Lý thuyết Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (Kết nối tri thức 2024)

Lý thuyết Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (Kết nối tri thức 2024) | Lý thuyết Toán 9

Admin Vietjack Ngày: 20-06-2024 Lớp 9

889

Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 9 Bài 1: Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn sách Kết nối tri thức hay, chi tiết cùng với bài tập tự luyện chọn lọc giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 9.

Lý thuyết Toán 9 Bài 1: Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

A. Lý thuyết Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

1. Phương trình bậc nhất hai ẩn

Khái niệm phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn x và y là hệ thức dạng

$a x + b y = c$ , (1)

trong đó a, b và c là các số đã biết ( $a \neq 0$ hoặc $b \neq 0$ ).

Ví dụ: $2 x + 3 y = 4$ , $0 x + 2 y = 3$ , $x + 0 y = 2$ là các phương trình bậc nhất hai ẩn.

Nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn

Nếu tại $x = x_{0}$ và $y = y_{0}$ ta có $a x_{0} + b y_{0} = c$ là một khẳng định đúng thì cặp số $(x_{0}; y_{0})$ được gọi là một nghiệm của phương trình (1).

Ví dụ: Cặp số $(- 1; 2)$ là nghiệm của phương trình $2 x + 3 y = 4$ vì $2. (- 1) + 3.2 = - 2 + 6 = 4$ .

Cặp số $(1; 2)$ không là nghiệm của phương trình $2 x + 3 y = 4$ vì

$2.1 + 3.2 = 2 + 6 = 8 \neq 4$ .

2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Khái niệm hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Một cặp gồm hai phương trình bậc nhất hai ẩn $a x + b y = c$ và $a^{'} x + b^{'} y = c^{'}$ được gọi là một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Ta thường viết hệ phương trình đó dưới dạng:

${\begin{cases} a x + b y = c \\ a^{'} x + b^{'} y = c^{'} \end{cases} (*)$

Ví dụ: Hệ phương trình ${\begin{cases} 2 x - y = 0 \\ x + y = 3 \end{cases}$ , ${\begin{cases} 3 x = 1 \\ x - y = 3 \end{cases}$ , ${\begin{cases} 4 x - y = 3 \\ 3 y = 6 \end{cases}$ là các hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Mỗi cặp số $(x_{0}; y_{0})$ được gọi là một nghiệm của hệ (*) nếu nó là nghiệm chung của hai phương trình của hệ (*).

Ví dụ: Cặp số (1; 2) là một nghiệm của hệ phương trình ${\begin{cases} 2 x - y = 0 \\ x + y = 3 \end{cases}$ , vì:

$2 x - y = 2.1 - 2 = 0$ nên (1; 2) là nghiệm của phương trình thứ nhất.

$x + y = 1 + 2 = 3$ nên (1; 2) là nghiệm của phương trình thứ hai.

Sơ đồ tư duy Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

B. Bài tập Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài 1. Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình 5x + 4y = 8?

A. (–2; 1).

B. (0; 2).

C. (–1; 0).

D. (4; 3).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét phương trình 5x + 4y = 8:

⦁ Thay x = –2 và y = 1, ta có: 5.(–2) + 4.1 = –2 ≠ 8.

⦁ Thay x = 0 và y = 2, ta có: 5.0 + 4.2 = 8.

⦁ Thay x = –1 và y = 0, ta có: 5.(–1) + 4.0 = –5 ≠ 8.

⦁ Thay x = 4 và y = 3, ta có: 5.4 + 4.3 = 32 ≠ 8.

Vậy (0; 2) là nghiệm của phương trình đã cho.

Bài 2. Đường thẳng biểu diễn tất cả các nghiệm của phương trình x – 3y = 2 là đường thẳng

A. song song với trục tung.

B. song song với trục hoành.

C. đi qua gốc tọa độ.

D. đi qua điểm A(–1; –1).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Thay x = –1 và y = –1 vào phương trình ta có:

–1 – 3.(–1) = 2.

Vậy đường thẳng x – 3y = 2 đi qua điểm A(–1; –1).

Bài 3. Cặp số nào sau đây là nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $\{\begin{cases} 4 x - 5 y = 3 \\ 3 x - y = 16 \end{cases} ?$

A. (–1; 3).

B. (2; 1).

C. (7; 5).

D. (5; –1).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

⦁ Khi x = –1 và y = 3 thì:

4.(–1) – 5.3 = –19 ≠ 3 nên (–1; 3) không là nghiệm của phương trình thứ nhất;

3.(–1) – 3 = –6 ≠ 16 nên (–1; 3) không là nghiệm của phương trình thứ hai.

Do đó cặp số (–1; 3) không là nghiệm chung của hai phương trình trong hệ.

Vậy cặp số (–1; 3) không là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

⦁ Khi x = 2 và y = 1 thì:

4.2 – 5.1 = 3 nên (2; 1) là nghiệm của phương trình thứ nhất;

3.2 – 1 = 5 ≠ 16 nên (2; 1) không là nghiệm của phương trình thứ hai.

Do đó cặp số (2; 1) không là nghiệm chung của hai phương trình trong hệ.

Vậy cặp số (2; 1) không là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

⦁ Khi x = 7 và y = 5 thì:

4.7 – 5.5 = 3 nên (7; 5) là nghiệm của phương trình thứ nhất;

3.7 – 5 = 16 nên (7; 5) là nghiệm của phương trình thứ hai.

Suy ra cặp số (7; 5) là nghiệm chung của hai phương trình trong hệ.

Vậy cặp số (7; 5) là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

⦁ Khi x = 5 và y = –1 thì:

4.5 – 5.(–1) = 25 ≠ 3 nên (5; –1) không là nghiệm của phương trình thứ nhất;

3.5 – (–1) = 16 nên (5; –1) là nghiệm của phương trình thứ hai.

Do đó cặp số (5; –1) không là nghiệm chung của hai phương trình trong hệ.

Vậy cặp số (5; –1) không là nghiệm của hệ phương trình đã cho.

Ta chọn phương án C.

Bài 4. Xét trò ném đồng xu vào trong vòng tròn như hình vẽ dưới đây:

Khái niệm phương trình và hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn (Lý thuyết Toán lớp 9) | Kết nối tri thức

– Lượt chơi thứ nhất (ném đồng xu 2 lần): một đồng xu rơi vào phần trong (hình tròn màu trắng), một đồng xu rơi vào phần ngoài (hình vành khăn màu đen); tổng số điểm đạt được là 17 (điểm).

– Lượt chơi thứ hai (ném đồng xu 5 lần): hai đồng xu rơi vào phần trong, ba đồng xu rơi vào phần ngoài; tổng số điểm đạt được là 41 (điểm).

Gọi x, y lần lượt là số điểm ấn định cho phần trong và phần ngoài.

a) Viết hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

b) Cặp số (10; 7) có phải là nghiệm của hệ phương trình ở câu a hay không? Vì sao?

Hướng dẫn giải

a) – Lượt chơi thứ nhất có một đồng xu rơi vào phần trong và một đồng xu rơi vào phần ngoài, đạt được 17 điểm nên ta có phương trình: x + y = 17.

– Lượt chơi thứ hai có hai đồng xu rơi vào phần trong, ba đồng xu rơi vào phần ngoài, đạt được 41 điểm nên ta có phương trình: 2x + 3y = 41.

Vậy hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn x, y biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng là: $\{\begin{cases} x + y = 17 \\ 2 x + 3 y = 41. \end{cases}$