Với giải sách bài tập Toán 9 Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số sách Cánh diều hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 9. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 9 Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số

Bài 31 trang 65 SBT Toán 9 Tập 1: Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một bình phương, hãy rút gọn biểu thức:

Lời giải:

a) $\sqrt{25-10x+x^2}=\sqrt{5^2-2\cdot 5x+x^2}=\sqrt{{\left(5-x\right)}^2}=\left|5-x\right|.$

Do x ≤ 5 nên 5 ‒ x ≥ 0, do đó |5 – x| = 5 – x.

Vậy $\sqrt{25-10x+x^2}=\left|5-x\right|=5-x.$

b) $\sqrt{{\left(9+12x+4x^2\right)}^2}=\left|9+12x+4x^2\right|$

= |(3 + 2x)²| = (3 + 2x)² (do 3 + 2x > 0 với mọi x).

c) $\sqrt{{\left(3x+1\right)}^6}=\sqrt{{\left[{\left(3x+1\right)}^3\right]}^2}=\left|{\left(3x+1\right)}^3\right|$

 Do $x\ge -\frac{1}{3}$ nên 3x + 1 ≥ 0, do đó |(3x + 1)³| = (3x + 1)³.

Vậy $\sqrt{{\left(3x+1\right)}^6}=\left|{\left(3x+1\right)}^3\right|={\left(3x+1\right)}^3.$

d) $\sqrt{\frac{49x^2{\left(x+5\right)}^2}{16}}=\sqrt{{\left[\frac{7x\left(x+5\right)}{4}\right]}^2}=\left|\frac{7x\left(x+5\right)}{4}\right|.$

Do x ≥ 0 nên 7x(x + 5) > 0, do đó $\left|\frac{7x\left(x+5\right)}{4}\right|=\frac{7x\left(x+5\right)}{4}.$

Vậy $\sqrt{\frac{49x^2{\left(x+5\right)}^2}{16}}=\left|\frac{7x\left(x+5\right)}{4}\right|=\frac{7x\left(x+5\right)}{4}.$

Bài 32 trang 66 SBT Toán 9 Tập 1: Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một tích và một thương, hãy rút gọn biểu thức:

Lời giải:

a) $\sqrt{98x^2}\cdot \sqrt{y^3}=\sqrt{49\cdot 2\cdot x^2}\cdot \sqrt{y^2\cdot y}$

$=7\cdot \left|x\right|\cdot \sqrt{2}\cdot \left|y\right|\cdot \sqrt{y}$

$=-7xy\sqrt{2y}$ (do x < 0, y ≥ 0).

b) $\sqrt{x^3{\left(x-1\right)}^2}=\sqrt{x^2\cdot x\cdot {\left(x-1\right)}^2}=\left|x\right|\cdot \left|x-1\right|\cdot \sqrt{x}.$

Do x ≥ 1 nên x ‒ 1 ≥ 0, do đó |x – 1| = x – 1.

Vậy $\sqrt{x^3{\left(x-1\right)}^2}=\left|x\right|\cdot \left|x-1\right|\cdot \sqrt{x}=x\left(x-1\right)\sqrt{x}.$

c) $\sqrt{x^4}\cdot \sqrt{{\left(x-7\right)}^2}=\sqrt{{\left(x^2\right)}^2}\cdot \left|x-7\right|=\left|x^2\right|\cdot \left|x-7\right|=x^2\cdot \left|x-7\right|$  (do x² > 0 với mọi x > 7).

Do x > 7 nên x ‒ 7 > 0, do đó |x – 7| = x – 7.

Vậy $\sqrt{x^4}\cdot \sqrt{{\left(x-7\right)}^2}=x^2\cdot \left|x-7\right|=x^2\left(x-7\right).$

d) $\sqrt{\frac{x^2}{36-12x+x^2}}=\sqrt{\frac{x^2}{{\left(x-6\right)}^2}}=\sqrt{{\left(\frac{x}{x-6}\right)}^2}=\left|\frac{x}{x-6}\right|.$

Do x > 6 > 0 nên x ‒ 6 > 0, do đó $\frac{x}{x-6}>0,$ suy ra $\left|\frac{x}{x-6}\right|=\frac{x}{x-6}.$

Vậy $\sqrt{\frac{x^2}{36-12x+x^2}}=\left|\frac{x}{x-6}\right|=\frac{x}{x-6}.$

e) $\frac{\sqrt{1250{\left(x-5\right)}^3}}{\sqrt{2{\left(x-5\right)}^5}}=\sqrt{\frac{1250{\left(x-5\right)}^3}{2{\left(x-5\right)}^5}}$

