Với giải sách bài tập Toán 9 Bài 4: Hình quạt tròn và hình vành khuyên sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 9. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 9 Bài 4: Hình quạt tròn và hình vành khuyên

Bài 1 trang 96 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Quan sát Hình 8 và tính:

a) số đo cung AmB.

b) độ dài cung AmB.

c) diện tích hình quạt tròn OAmB.

d) diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung AmB và dây AB.

Lời giải:

a) Xét ∆OAB cân tại O (do OA = OB) nên $\widehat{AOB}=180°-2\widehat{OAB}=180°-2\cdot 45°=90°.$

Suy ra $\text{sđ}\stackrel{⏜}{AmB}=\widehat{AOB}=90°.$

b) Độ dài cung AmB là:

$l_{\stackrel{⏜}{AmB}}=\frac{\pi \cdot 2\cdot 90}{180}=\pi \approx 3,14 ( \text{cm}).$

c) Diện tích hình quạt tròn OAmB là:

$S_{OAmB}=\frac{\pi \cdot 2^2\cdot 90}{360}=\pi \approx 3,14\left({\text{cm}}^2\right).$

d) Do ∆OAB có $\widehat{AOB}=90°$ nên ∆OAB vuông tại O.

Diện tích tam giác OAB là:

$S_{\Delta OAB}=\frac{1}{2}\cdot OA\cdot OB=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 2=2{\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(cm}}^2).$

Diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung AmB và dây AB bằng:

S_OAmB – S_∆OAB = π  – 2 ≈ 3,14 – 2 = 1,14 (cm²).

Bài 2 trang 97 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 3 cm, $\widehat{CAB}=30°$ (Hình 9).

a) Tính độ dài cung BmD.

b) Tính diện tích hình quạt tròn OBmD.

Lời giải:

a) Xét ∆OAC cân tại O (do OA = OC), suy ra $\widehat{OCA}=\widehat{OAC}=30°.$

Lại có $\widehat{OCA}+\widehat{OAC}+\widehat{AOC}=180°$

Suy ra $\widehat{AOC}=180°-\widehat{OCA}-\widehat{OAC}=180°-30°-30°=120°$

Do đó $\widehat{DOB}=\widehat{AOC}=120°$  (đối đỉnh).

Do AB = 3 cm, suy ra $AO=OB=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}\cdot 3=1,5$  (cm).

Cung BmD có số đo 120°, bán kính R = 1,5 cm có độ dài là:

$l_{\stackrel{⏜}{BmD}}=\frac{\pi \cdot 1,5\cdot 120}{180}=\pi \approx 3,14 ( \text{cm}).$

b) Diện tích hình quạt tròn OBmD bán kính R = 1,5 cm là:

$S_{OBmD}=\frac{\pi \cdot 1,5^2\cdot 120}{360}=\frac{3}{4}\pi \approx 2,36\left({\text{cm}}^2\right).$

Bài 3 trang 97 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Một biểu đồ hình quạt tròn được vẽ trong đường tròn bán kính R = 15 cm (Hình 10). Tính diện tích của mỗi hình quạt tròn trong biểu đồ đó.

Lời giải:

Diện tích hình quạt tròn ứng với số liệu 45% là:

$45\%\cdot \pi R^2=45\%\cdot \pi \cdot {15}^2=\frac{405\pi }{4}\approx 318,09( {\text{cm}}^2).$

Diện tích hình quạt tròn ứng với số liệu 33 % là:

$33\%\cdot \pi R^2=33\%\cdot \pi \cdot {15}^2=\frac{297\pi }{4}\approx 233,26( {\text{cm}}^2).$

Diện tích hình quạt tròn ứng với số liệu 22 % là:

$22\%\cdot \pi \cdot R^2=22\%\cdot \pi \cdot {15}^2=\frac{99\pi }{2}\approx 155,51( {\text{cm}}^2).$

Bài 4 trang 97 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Tính diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O; 8 cm) và (O; 24 cm).

Lời giải:

Diện tích hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O; 8 cm) và (O; 24 cm) là:

S = π(R² – r²) = π(24² – 8²) = 512π ≈ 1 608,50 (cm²).

Bài 5 trang 97 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Hai trạm phát sóng A và B đặt cách nhau 100 km. Trạm phát sóng A và trạm phát sóng B có bán kính hoạt động lần lượt là 50 km và $50\sqrt{3} \text{km}.$ Tính diện tích của khu vực có thể đặt thiết bị thu sóng sao cho thu được cả hai sóng phát từ trạm A và trạm B. Biết rằng nếu khoảng cách từ thiết bị thu sóng đến trạm phát sóng lớn hơn bán kính hoạt động của trạm phát sóng thì thiết bị không thu được sóng của trạm phát sóng đó.

