Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Bài 4: Hình quạt tròn và hình vành khuyên sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9.

Lý thuyết Toán 9 Bài 4: Hình quạt tròn và hình vành khuyên

A. Lý thuyết Hình quạt tròn và hình vành khuyên

1. Độ dài cung tròn

Công thức tính chu vi đường tròn

Công thức tính độ dài C của đường tròn (O; R), đường kính d = 2R là:

$C=\pi d=2\pi R$

Công thức tính độ dài cung tròn

Ví dụ:

Đường tròn (O; 2cm), $\widehat{AOB}={60}^0$.

- Cung nhỏ AB bị chắn bởi góc ở tâm AOB.

Do đó sđ$\stackrel{⌢}{AB}=\widehat{AOB}={60}^0$

Độ dài $l_1$ của cung AB là:

$l_1=\frac{n}{180}\pi R=\frac{60}{180}\pi .2=\frac{2\pi }{3}\approx 2,1\left(cm\right)$

Cung lớn AnB có số đo là:

sđ$\stackrel{⌢}{AmN}={360}^o-{60}^0={300}^0$.

Độ dài $l_2$ của cung AnB là:

$l_2=\frac{300}{180}\pi .2=\frac{10}{3}\pi \approx 10,5\left(cm\right)$

2. Hình quạt tròn

Khái niệm hình quạt tròn

Diện tích hình quạt tròn

Ví dụ: Diện tích hình quạt tròn có độ dài tương ứng với nó là $l=4\pi$cm, bán kính là R = 5cm là:

$S_q=\frac{l.R}{2}=\frac{4\pi .5}{2}=10\pi \left(c{m}^2\right)$

3. Hình vành khuyên

Khái niệm hình vành khuyên

Diện tích hình vành khuyên

Ví dụ:  Diện tích hình vành khuyên nằm giữa hai đường tròn đồng tâm có bán kính là 3m và 5m là:

$S_v=\pi \left(5^2-3^2\right)=16\pi \left(m^2\right)$

Sơ đồ tư duy Hình quạt tròn và hình vành khuyên

B. Bài tập Hình quạt tròn và hình vành khuyên

Bài 1. Diện tích hình quạt tròn bán kính R, ứng với cung 45° là

A. $\pi R^2;$

B. $\frac{\pi R^2}{2};$

C. $\frac{\pi R^2}{4};$

D. $\frac{\pi R^2}{8}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Diện tích hình quạt tròn bán kính R, ứng với cung 45° là:

$S=\frac{\pi R^{2}n}{360}=\frac{\pi .R^2.45}{360}=\frac{\pi R^2}{8}.$

Diện tích hình quạt tròn bán kính R, ứng với cung 45° là $\frac{\pi R^2}{8}.$

Bài 2. Diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi đường tròn (O; 1 cm) và (O; 3 cm) là

A. 10 cm²;

B. 8 cm²;

C. 8π cm²;

D. 10π cm².

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi đường tròn (O; 1 cm) và (O; 3 cm) là:

$S=\pi \left(R^2-r^2\right)=\pi \left(3^2-1^2\right)=8\pi$ (cm²).

Bài 3. Cho đường tròn (O; 5 cm).

a) Hãy nêu cách vẽ dây AB sao cho khoảng cách từ điểm O đến dây bằng 2,5 cm;

b) Tính độ dài của dây AB trong câu a (làm tròn đến hàng phần trăm);

c) Tính số đo và độ dài của cung nhỏ AB;

d) Tính diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài, ta có hình vẽ sau:

a) Vẽ bán kính OM của đường tròn, trên OM lấy điểm H sao cho OH = 2,5 cm.

Kẻ đoạn thẳng AB vuông góc với OH tại H, cắt đường tròn tại A và B.

Khi đó, ta được dây cung AB cần vẽ.

b) Gọi H là trung điểm của AB.

Xét ∆OAH và ∆OBH có:

OA = OB = R; OH chung; $\widehat{OHA}=\widehat{OHB}=90°$.

Do đó ∆OAH = ∆OBH (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra AH = BH (hai cạnh tương ứng) và AB = 2AH.

Xét ∆OAH vuông tại H có: AH² + OH² = OA² (định lí Pythagore)

Hay AH² = OA² – OH² = 5² – 2,5² = 18,75.

Suy ra $AH=\frac{5\sqrt{3}}{2}$ (cm) và $AB=2.\frac{5\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}\approx 8,66$ (cm).

Vậy độ dài của dây AB khoảng 8,66 cm.

c) Xét ∆OAH vuông tại H có:

$\cos \widehat{AOH}=\frac{OH}{OA}=\frac{2,5}{5}=\frac{1}{2}$ suy ra $\widehat{AOH}=60°.$

Mà ∆OAH = ∆OBH suy ra $\widehat{BOH}=\widehat{AOH}=60°$  (hai góc tương ứng)

Suy ra $\widehat{AOB}=\widehat{BOH}+\widehat{AOH}=60°+60°=120°$ và $sđ\stackrel{⏜}{AB}=120°.$

Độ dài cung AB là: $\frac{120}{180}.\pi .5=\frac{10}{3}\pi$ (cm).

Vậy $sđ\stackrel{⏜}{AB}=120°$  và độ dài cung nhỏ AB bằng $\frac{10}{3}\pi cm$ .

d) Diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB là:

$\frac{\pi .5^2.120}{360}=\frac{25\pi }{3}$ (cm²).

Vậy diện tích hình quạt tròn ứng với cung nhỏ AB bằng $\frac{25\pi }{3}$ cm².

Bài 4. Tính độ dài các cung 60°; 90°; 150° của đường tròn (O; 5 cm) (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Hướng dẫn giải

Cung 60°, bán kính R = 5 cm có độ dài là: $\mathcal{l}=\frac{\pi Rn}{180}=\frac{\pi .5.60}{180}=\frac{5\pi }{3}\approx 5,23$  (cm).

Cung 90°, bán kính R = 5 cm có độ dài là: $\mathcal{l}=\frac{\pi Rn}{180}=\frac{\pi \mathrm{.5.90}}{180}=\frac{5\pi }{2}\approx 7,85$ (cm).

Cung 150°, bán kính R = 5 cm có độ dài là: $\mathcal{l}=\frac{\pi Rn}{180}=\frac{\pi \mathrm{.5.60}}{180}=\frac{25\pi }{6}\approx 13,09$

Xem thêm các bài tóm tắt Lý thuyết Toán lớp 9 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 1: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Lý thuyết Bài 2: Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông

Lý thuyết Bài 1: Đường tròn

Lý thuyết Bài 2: Tiếp tuyến của đường tròn

Lý thuyết Bài 3: Góc ở tâm, góc nội tiếp

Lý thuyết Bài 4: Hình quạt tròn và hình vành khuyên