Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Bài 3: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình sách Kết nối tri thức hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9.

Lý thuyết Toán 9 Bài 3: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

A. Lý thuyết Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Các bước giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình:

Ví dụ 1: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Hai xe cùng khởi hành một lúc ở hai tỉnh A và tỉnh B cách nhau 60km. Nếu đi ngược chiều thì gặp nhau sau 1 giờ; nếu đi cùng chiều thì xe đi nhanh sẽ đuổi kịp xe kia sau 3 giờ. Tìm vận tốc mỗi xe.

Lời giải:

Gọi x là vận tốc của xe đi nhanh, y là vận tốc của xe đi chậm ( $x,y>0;x>y$ và x, y tính bằng km/h).

Sau 1 giờ hai xe gặp nhau, nên ta có phương trình:

x + y = 60

Sau 3 giờ mỗi xe đi được 3x; 3y ( km) và gặp nhau, nên ta có phương trình:

3x – 3y = 60.

Vậy, ta có hệ phương trình:

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}x+y=60\\ 3x-3y=60\end{array}\\ \{\begin{array}{l}3x+3y=180\\ 3x-3y=60\end{array}\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x=40\\ y=20\end{array}$

($x=40;y=20$ thỏa mãn các điều kiện đã nêu)

Vậy xe đi nhanh có vận tốc $40(km/h)$, xe đi chậm có vận tốc $20(km/h)$.

Ví dụ 2: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Tìm một số có hai chữ số, biết rằng tổng của hai chữ số ấy bằng 12 và khi thay đổi thứ tự hai chữ số thì được một số lớn hơn số cũ là 18.

Lời giải:

Gọi x, y là các chữ số hàng chục và hàng đơn vị của số đã cho ($x\in \mathbb{N}$,$0<x\le 9$ ,$0\le x\le 9$)

Khi đó hai số có dạng $\overline{xy}=10x+y$ và $\overline{yx}=10y+x.$

Ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{l}x+y=12\\ 10y+x-18=10x+y\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x+y=12\\ x-y=2\end{array}$

$\{\begin{array}{l}x=5\\ y=7\end{array}$

Vậy số cần tìm là 57.

Sơ đồ tư duy Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

B. Bài tập Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Bài 1. Nhân dịp ngày Giỗ Tổ Hùng Vương, một siêu thị điện máy đã giảm giá nhiều mặt hàng để kích cầu mua sắm. Giá niêm yết của một chiếc tủ lạnh và một chiếc máy giặt có tổng số tiền là 25,4 triệu đồng. Tuy nhiên, trong dịp này tủ lạnh giảm 40% giá niêm yết và máy giặt giảm 25% giá niêm yết. Vì thế, cô Ngọc đã mua hai mặt hàng trên với tổng số tiền là 16,77 triệu đồng. Hỏi giá niêm yết của mỗi mặt hàng trên là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

⦁ Gọi giá niêm yết của một chiếc tủ lạnh và một chiếc máy giặt lần lượt là x, y (triệu đồng) (0 < x < 25,4; 0 < y < 25,4).

Theo bài, giá niêm yết của một chiếc tủ lạnh và một chiếc máy giặt có tổng số tiền là 25,4 triệu đồng nên ta có: x + y = 25,4.

Do tủ lạnh được giảm 40% giá niêm yết nên giá của chiếc tủ lạnh sau giảm giá là x.(100% – 40%) = x.60% = 0,6x (triệu đồng).

Do máy giặt được giảm 25% giá niêm yết nên giá của chiếc máy lạnh sau giảm giá là y.(100% – 25%) = y.75% = 0,75y (triệu đồng).

Theo bài, cô Ngọc đã mua hai mặt hàng trên với tổng số tiền là 16,77 triệu đồng nên ta có phương trình: 0,6x + 0,75y = 16,77 hay 60x + 75y = 1 677.

Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x+y=25,4\\ 60x+75y=1677.\end{array}\right.$

⦁ Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y=25,4\\ 60x+75y=1677.\end{array}\right.$

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 75, ta nhận được hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{array}{l}75x+75y=1905\\ 60x+75y=1677.\end{array}\right.$

Trừ hai vế của phương trình thứ nhất cho phương trình thứ hai của hệ phương trình trên, ta có: 15x = 228. (1)

Giải phương trình (1):

15x = 228

x = 15,2.

