Với giải Bài 3 trang 79 Toán 9 Tập 2 Cánh diều chi tiết trong Bài tập cuối chương 8 giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 9. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 9 Bài tập cuối chương 8

Bài 3 trang 79 Toán 9 Tập 2: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AK, BM cắt nhau tại trực tâm H của tam giác ABC. Tia AK cắt đường tròn (O) tại điểm N (khác A). Chứng minh:

a) $\widehat{CBM}=\widehat{CAK};$

b) Tam giác BHN cân;

c) BC là đường trung trực của HN.

Lời giải:

a) Xét ∆ABC có các đường cao AK, BM cắt nhau tại trực tâm H nên AK ⊥ BC và BM ⊥ AC.

Vì ∆AKC vuông tại K có $\widehat{KAC}+\widehat{C}=90°$ (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông bằng 90°).

Vì ∆BMC vuông tại M có $\widehat{CBM}+\widehat{C}=90°$ (tổng hai góc nhọn của tam giác vuông bằng 90°).

Suy ra $\widehat{CBM}=\widehat{CAK}.$

b) Xét đường tròn (O) có $\widehat{CAN},\widehat{CBN}$ là hai góc nội tiếp cùng chắn cung CN nên $\widehat{CAN}=\widehat{CBN}$ hay $\widehat{CAK}=\widehat{KBN}.$

Mà $\widehat{CBM}=\widehat{CAK}$ (câu a) nên $\widehat{KBN}=\widehat{CBM}$ hay $\widehat{KBN}=\widehat{KBH}.$

Do đó BK là đường phân giác của góc HBN.

Xét ∆BHN có đường cao BK đồng thời là đường phân giác nên ∆BHN cân tại B.

c) Vì ∆BHN cân tại B (câu b) nên đường cao BK đồng thời là đường trung trực của HN.

Vậy BC đường trung trực của HN.