Lời giải:

Gọi C và D là giao điểm của hai đường tròn (A; 50 km) và $\left(B;50\sqrt{3} \text{\hspace{0.17em}cm}\right).$

Ta có: $A{C}^2+B{C}^2={50}^2+{\left(50\sqrt{3}\right)}^2=2500+7500=10000;$

            AB² = 100² = 10 000.

Ta thấy AC² + BC² = AB², suy ra ∆ABC vuông tại C (định lí Pythagore đảo).

Xét ∆ABC vuông tại C có:

$\sin \widehat{ABC}=\frac{AC}{AB}=\frac{1}{2},$ suy ra $\widehat{ABC}=30°.$

Suy ra $\widehat{CAB}=90°-\widehat{ABC}=90°-30°=60°.$

Tương tự, ta có: $\widehat{ABD}=30°;\widehat{BAD}=60°.$

Do đó $\widehat{CBD}=\widehat{ABC}+\widehat{ABD}=30°+30°=60°;$

          $\widehat{CAD}=\widehat{BAC}+\widehat{BAD}=60°+60°=120°.$

Xét ∆BCD có BC = BD và $\widehat{CBD}=60°$ nên là tam giác đều, suy ra $CD=50\sqrt{3} \text{km}.$

Diện tích của hình quạt tròn ACD được giới hạn bởi bán kính AC, bán kính AD và cung nhỏ CD của đường tròn (A; 50 km) là:

$S_1=\frac{\pi \cdot {50}^2\cdot 120}{360}=\frac{2500\pi }{3}( {\text{km}}^2).$

Diện tích hình quạt tròn BCD được giới hạn bởi bán kính BC, bán kính BD và cung nhỏ CD của đường tròn $\left(B;50\sqrt{3} \text{cm}\right)$ là:

$S_2=\frac{\pi \cdot {\left(50\sqrt{3}\right)}^2\cdot 60}{360}=1250\pi \left({\text{km}}^2\right).$

Diện tích tứ giác ABCD là:

$S_{ABCD}=\frac{1}{2}AB\cdot CD=\frac{1}{2}\cdot 100\cdot 50\sqrt{3}=2500\sqrt{3}( {\text{km}}^2).$

Diện tích của khu vực có thể đặt thiết bị thu sóng sao cho thu được cả hai sóng phát từ trạm A và trạm B là

$S_1+S_2-S_{ABCD}=\frac{2500\pi }{3}+1250\pi -2500\sqrt{3}\approx 2214,86( {\text{km}}^2).$

Bài 6 trang 97 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Một ống thép có đường kính ngoài là 100 mm và đường kính trong là 80 mm. Tính diện tích mặt cắt ngang của ống thép đó.

Lời giải:

Bán kính ngoài của ống thép là: $\frac{100}{2}=50\text{ (mm)}.$

Bán kính trong của ống thép là: $\frac{80}{2}=40\text{ (mm)}.$

Mặt cắt ngang của ống thép có hình vành khuyên giới hạn bởi hai đường tròn (O; 50 mm) và (O; 40 mm) nên có diện tích:

S = π(R² – r²) = π(50² – 40²) = 900π ≈ 2 827,43 (mm²) .

Bài 7 trang 97 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Một chiếc bàn hình tròn được ghép bởi hai nửa hình tròn đường kính AB = 1,2 m. Người ta muốn nới rộng mặt bàn bằng cách ghép thêm vào giữa một mặt hình chữ nhật có một kích thước là 1,2 m.

a) Kích thước còn lại của hình chữ nhật phải là bao nhiêu nếu diện tích mặt bàn tăng gấp đôi sau khi nới?

b) Kích thước còn lại của hình chữ nhật phải là bao nhiêu nếu chu vi mặt bàn tăng gấp đôi sau khi nới?

