Bài 6.1 trang 42 SBT Toán 12 Tập 2: Cho P(A) = $\frac{2}{5}$ ; P(B) = $\frac{1}{3}$ ; P(A ∪ B) = $\frac{1}{2}$ . Tính P(A | B) và P(B | A)

Lời giải:

Ta có: P(AB) = P(A) + P(B) – P(A ∪ B) = $\frac{2}{5}+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}$  = $\frac{7}{30}$ .

Từ đó, ta có: P(A | B) = $\frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\mathrm{B}\right)}{\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)}=\frac{7}{30}:\frac{1}{3}=\frac{7}{10}$ .

                     P(B | A) = $\frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\mathrm{B}\right)}{\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right)}=\frac{7}{30}:\frac{2}{5}=\frac{7}{12}$ .

Bài 6.2 trang 42 SBT Toán 12 Tập 2: Một túi đựng 5 viên bi đỏ và 3 viên xanh. Sơn lấy ngẫu nhiên một viên bi đưa cho Tùng rồi Tùng lấy ngẫu nhiên tiếp một viên bi. Tính xác suất để hai viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi đỏ.

Lời giải:

Gọi E là biến cố: “Trong hai viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu đỏ”.

       $\overline{\mathrm{E}}$ là biến cố: “Cả hai viên bi rút ra đều là viên bi xanh”.

Gọi A là biến cố: “Sơn lấy được viên bi xanh”;

       B là biến cố: “Tùng lấy được viên bi xanh”.

Ta có: P($\overline{\mathrm{E}}$) = P(AB).

P(A) = $\frac{3}{3+5}=\frac{3}{8}$ ; P(B | A) = $\frac{{\mathrm{C}}_2^1}{{\mathrm{C}}_7^1}=\frac{2}{7}$ .

P($\overline{\mathrm{E}}$) = P(AB) = P(BA) = P(A). P(B | A) = $\frac{3}{8}.\frac{2}{7}=\frac{3}{28}$ .

So đó P(E) = 1 – P($\overline{\mathrm{E}}$) = 1 − $\frac{3}{28}$  = $\frac{25}{28}$ .

Bài 6.3 trang 42 SBT Toán 12 Tập 2: Một hộp chứa 20 tấm thẻ đánh số {1; 2;…; 20}. Nam rút ngẫu nhiên một tấm thẻ đưa cho Hà rồi Hà rút ngẫu nhiên tiếp một tấm thẻ. Tính xác suất để cả hai thẻ Hà nhận được đều ghi số nguyên tố”.

Lời giải:

Gọi A là biến cố: “Nam rút được thẻ mang số nguyên tố”.

       B là biến cố: “Hà rút được thẻ mang số nguyên tố”.

Trong hộp có 8 tấm thẻ ghi số nguyên tố là: {2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19}, suy ra n(A) = 8.

Nếu A xảy ra thì trong hộp chỉ còn 19 thẻ với 7 thẻ ghi số nguyên tố. Do đó:

P(A) = $\frac{8}{20}$ ; P(B | A) = $\frac{7}{19}$ .

Vậy P(AB) = $\frac{8}{20}$ . $\frac{7}{19}$ = $\frac{14}{95}$  ≈ 0,1473.

Bài 6.4 trang 43 SBT Toán 12 Tập 2: Một hộp chứa 17 viên bi đỏ, 13 viên bi xanh. An lấy ngẫu nhiên một viên bi đưa cho Bình rồi Bình lấy ngẫu nhiên tiếp một viên bi. Tính xác suất để hai viên bi Bình nhận được:

a) Đều là bi đỏ;

b) Là hai viên bi khác nhau.

Lời giải:

a) Gọi A là biến cố: “An lấy được viên bi màu đỏ”.

           B là biến cố: “Bình lấy được viên bi màu đỏ”.

Do đó, ta có: P(AB) là xác suất hai viên bi Bình được đều là màu đỏ.

Ta có: Không gian mẫu là: n(Ω) = 17 + 13 = 30.

P(A) = $\frac{17}{30}$ ; P(B | A) = $\frac{16}{29}$ .

Vậy P(AB) = $\frac{17}{30}$ . $\frac{16}{29}$ = $\frac{136}{435}$  ≈ 0,3126.

b) Gọi $\overline{\mathrm{A}}$ là biến cố: “An lấy được viên bi màu xanh”.

            $\overline{\mathrm{B}}$ là biến cố: “Bình lấy được viên bi màu xanh”.

Ta có: P($\overline{\mathrm{A}}$) = $\frac{13}{30}$ ; P($\overline{\mathrm{B}}$) = $\frac{12}{29}$ .

