdot \mathrm{0,95}+\mathrm{0,97}\cdot \mathrm{0,01}}\approx \mathrm{0,746}$

Vậy khi chọn ngẫu nhiên một thư bị chặn thì xác suất để đó là thư rác khoảng 0,746.

b) Ta phải tính $P\left(\overline{A}|\overline{B}\right)$.

Ta có $P\left(B|\overline{A}\right)=\mathrm{0,01}\Rightarrow P\left(\overline{B}|\overline{A}\right)=\mathrm{0,99}$; $P\left(B|A\right)=\mathrm{0,95}\Rightarrow P\left(\overline{B}|A\right)=\mathrm{0,05}$.

Áp dụng công thức Bayes, ta có:

$P\left(\overline{A}|\overline{B}\right)=\frac{P\left(\overline{A}\right)\cdot P\left(\overline{B}|\overline{A}\right)}{P\left(\overline{A}\right)\cdot P\left(\overline{B}|\overline{A}\right)+P\left(A\right)\cdot P\left(\overline{B}|A\right)}=\frac{\mathrm{0,97}\cdot \mathrm{0,99}}{\mathrm{0,97}\cdot \mathrm{0,99}+\mathrm{0,03}\cdot \mathrm{0,05}}\approx \mathrm{0,998}$

Vậy khi ngẫu nhiên một thư không bị chặn thì xác suất để đó là thư đúng khoảng 0,998.

c) Từ câu a), ta thấy xác suất một thư là thư rác nếu biết rằng thư đó bị chặn là 0,746. Nghĩa là trong số các thư bị chặn có khoảng 74,6% thư rác.

Vậy trong số các thư bị chặn có 100% – 74,6% = 25,4% là thư đúng.

Từ câu b), ta thấy xác suất để đó là thư đúng nếu biết rằng thư đó không bị chặn là 0,998. Nghĩa là trong số các thư không bị chặn có khoảng 99,8% thư đúng.

Vậy trong số các thư không bị chặn có 100% – 99,8% = 0,2% là thư rác.