Lời giải:

a) Bán kính của chiếc bàn hình tròn ban đầu là: $\frac{1,2}{2}=0,6\text{ (m).}$

Diện tích mặt bàn ban đầu là:

$S=\pi \cdot 0,6^2=\frac{9\pi }{25}( {\text{m}}^2).$

Theo bài, diện tích mặt bàn tăng gấp đôi sau khi nới nên diện tích phần mặt bàn hình chữ nhật bằng diện tích mặt bàn ban đầu, và bằng $\frac{9\pi }{25}{\text{ m}}^2\text{.}$

Kích thước còn lại của hình chữ nhật là:

$\frac{9\pi }{25}:1,2=\frac{3\pi }{10}\approx 0,94\text{ (m).}$

b) Chu vi mặt bàn ban đầu là:

$C=2\cdot \pi \cdot 0,6=\frac{6\pi }{5}\text{ (m).}$

Theo bài, chu vi mặt bàn tăng gấp đôi sau khi nới và phần chu vi tăng lên chính là hai lần độ dài cạnh còn lại của phần mặt bàn hình chữ nhật và bằng $\frac{6\pi }{5}\text{ m}.$

Kích thước còn lại của hình chữ nhật là:

$\frac{6\pi }{5}:2=\frac{3\pi }{5}\approx 1,89\text{ (m).}$

Bài 8 trang 98 sách bài tập Toán 9 Tập 1: Một vườn cỏ có dạng hình chữ nhật ABCD với AB = 40 m, AD = 30 m. Người ta muốn buộc hai con dê ở hai góc vườn A, B. Có hai cách buộc:

Cách 1: Mỗi dây thừng dài 20 m.

Cách 2: Một dây thừng dài 30 m và một dây thừng dài 10 m.

Hỏi với cách buộc nào thì diện tích cỏ mà hai con dê có thể ăn được sẽ lớn hơn?

Lời giải:

Diện tích cỏ hai con dê có thể ăn là dạng hai hình quạt có số đo cung cùng bằng 90°.

Truờng hợp 1: Mỗi dây thừng dài 20 m suy ra R₁ = R₂ = 20 m.

Diện tích cỏ mà hai con dê có thể ăn là:

$S=S_1+S_2=\frac{\pi R_1^2\cdot 90}{360}+\frac{\pi R_2^2\cdot 90}{360}=\frac{\pi \cdot {20}^2\cdot 90}{360}+\frac{\pi \cdot {20}^2\cdot 90}{360}=200\pi {\text{ (m}}^2\text{).}$

Truờng hợp 2: Giả sử dây thừng cột con dê ở A dài 30 m, dây thừng cột con dê ở B dài 10 m, suy ra R₁ = 30 m, R₂ = 10 m.

Diện tích cỏ mà hai con dê có thể ăn là:

$S^{\text{'}}=S_1+S_2=\frac{\pi R_1^2\cdot 90}{360}+\frac{\pi R_2^2\cdot 90}{360}=\frac{\pi \cdot {30}^2\cdot 90}{360}+\frac{\pi \cdot {10}^2\cdot 90}{360}=250\pi {\text{ (m}}^2\text{).}$

Ta thấy 250π > 200π nên S’ > S.

Vậy dùng hai sợi dây 30 m và 10 m thì diện tích cỏ hai con dê ăn sẽ nhiều hơn.

Lý thuyết Hình quạt tròn và hình vành khuyên

1. Độ dài cung tròn

Công thức tính chu vi đường tròn

Công thức tính độ dài C của đường tròn (O; R), đường kính d = 2R là:

$C=\pi d=2\pi R$

Công thức tính độ dài cung tròn

Ví dụ:

Đường tròn (O; 2cm), $\widehat{AOB}={60}^0$.

- Cung nhỏ AB bị chắn bởi góc ở tâm AOB.

Do đó sđ$\stackrel{⌢}{AB}=\widehat{AOB}={60}^0$

Độ dài $l_1$ của cung AB là:

$l_1=\frac{n}{180}\pi R=\frac{60}{180}\pi .2=\frac{2\pi }{3}\approx 2,1\left(cm\right)$

Cung lớn AnB có số đo là:

sđ$\stackrel{⌢}{AmN}={360}^o-{60}^0={300}^0$.

Độ dài $l_2$ của cung AnB là:

$l_2=\frac{300}{180}\pi .2=\frac{10}{3}\pi \approx 10,5\left(cm\right)$

2. Hình quạt tròn

Khái niệm hình quạt tròn

Diện tích hình quạt tròn

Ví dụ: Diện tích hình quạt tròn có độ dài tương ứng với nó là $l=4\pi$cm, bán kính là R = 5cm là:

$S_q=\frac{l.R}{2}=\frac{4\pi .5}{2}=10\pi \left(c{m}^2\right)$

3. Hình vành khuyên

Khái niệm hình vành khuyên

Diện tích hình vành khuyên

Ví dụ:  Diện tích hình vành khuyên nằm giữa hai đường tròn đồng tâm có bán kính là 3m và 5m là:

$S_v=\pi \left(5^2-3^2\right)=16\pi \left(m^2\right)$