$=\sqrt{\frac{625}{{\left(x-5\right)}^2}}=\sqrt{\frac{{25}^2}{{\left(x-5\right)}^2}}=\sqrt{{\left(\frac{25}{x-5}\right)}^2}=\left|\frac{25}{x-5}\right|.$

Do x < 5 nên x ‒ 5 < 0, do đó $\frac{25}{x-5}<0,$ suy ra $\left|\frac{25}{x-5}\right|=-\frac{25}{x-5}=\frac{25}{5-x}.$

Vậy $\frac{\sqrt{1250{\left(x-5\right)}^3}}{\sqrt{2{\left(x-5\right)}^5}}=\left|\frac{25}{x-5}\right|=\frac{25}{5-x}.$

g) $\sqrt{\frac{1+x-2\sqrt{x}}{1+x+2\sqrt{x}}}=\sqrt{\frac{{\left(\sqrt{x}-1\right)}^2}{{\left(\sqrt{x}+1\right)}^2}}=\sqrt{{\left(\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\right)}^2}$

$=\left|\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\right|=\frac{\left|\sqrt{x}-1\right|}{\sqrt{x}+1}$ (do $\sqrt{x}+1>0$ với mọi số thực x ≥ 0).

Bài 33 trang 66 SBT Toán 9 Tập 1: Trục căn thức ở mẫu:

Lời giải:

Bài 34 trang 66 SBT Toán 9 Tập 1: Trục căn thức ở mẫu:

Lời giải:

Bài 35 trang 66 SBT Toán 9 Tập 1: Chứng minh:

Lời giải:

Bài 36 trang 66 SBT Toán 9 Tập 1: a) Cho biểu thức:

$A=\frac{1}{3-\sqrt{8}}-\frac{1}{\sqrt{8}-\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{6}}-\frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{5}-2}.$

Chứng minh: A = 5.

b*) Cho biểu thức: $B=\frac{1}{\sqrt{2+\sqrt{3}}}+\frac{1}{\sqrt{2-\sqrt{3}}}.$

Chứng minh: $B=\sqrt{6}.$

Lời giải:

a) Ta có:

Vậy A = 5.

b*) Ta có:

Vậy $B=\sqrt{6}.$

Bài 37 trang 67 SBT Toán 9 Tập 1: a) Cho biểu thức: $C=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{24}}+\frac{1}{\sqrt{25}}.$

Chứng minh: $C>\frac{24}{5}.$

b*) Cho biểu thức: $D=\left(\frac{y-2}{y+2\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}+2}\right)\cdot \frac{\sqrt{y}+1}{\sqrt{y}-1}$ với y > 0, y ≠1.

Chứng minh: $D=\frac{\sqrt{y}+1}{\sqrt{y}}.$

Lời giải:

a) Do 2 < 3 < 4 < … < 24 < 25 nên $\sqrt{2}<\sqrt{3}<\sqrt{4}<\dots <\sqrt{24}<\sqrt{25}.$

Suy ra $\frac{1}{\sqrt{2}}>\frac{1}{\sqrt{3}}>\frac{1}{\sqrt{4}}>\cdots >\frac{1}{\sqrt{24}}>\frac{1}{\sqrt{25}}.$

Do đó

$\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{4}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{24}}+\frac{1}{\sqrt{25}}>\underset{\text{gom }24\text{ so hang }\frac{1}{\sqrt{25}}}{\underbrace{\frac{1}{\sqrt{25}}+\frac{1}{\sqrt{25}}+\frac{1}{\sqrt{25}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{25}}+\frac{1}{\sqrt{25}}}}\text{. }$

Vậy $C>24\cdot \frac{1}{\sqrt{25}}$ hay $C>\frac{24}{5}.$

b*) Với y > 0, y ≠1, ta có:

Vậy với y > 0, y ≠1 thì $D=\frac{\sqrt{y}+1}{\sqrt{y}}.$

Bài 38 trang 67 SBT Toán 9 Tập 1: Cho biểu thức: $M=\frac{1}{2\sqrt{x}-2}-\frac{1}{2\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{x}}{1-x}$ với x ≥ 0, x ≠ 1.

a) Rút gọn biểu thức M.

b) Tính giá trị của biểu thức M tại $x=\frac{4}{9}.$

c*) Tìm giá trị của x để $\left|M\right|=\frac{1}{3}.$

Lời giải:

a) Với x ≥ 0, x ≠ 1, ta có:

