Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Bài 2: Tiếp tuyến của đường tròn sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9.

Lý thuyết Toán 9 Bài 2: Tiếp tuyến của đường tròn

A. Lý thuyết Tiếp tuyến của đường tròn

1. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Đường thẳng a và đường tròn (O) có duy nhất một điểm chung C thì ta nói a tiếp xúc với (O) tại C, khi đó a là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại C và C là tiếp điểm.

2. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến

Tính chất của tiếp tuyến

3. Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Định lí

Ví dụ: Cho đường tròn (O), B, C $\in$ (O). Tiếp tuyến của (O) tại B và C cắt nhau tại A.

Khi đó:

- AB = AC

- Tia AO là tia phân giác của $\widehat{BAC}$.

- Tia OA là tia phân giác của $\widehat{BOC}$.

Sơ đồ tư duy Tiếp tuyến của đường tròn

B. Bài tập Tiếp tuyến của đường tròn

Bài 1. Trong hình sau, AB = 6, BC = 6, AC = 10 và BC là đường kính của đường tròn (O). Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Hướng dẫn giải

Ta có: AB = 6, BC = 8, AC = 10 suy ra AC² = AB² + BC² nên tam giác ABC vuông tại B hay $\widehat{ABC}=90°.$  Suy ra AB ⊥ BC.

Mà O ∈ BC nên AB ⊥ BO.

Vậy AB đi qua B (B ∈ (O)) và AB ⊥ BO = R nên AB là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Bài 2. Cho đường tròn tâm O, bán kính R. Từ điểm A nằm ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn tâm O với B, C là tiếp điểm.

a) Chứng minh AO là đường trung trực của BC;

b) Kẻ đường kính CD của (O). Chứng minh BD song song với AO;

c) Kẻ OM vuông góc với OB (M thuộc AC). Chứng minh MO = MA.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài, ta có hình vẽ sau:

a) Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O) suy ra AC = AB (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra A thuộc đường trung trực của BC.

Mặt khác OA = OB (cùng bằng bán kính) suy ra O thuộc đường trung trực của BC.

Do đó AO là đường trung trực của BC.

b) Vì BO là đường trung tuyến của ∆DBC, $BO=\frac{1}{2}CD.$

Suy ra ∆DBC vuông tại B hay BD ⊥ BC.

Mặt khác AO ⊥ BC (do AO là trung trực của BC) suy ra AO // BD.

c) Vì OM ⊥ OB suy ra $\widehat{MOA}+\widehat{AOB}=90°.$  (1)

Ta có $\widehat{MAO}=\widehat{BAO}$  (vì A là giao điểm của hai tiếp tuyến chung của (O)).

Vì $\widehat{OAB}+\widehat{AOB}=90°$  suy ra $\widehat{MAO}+\widehat{AOB}=90°.$  (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{MAO}=\widehat{MOA}$  suy ra ∆AMO cân tại M hay MA = MO.

Bài 3. Cho đường tròn (O; R). Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (A, B là tiếp điểm) sao cho $\widehat{AMO}=30°.$

a) Chứng minh MO = 2R;

b) Tính AB theo R.

Hướng dẫn giải

Theo đề bài, ta có hình vẽ sau:

a) Xét ∆OAM có

Ta có $\sin \widehat{AMO}=\frac{OA}{OM}=\sin 30°=\frac{1}{2}$  suy ra OM = 2R.

b) Vì MA, MB là tiếp tuyến của (O) suy ra MA = MB.

Mà MO là tia phân giác của góc $\widehat{AMB}$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Suy ra ∆MAB cân tại M, $\widehat{AMB}=2\widehat{AMO}=60°.$

Do đó AMB là tam giác đều, suy ra AB = AM.

Xét ∆OAM có $\widehat{OAM}=90°$ suy ra AM² = OM² – OA² (theo định lí Pythagore).

Vậy $AM=R\sqrt{3}=AB.$

Xem thêm các bài tóm tắt Lý thuyết Toán lớp 9 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 1: Tỉ số lượng giác của góc nhọn

Lý thuyết Bài 2: Hệ thức giữa cạnh và góc của tam giác vuông

Lý thuyết Bài 1: Đường tròn

Lý thuyết Bài 2: Tiếp tuyến của đường tròn

Lý thuyết Bài 3: Góc ở tâm, góc nội tiếp

Lý thuyết Bài 4: Hình quạt tròn và hình vành khuyên