Thay x = 15,2 vào phương trình x + y = 25,4, ta được: 15,2 + y = 25,4. (2)

Giải phương trình (2):

15,2 + y = 25,4

y = 10,2.

⦁ Các giá trị tìm được của x và y thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Trả lời: Giá niêm yết của một chiếc tủ lạnh là 15,2 triệu đồng và giá niêm yết của một chiếc máy giặt là 10,2 triệu đồng.

Bài 2. Hai người thợ cùng làm công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 15 giờ rồi người thứ hai làm tiếp 6 giờ thì hoàn thành được 75% công việc. Hỏi mỗi người làm công việc đó một mình hoàn thành trong bao lâu?

Hướng dẫn giải

– Gọi x là số giờ để người thứ nhất hoàn thành công việc nếu làm một mình; y là số giờ để người thứ hai hoàn thành công việc nếu làm một mình. Điều kiện: x > 0 và y > 0.

Mỗi giờ người thứ nhất làm được $\frac{1}{x}$ (công việc) và người thứ hai làm được $\frac{1}{y}$ (công việc).

Hai người cùng làm công việc trong 16 giờ thì xong nên mỗi giờ, hai người làm chung thì được $\frac{1}{16}$ (công việc). Ta có phương trình: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{16}.\left(1\right)$

Người thứ nhất làm một mình trong 15 giờ thì được $15\cdot \frac{1}{x}=\frac{15}{x}$ (công việc).

Người thứ hai làm một mình trong 6 giờ thì được $6\cdot \frac{1}{y}=\frac{6}{y}$ (công việc).

Nếu người thứ nhất làm một mình trong 15 giờ rồi người thứ hai làm tiếp 6 giờ thì hoàn thành được 75% công việc nên ta có phương trình: $\frac{15}{x}+\frac{6}{y}=75\%=\frac{3}{4}.\left(2\right)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left(I\right)\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{16}\\ \frac{15}{x}+\frac{6}{y}=\frac{3}{4}.\end{array}\right.$

Nếu đặt $u=\frac{1}{x}$ và $v=\frac{1}{y}$ thì ta có hệ phương trình bậc nhất hai ẩn mới là u và v như sau: $\left(II\right)\left\{\begin{array}{l}u+v=\frac{1}{16}\left(3\right)\\ 15u+6v=\frac{3}{4}\left(4\right)\end{array}\right.$

  Giải hệ (II):

Nhân hai vế của phương trình (3) với 6, ta được hệ $\left\{\begin{array}{l}6u+6v=\frac{6}{16}\\ 15u+6v=\frac{3}{4}\end{array}\right.$ hay $\left\{\begin{array}{l}6u+6v=\frac{3}{8}\\ 15u+6v=\frac{3}{4}.\end{array}\right.$

Trừ từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được: $\left(6u-15u\right)+\left(6v-6v\right)=\frac{3}{8}-\frac{3}{4}$ hay $-9u=-\frac{3}{8},$ suy ra $u=\frac{1}{24}.$

Thay $u=\frac{1}{24}$ vào phương trình (3), ta được: $\frac{1}{24}+v=\frac{1}{16},$ suy ra $v=\frac{1}{16}-\frac{1}{24}=\frac{1}{48}.$

Từ đó, ta có:

⦁ $u=\frac{1}{x}=\frac{1}{24},$ suy ra x = 24;

⦁ $v=\frac{1}{y}=\frac{1}{48},$ suy ra y = 48.

– Các giá trị tìm được của x và y thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Trả lời: Nếu làm một mình thì người thứ nhất làm xong công việc trong 24 giờ, còn người thứ hai làm xong trong 48 giờ.

Xem thêm các bài tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 2: Giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Lý thuyết Bài 3: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

Lý thuyết Bài 4: Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn

Lý thuyết Bài 5: Bất đẳng thức và tính chất

Lý thuyết Bài 6: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Lý thuyết Bài 7: Căn bậc hai và căn thức bậc hai