Vậy với x ≥ 0, x ≠ 1 thì $M=\frac{-1}{\sqrt{x}+1}.$

b) Thay $x=\frac{4}{9}$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $M=\frac{-1}{\sqrt{x}+1},$ ta có:

$M=\frac{-1}{\sqrt{\frac{4}{9}}+1}=\frac{-1}{\frac{2}{3}+1}=\frac{-1}{\frac{5}{3}}=\frac{-3}{5}.$

Vậy giá trị của biểu thức M tại $x=\frac{4}{9}$ là $\frac{-3}{5}$

c*) Với x ≥ 0, x ≠ 1, để $\left|M\right|=\frac{1}{3}$ thì $\left|\frac{-1}{\sqrt{x}+1}\right|=\frac{1}{3}.$

Suy ra $\frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{1}{3}$ (do $\sqrt{x}+1>0)$ nên $\sqrt{x}+1=3$

Do đó $\sqrt{x}=2,$ suy ra x = 4 (thoả mãn x ≥ 0, x ≠ 1).

Vậy x = 4 thì $\left|M\right|=\frac{1}{3}.$

Bài 39 trang 67 SBT Toán 9 Tập 1: Cho biểu thức: $N=\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right)\cdot \frac{x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ với x > 0.

a) Rút gọn biểu thức N.

b*) Tìm giá trị nhỏ nhất của N.

Lời giải:

a) Với x > 0, ta có:

Vậy với x > 0 thì $N=\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}.$

b*) Với x > 0, ta có: $N=\frac{x+\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}=\sqrt{x}+1+\frac{1}{\sqrt{x}}$.

Do $\sqrt{x}>0$ và $\frac{1}{\sqrt{x}}>0$ với x > 0 nên theo kết quả Ví dụ 5 (trang 65), SBT Toán 9, Tập một, ta có: $\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\ge 2\sqrt{\sqrt{x}\cdot \frac{1}{\sqrt{x}}}$ hay $\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\ge 2,$ suy ra $\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}+1\ge 2+1$ hay N ≥ 3.

Vậy giá trị nhỏ nhất của N là 3 khi $\sqrt{x}=\frac{1}{\sqrt{x}}$ hay x = 1 (thoả mãn x > 0).

Bài 40 trang 67 SBT Toán 9 Tập 1: Cho biểu thức: $P=\frac{2}{\sqrt{x}-1}+\frac{2}{\sqrt{x}+1}-\frac{5-\sqrt{x}}{x-1}$ với x ≥ 0, x ≠ 1.

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tính giá trị của biểu thức P tại x = 4.

c*) Tìm giá trị của x để P có giá trị là số nguyên.

Lời giải:

a) Với x ≥ 0, x ≠ 1, ta có:

Vậy với x ≥ 0, x ≠ 1 thì $P=\frac{5}{\sqrt{x}+1}.$

b) Thay x = 4 (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức $P=\frac{5}{\sqrt{x}+1},$ ta có:

$P=\frac{5}{\sqrt{4}+1}=\frac{5}{2+1}=\frac{5}{3}.$

Vậy giá trị của biểu thức P tại x = 4 là $\frac{5}{3}$

c*) Với x ≥ 0, x ≠ 1, ta có $\sqrt{x}+1\ge 1$ nên $\frac{5}{\sqrt{x}+1}>0$ và $\frac{5}{\sqrt{x}+1}\le 5.$

Do đó 0 < P ≤ 5.

Vì vậy, để P có giá trị là số nguyên thì P ∈{1; 2; 3; 4; 5}.

⦁ Nếu P = 1 thì $\frac{5}{\sqrt{x}+1}=1,$ suy ra $\sqrt{x}+1=5$ hay $\sqrt{x}=4,$ do đó x = 4² hay x = 16 (thoả mãn x ≥ 0, x ≠ 1).

⦁ Nếu P = 2 thì $\frac{5}{\sqrt{x}+1}=2,$ suy ra $\sqrt{x}+1=\frac{5}{2}$ hay $\sqrt{x}=\frac{3}{2},$ do đó $x={\left(\frac{3}{2}\right)}^2$ hay $x=\frac{9}{4}$ (thoả mãn x ≥ 0, x ≠ 1).

⦁ Nếu P = 3 thì $\frac{5}{\sqrt{x}+1}=3,$ suy ra $\sqrt{x}+1=\frac{5}{3}$ hay $\sqrt{x}=\frac{2}{3},$$x={\left(\frac{2}{3}\right)}^2$ hay $x=\frac{4}{9}$ (thoả mãn x ≥ 0, x ≠ 1).

