Lý thuyết Tính chất của phép khai phương (Chân trời sáng tạo 2024)

Lý thuyết Tính chất của phép khai phương (Chân trời sáng tạo 2024) | Lý thuyết Toán 9

Nguyễn Mạnh Tài Ngày: 30-06-2024 Lớp 9

Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Bài 3: Tính chất của phép khai phương sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9.

Lý thuyết Toán 9 Bài 3: Tính chất của phép khai phương

A. Lý thuyết Tính chất của phép khai phương

1. Căn thức bậc hai của một bình phương

Tính chất

Với biểu thức A bất kì, ta có $\sqrt{A^{2}} = | A |$ , nghĩa là

$\sqrt{A^{2}} = A$ khi $A \geq 0$ ;

$\sqrt{A^{2}} = - A$ khi $A < 0$ .

Ví dụ: Với $x < 0$ , ta có 1 – x > 0. Do đó ${(\sqrt{1 - x})}^{2} = 1 - x$ .

2. Căn thức bậc hai của một tích

Với hai biểu thức A và B nhận giá trị không âm, ta có

$\sqrt{A} . \sqrt{B} = \sqrt{A B}$ .

Ví dụ:

$\sqrt{27} . \sqrt{3} = \sqrt{27.3} = \sqrt{81} = 9$

Với $a \geq 0, b < 0$ thì $\sqrt{25 a^{2} b^{2}} = \sqrt{5^{2} . a^{2} . {(- b)}^{2}} = \sqrt{5^{2}} . \sqrt{a^{2}} . \sqrt{{(- b)}^{2}} = 5. a . (- b) = - 5 a b$ .

Nhận xét: Ta có thể biến đổi $\sqrt{a b} = \sqrt{a} . \sqrt{b}$ hoặc $\sqrt{a} . \sqrt{b} = \sqrt{a b}$ ( $a \geq 0$ và $b \geq 0$ ) để việc tính toán được dễ dàng hơn.

Với số thực a bất kì và b không âm, ta có

$\sqrt{a^{2} b} = | a | \sqrt{b}$ .

Biến đổi này được gọi là đưa thừa số ra ngoài dấu căn.

Ngược lại, ta có biến đổi đưa thừa số vào trong dấu căn.

+ Nếu $a \geq 0$ thì $a \sqrt{b} = \sqrt{a^{2} b}$ .

+ Nếu $a < 0$ thì $a \sqrt{b} = - \sqrt{a^{2} b}$ .

Tổng quát, với hai biểu thức A và B mà $B \geq 0$ , ta có $\sqrt{A^{2} B} = | A | \sqrt{B}$ .

Ví dụ:

$\sqrt{75} = \sqrt{25.3} = \sqrt{5^{2} .3} = 5 \sqrt{3}$

$\sqrt{15 a} . \sqrt{3 a} = \sqrt{15 a .3 a} = \sqrt{3^{2} a^{2} .5} = | 3 a | \sqrt{5}$ .

2. Căn thức bậc hai của một thương

Tính chất

Với biểu thức A nhận giá trị không âm và biểu thức B nhận giá trị dương, ta có

$\sqrt{\frac{A}{B}} = \frac{\sqrt{A}}{\sqrt{B}}$ .

Ví dụ: $\sqrt{\frac{49}{64}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{64}} = \frac{7}{8}$ ;

$\sqrt{\frac{4 a^{2}}{25}} = \frac{\sqrt{4 a^{2}}}{\sqrt{25}} = \frac{\sqrt{4} . \sqrt{a^{2}}}{\sqrt{25}} = \frac{2 | a |}{5}$ ;

$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{8}{2}} = \sqrt{4} = 2$ ;

Với $a > 0$ thì $\frac{\sqrt{52 a^{3}}}{\sqrt{13 a}} = \sqrt{\frac{52 a^{3}}{13 a}} = \sqrt{4 a^{2}} = \sqrt{{(2 a)}^{2}} = 2 a$ .

Nhận xét: Ta có thể biến đổi $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ hoặc $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ ( $a \geq 0$ và $b \geq 0$ ) để việc tính toán được dễ dàng hơn.