Lý thuyết Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (Chân trời sáng tạo 2024)

Lý thuyết Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (Chân trời sáng tạo 2024) | Lý thuyết Toán 9

Nguyễn Mạnh Tài Ngày: 05-08-2024 Lớp 9

490

Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Bài 4: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9.

Lý thuyết Toán 9 Bài 4: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

A. Lý thuyết Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

1. Trục căn thức ở mẫu

- Với các biểu thức A và B thỏa mãn $A B \geq 0, B \neq 0$ , ta có:

$\sqrt{\frac{A}{B}} = \sqrt{\frac{A B}{B^{2}}} = \frac{\sqrt{A B}}{\sqrt{B^{2}}} = \frac{\sqrt{A B}}{| B |}$ .

- Với các biểu thức A, B và B > 0, ta có $\frac{A}{\sqrt{B}} = \frac{A \sqrt{B}}{B}$ .

- Với các biểu thức A, B, C mà $A \geq 0, A \neq B^{2}$ , ta có:

$\frac{C}{\sqrt{A} + B} = \frac{C (\sqrt{A} - B)}{A - B^{2}}; \frac{C}{\sqrt{A} - B} = \frac{C (\sqrt{A} + B)}{A - B^{2}}$ .

- Với các biểu thức A, B, C mà $A \geq 0, B \geq 0, A \neq B$ , ta có:

$\frac{C}{\sqrt{A} + \sqrt{B}} = \frac{C (\sqrt{A} - \sqrt{B})}{A - B}; \frac{C}{\sqrt{A} - \sqrt{B}} = \frac{C (\sqrt{A} + \sqrt{B})}{A - B}$ .

Ví dụ:

$\frac{2}{3 \sqrt{5}} = \frac{2 \sqrt{5}}{3 {(\sqrt{5})}^{2}} = \frac{2 \sqrt{5}}{3.5} = \frac{2 \sqrt{5}}{15}$ ;

$\frac{a}{3 - 2 \sqrt{2}} = \frac{a (3 + 2 \sqrt{2})}{(3 - 2 \sqrt{2}) . (3 + 2 \sqrt{2})} = \frac{a (3 + 2 \sqrt{2})}{3^{2} - {(2 \sqrt{2})}^{2}} = \frac{a (3 + 2 \sqrt{2})}{9 - 8} = (3 + 2 \sqrt{2}) a$ .

2. Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai, ta cần vận dụng thích hợp các tính chất (giao hoán, kết hợp, phân phối) của các phép tính, quy tắc về thứ tự thực hiện và phép biến đổi đã biết.

Ví dụ:

$\begin{array}{l} A = 2 \sqrt{3} - \sqrt{75} + \sqrt{{(1 - \sqrt{3})}^{2}} \\ = 2 \sqrt{3} - \sqrt{{3.5}^{2}} + | 1 - \sqrt{3} | \\ = 2 \sqrt{3} - 5 \sqrt{3} + \sqrt{3} - 1 \\ = - 1 - 2 \sqrt{3} \end{array}$

$\begin{array}{l} B = x \sqrt{x} - \frac{x^{2} - x}{\sqrt{x} + 1} \\ = x \sqrt{x} - \frac{(x^{2} - x) (\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)} \\ = x \sqrt{x} - \frac{x (x - 1) (\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 1) (\sqrt{x} - 1)} \\ = x \sqrt{x} - \frac{x (x - 1) (\sqrt{x} - 1)}{x - 1} \\ = x \sqrt{x} - x (\sqrt{x} - 1) \\ = x \sqrt{x} - x \sqrt{x} + x \\ = x \end{array}$

Sơ đồ tư duy Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

B. Bài tập Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

Bài 1. Khử mẫu của biểu thức lấy căn:

Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai (Lý thuyết Toán lớp 9) | Chân trời sáng tạo

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{9}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3} .$

b) Ta có: $\sqrt{\frac{3}{11}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{11}} = \frac{\sqrt{3} . \sqrt{11}}{11} = \frac{\sqrt{33}}{11} .$

c) Ta có: $\sqrt{\frac{1}{5 a^{3}}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{5 a^{3}}} = \frac{1}{\sqrt{5 a . a^{2}}} = \frac{1}{a \sqrt{5 a}} = \frac{\sqrt{5 a}}{5 a^{2}}$ với a > 0.

d) Ta có: $3 a b \sqrt{\frac{a^{2}}{3 b}} = 3 a b . \frac{\sqrt{a^{2}}}{\sqrt{3 b}} = 3 a b . \frac{|a|}{\sqrt{3 b}}$

Vì a < 0 nên $|a| = - a .$ Suy ra $3 a b . \frac{|a|}{\sqrt{3 b}} = 3 a b . \frac{- a}{\sqrt{3 b}} = - \frac{3 a^{2} b . \sqrt{3 b}}{3 b} = - a^{2} \sqrt{3 b} .$