⦁ Nếu P = 4 thì $\frac{5}{\sqrt{x}+1}=4,$ suy ra $\sqrt{x}+1=\frac{5}{4}$ hay $\sqrt{x}=\frac{1}{4},$ do đó $x={\left(\frac{1}{4}\right)}^2$ hay $x=\frac{1}{16}$ (thoả mãn x ≥ 0, x ≠ 1).

⦁ Nếu P = 5 thì $\frac{5}{\sqrt{x}+1}=5,$ suy ra $\sqrt{x}+1=1$ hay $\sqrt{x}=0,$ do đó x = 0 (thoả mãn x ≥ 0, x ≠ 1).

Vậy $x\in \left\{16;\frac{9}{4};\frac{4}{9};\frac{1}{16};0\right\}$ thì P có giá trị là số nguyên.

Bài 41 trang 67 SBT Toán 9 Tập 1: Tìm x, biết:

Lời giải:

a) Với x ≥ 0, ta có:

   x = 17² = 289 (thỏa mãn x ≥ 0).

Vậy x = 289.

b) Với x ≥ 0, ta có:

   x = 80 (thỏa mãn x ≥ 0).

Vậy x = 80.

c) $\sqrt{25x^2}=10$

$\sqrt{{\left(5x\right)}^2}=10$

   |5x| = 10

    5x = 10 hoặc 5x = ‒10

      x = 2 hoặc x= ‒2.

Vậy x = 2 hoặc x = ‒2.

d) $\sqrt{{\left(2x-1\right)}^2}=3$

       |2x – 1| = 3

Trường hợp 1: 2x ‒ 1 = 3

2x = 4

  x = 2.

Trường hợp 2: 2x ‒ 1 = ‒3

2x = ‒2

  x = ‒1.

Vậy x = 2 hoặc x = ‒1.

e) $2-\sqrt[3]{5-x}=0.$

$\sqrt[3]{5-x}=2$

   5 ‒ x = 2³

   5 – x = 8

         x = ‒3.

Vậy x = ‒3.

Xem thêm các bài giải Sách bài tập Toán lớp 9 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 3: Căn thức bậc hai và căn thức bậc ba của biểu thức đại số

Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số

Bài tập cuối chương 3

Bài 1: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Bài 2: Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Bài 3: Ứng dụng của tỉ số lượng giác của góc nhọn

Lý thuyết Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số

1. Căn thức bậc hai của một bình phương

Quy tắc về căn thức bậc hai của một bình phương:

Ví dụ:$\sqrt{{\left(x-2\right)}^2}=\left|x-2\right|=\{\begin{array}{l}x-2khix\ge 2\\ 2-xkhix\le 2\end{array}$

2. Căn thức bậc hai của một tích

Quy tắc về căn thức bậc hai của một tích:

Ví dụ:

$\sqrt{4a^2}=\sqrt{4}.\sqrt{a^2}=2\left|a\right|$;

$\sqrt{2a}.\sqrt{8a}=\sqrt{2a.8a}=\sqrt{16a^2}=\sqrt{16}.\sqrt{a^2}=4\left|a\right|$.

3. Căn thức bậc hai của một thương

Quy tắc về căn bậc hai của một thương

Ví dụ:

$\sqrt{\frac{4a^2}{25}}=\frac{\sqrt{4a^2}}{\sqrt{25}}=\frac{2\left|a\right|}{5}$;

$\frac{\sqrt{125a}}{\sqrt{5a}}=\sqrt{\frac{125a}{5a}}=\sqrt{25}=5$.

4. Trục căn thức ở mẫu

Nhận xét: Phép biến đổi làm mất căn thức bậc hai ở mẫu thức của một biểu thức được gọi là trục căn thức ở mẫu của biểu thức đó.

Ví dụ:

$\frac{2}{3\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{3{\left(\sqrt{5}\right)}^2}=\frac{2\sqrt{5}}{3.5}=\frac{2\sqrt{5}}{15}$;

$\frac{a}{3-2\sqrt{2}}=\frac{a\left(3+2\sqrt{2}\right)}{\left(3-2\sqrt{2}\right).\left(3+2\sqrt{2}\right)}=\frac{a\left(3+2\sqrt{2}\right)}{3^2-{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}=\frac{a\left(3+2\sqrt{2}\right)}{9-8}=\left(3+2\sqrt{2}\right)a$.