Với giải Mở đầu trang 23 Chuyên đề Toán 12 Kết nối tri thức chi tiết trong Bài 3: Vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải quyết một số bài toán quy hoạch tuyến tính giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Chuyên đề Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải Chuyên đề Toán 12 Bài 3: Vận dụng hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn để giải quyết một số bài toán quy hoạch tuyến tính

Mở đầu trang 23 Chuyên đề Toán 12: Một xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm I và II. Mỗi kilôgam sản phẩm loại I cần 2 kg nguyên liệu và 30 giờ làm, đem lại mức lợi nhuận 40 nghìn đồng. Mỗi kilôgam sản phẩm loại II cần 4 kg nguyên liệu và 15 giờ làm, đem lại mức lợi nhuận là 30 nghìn đồng. Xí nghiệp có 200 kg nguyên liệu và tối đa 1 200 giờ làm việc. Hãy đặt kế hoạch sản xuất để xí nghiệp có mức lợi nhuận cao nhất.

Lời giải:

Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Gọi x và y lần lượt là số kilôgam sản phẩm loại I và loại II cần sản xuất.

Lợi nhuận của xí nghiệp khi sản xuất x kg sản phẩm loại I và y kg sản phẩm loại II là: F(x; y) = 40x + 30y (nghìn đồng).

Số kg nguyên liệu để sản xuất x kg sản phẩm loại I và y kg loại II là: 2x + 4y (kg).

Số giờ làm để sản xuất x kg sản phẩm loại I và y kg loại II là: 30x + 15y (giờ).

Vì xí nghiệp có 200 kg nguyên liệu (lượng nguyên liệu sử dụng không vượt quá lượng có sẵn) và tối đa 1 200 giờ làm việc nên ta có hệ:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là miền tứ giác OABC được tô màu trong hình vẽ dưới đây, trong đó đường thẳng d₁: x + 2y = 100 và đường thẳng d₂: 2x + y = 80.

Các điểm cực biên là: O(0; 0), A(0; 50), B(20; 40), C(40; 0).

Bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của F(x; y) trên miền tứ giác OABC. Tính giá trị của F(x; y) tại các đỉnh của tứ giác, ta được:

F(0; 0) = 40.0 + 30.0 = 0;

F(0; 50) = 40.0 + 30.50 = 1 500;

F(20; 40) = 40.20 + 30.40 = 2 000;

F(40; 0) = 40.40 + 30.0 = 1 600.

Giá trị lớn nhất của F(x; y) bằng 2 000 tại (20; 40). Phương án tối ưu là (20; 40).

Vậy lợi nhuận cao nhất mà xí nghiệp đạt được là 2 000 nghìn đồng, tức 2 triệu đồng khi sản xuất 20 kg sản phẩm loại I và 40 kg sản phẩm loại II.