Với giải Vận dụng trang 69 Toán 12 Tập 2 Kết nối tri thức chi tiết trong Bài 18: Xác suất có điều kiện giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 12 Bài 18: Xác suất có điều kiện

Vận dụng trang 69 Toán 12 Tập 2: Trở lại trò chơi “Ô cửa bí mật” trong tình huống mở đầu. Giả sử người chơi chọn cửa số 1 và người quản trò mở cửa số 3.

Kí hiệu E₁; E₂; E₃ tương ứng là các biến cố: “Sau ô cửa số 1 có ô tô”; “Sau ô cửa số 2 có ô tô”; “Sau ô cửa số 3 có ô tô” và H là biến cố: “Người quản trò mở ô cửa số 3 thấy con lừa”.

Sau khi người quản trò mở cánh cửa số 3 thấy con lừa, tức là khi H xảy ra. Để quyết định thay đổi lựa chọn hay không, người chơi cần so sánh hai xác suất có điều kiện: P(E₁ | H) và P(E₂ | H).

a) Chứng minh rằng:

● P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) = $\frac{1}{3}$;

● P(H | E₁) = $\frac{1}{2}$ và P(H | E₂) = 1.

b) Sử dụng công thức tính xác suất có điều kiện và công thức nhân xác suất, chứng minh rằng:

● P(E₁ | H) = $\frac{P\left(E_1\right)\cdot P\left(H|E_1\right)}{P\left(H\right)}$;

● P(E₂ | H) = $\frac{P\left(E_2\right)\cdot P\left(H|E_2\right)}{P\left(H\right)}$.

c) Từ các kết quả trên hãy suy ra:

P(E₂ | H) = 2P(E₁ | H).

Từ đó hãy đưa ra lời khuyên cho người chơi: Nên giữ nguyên sự lựa chọn ban đầu hay chuyển sang cửa chưa mở còn lại?

Hướng dẫn: Nếu E₁ xảy ra, tức là sau cửa số 1 có ô tô. Khi đó, sau cửa số 2 và 3 là con lừa. Người quản trò chọn ngẫu nhiên một trong hai cửa số 2 và 3 để mở ra. Do đó, việc chọn cửa số 2 hay cửa số 3 có khả năng như nhau. Vậy P(H | E₁) = $\frac{1}{2}$.

Nếu E₂ xảy ra, tức là sau cửa số 2 có ô tô. Khi đó, người quản trò chắc chắn phải mở cửa số 3. Do đó, P(H | E₂) = 1.

Lời giải:

a)

+ Trước khi người chủ trò mở cánh cửa số 3 thì ba biến cố $E_1,E_2,E_3$ là đồng khả năng.

Do đó P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) = $\frac{1}{3}$.

+ Xét P(H | E₁): Nếu E₁ xảy ra, tức là sau ô cửa số 1 có ô tô: Khi đó sau cửa số 2 và 3 là con lừa. Người quản trò chọn mở cửa số 2 hay số 3 với xác suất như nhau.

Do đó P(H | E₁) = $\frac{1}{2}$.

+ Xét P(H | E₂): Nếu E₂ xảy ra tức là sau ô cửa số 2 có ô tô: Khi đó chủ trò chắc chắn phải mở cửa số 3 và thấy con lừa. Do đó P(H | E₂) = 1.

b) Theo công thức tính xác suất có điều kiện và công thức nhân xác suất ta có

P(E₁ | H) = $\frac{P\left(E_{1}H\right)}{P\left(H\right)}$ = $\frac{P\left(E_1\right)\cdot P\left(H|E_1\right)}{P\left(H\right)}$(1);

P(E₂ | H) = $\frac{P\left(E_{2}H\right)}{P\left(H\right)}$ = $\frac{P\left(E_2\right)\cdot P\left(H|E_2\right)}{P\left(H\right)}$(2).

c) Từ (1), (2) và a) suy ra

$\frac{P\left(E_2|H\right)}{P\left(E_1|H\right)}=\frac{P\left(E_2\right)\cdot P\left(H|E_2\right)}{P\left(E_1\right)\cdot P\left(H|E_1\right)}=\frac{\frac{1}{3}\cdot 1}{\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}}=2$.

Vậy P(E₂ | H) = 2P(E₁ | H).

Người chơi nên chuyển sang cửa số 2. Bởi vì với điều kiện H “người quản trò mở cửa số 3 ở đó không có ô tô” thì xác suất để cửa số 2 có ô tô gấp đôi xác suất để cửa số 1 có ô tô.