Xác suất để cả hai lần lấy đều được viên bi màu xanh là: $\frac{13}{30}$ . $\frac{12}{29}$ = $\frac{26}{145}$ .

Xác suất để cả hai lần lấy được viên bi màu đỏ là:$\frac{136}{435}$ .

Như vậy, xác suất để hai lần lấy được 2 viên bi khác màu là:

1 – $\frac{136}{435}$  − $\frac{26}{145}$  = $\frac{221}{435}$  ≈ 0,508.

Bài 6.5 trang 43 SBT Toán 12 Tập 2: Cho hai biến cố A và B với P(A) > 0, P(B) > 0. Chứng minh rằng nếu P(AB) = P(A).P(B) thì A và B độc lập.

Lời giải:

Giả sử: P(AB) = P(A).P(B) với P(A) > 0, P(B) > 0.

Ta có: P(A | B) = $\frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\mathrm{B}\right)}{\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)}=\frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right).\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)}{\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)}$  = P(A);

           P(B | A) = $\frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\mathrm{B}\right)}{\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right)}=\frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right).\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)}{\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right)}$  = P(B).

Vậy P(A | B) = P(A), P(B | A) = P(B).

Từ đó, việc xảy ra biến cố B không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố A và ngược lại.

Do đó, A và B độc lập.

Bài 6.6 trang 43 SBT Toán 12 Tập 2: Tung con xúc xắc cân đối liên tiếp hai lần. Xét các biến cố sau:

A: “Xuất hiện mặt một chấm ở lần gieo thứ nhất”;

B: “Xuất hiện mặt hai chấm ở lần gieo thứ hai”;

C: “Tổng số chấm xuất hiện ở hai lần gieo bằng 7”.

Chứng minh rằng:

a) Hai biến cố A và B độc lập;

b) Hai biến cố B và C độc lập.

c) Hai biến cố A và C độc lập.

Lời giải:

a) Ta có:

Các phần tử của biến cố A: “Xuất hiện mặt một chấm ở lần gieo thứ nhất” là:

A = {(1; 1); (1; 2); (1; 3); (1; 4); (1; 5); (1; 6)};

Các phần tử của biến cố B: “Xuất hiện mặt hai chấm ở lần gieo thứ hai”;

B = {(1; 2); (2; 2); (3; 2); (4; 2); (5; 2); (6; 2)}.

Có A ∩ B = {(1; 2)}.

Do đó, P(A) = $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$ ; P(B) = $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$ ; P(AB) = $\frac{1}{36}$ .

Nhận thấy $\frac{1}{36}$  = $\frac{1}{6}.\frac{1}{6}$  hay P(AB) = P(A).P(B).

Ta có: P(A | B) = $\frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\mathrm{B}\right)}{\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\right)}=\frac{1}{36}:\frac{1}{6}=\frac{1}{6}$  = P(A);

           P(B | A) = $\frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\mathrm{B}\right)}{\mathrm{P}\left(\mathrm{A}\right)}=\frac{1}{36}:\frac{1}{6}=\frac{1}{6}$  = P(B).

Vậy P(A | B) = P(A), P(B | A) = P(B).

Vậy hai biến cố A và B độc lập.

b) Các phần tử của biến cố C: “Tổng số chấm xuất hiện ở hai lần gieo bằng 7” là:

C = {(1; 6); (2; 5); (3; 4); (4; 3); (5; 2); (6; 1)};

Có B ∩ C = {(5; 2)}.

Ta có: P(C) = $\frac{6}{36}=\frac{1}{6}$ , P(BC) = $\frac{1}{36}$ .

Suy ra P(BC) = P(C).P(B).

Nhận thấy: P(B | C) = $\frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\mathrm{C}\right)}{\mathrm{P}\left(\mathrm{C}\right)}=\frac{1}{36}:\frac{1}{6}=\frac{1}{6}$  = P(B);

                   P(C | A) = $\frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{B}\mathrm{C}\right)}{\mathrm{P}\left(\mathrm{C}\right)}=\frac{1}{36}:\frac{1}{6}=\frac{1}{6}$  = P(C).

Vậy P(B | C) = P(B), P(C | A) = P(C).

Vậy hai biến cố C và B độc lập.

c) Ta có: A ∩ C = {(1; 6)} nên P(AC) = $\frac{1}{6}$ .

Ta có: P(AC) = P(C).P(A).

Tương tự ý a, b ta suy ra A và C là hai biến cố độc lập.

Lý thuyết Xác suất có điều kiện