Bài 3.33 trang 59 Toán lớp 7: Vẽ ba đường thẳng phân biệt a,b,c sao cho a//b, b//c và hai đường thẳng phân biệt m, n cùng vuông góc với a. Hỏi trên hình có bao nhiêu cặp đường thẳng song song, có bao nhiêu cặp đường thẳng vuông góc?

Phương pháp giải:

Lời giải:

Ta có: +) a // b, b // c nên a // c ( Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau)

+) m $\mathrm{\perp }$ a; n $\mathrm{\perp }$a nên m // n (Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì song song với nhau)

Theo định lý “Đường thẳng vuông góc với 1 trong 2 đường thẳng song song thì cũng vuông góc với đường thẳng kia, ta có:

+) a // b; a $\mathrm{\perp }$n nên b $\mathrm{\perp }$n

+) a // b; a $\mathrm{\perp }$m nên b $\mathrm{\perp }$m

+) a // c; a $\mathrm{\perp }$n nên c $\mathrm{\perp }$n

+) a // c; a $\mathrm{\perp }$m nên c $\mathrm{\perp }$m

Vậy các cặp đường thẳng song song là: a // b ; a // c ; b // c; m // n

Các cặp đường thẳng vuôn góc là: b $\mathrm{\perp }$n; b $\mathrm{\perp }$m; c $\mathrm{\perp }$n; c $\mathrm{\perp }$m; a $\mathrm{\perp }$n; a $\mathrm{\perp }$m

Bài tập vận dụng:

Bài 1. Cho hình vẽ dưới đây. Biết Ax song song với Cy.

Chứng minh rằng $\widehat{\mathrm{xAB}}+\widehat{\mathrm{BCy}}=\widehat{\mathrm{ABC}}$

Hướng dẫn giải

Qua B, kẻ đường thẳng mn song song với đường thẳng chứa tia Ax.

Vì $\text{Ax\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{mn}$ nên $\widehat{\mathrm{xAB}}=\widehat{{\mathrm{B}}_1}$ (hai góc so le trong)  (1)

Vì $\text{Ax\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{mn}$ mà $\text{Ax\hspace{0.17em}//}\mathrm{Cy}$ (giả thiết)

Do đó: $\text{mn\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{Cy}$ (tính chất hai đường thẳng song song)

Vì $\text{mn\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{Cy}$ nên $\widehat{\mathrm{BCy}}=\widehat{{\mathrm{B}}_2}$ (hai góc so le trong) (2)

Từ (1) và (2) ta có: $\widehat{\mathrm{xAB}}+\widehat{\mathrm{BCy}}=\widehat{{\mathrm{B}}_1}+\widehat{{\mathrm{B}}_2}$

Mà $\widehat{\mathrm{ABC}}=\widehat{{\mathrm{B}}_1}+\widehat{{\mathrm{B}}_2}$

Vậy $\widehat{\mathrm{xAB}}+\widehat{\mathrm{BCy}}=\widehat{\mathrm{ABC}}$ (đpcm)

Bài 2. Cho hình vẽ, biết $\mathrm{mn}\text{//}\mathrm{ab}$ và $\widehat{\mathrm{xHm}}=120°$.

Tính các góc còn lại trong hình vẽ.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\widehat{\mathrm{nHy}}=\widehat{\mathrm{xHm}}$ (hai góc đối đỉnh)

$\Rightarrow$$\widehat{\mathrm{nHy}}=120°$

Ta có: $\widehat{\mathrm{xHm}}+\widehat{\mathrm{xHn}}=180°$ (hai góc kề bù)

Thay số: $120°+\widehat{\mathrm{xHn}}=180°$

$\to$$\widehat{\mathrm{xHn}}=180°-120°$

$\widehat{\mathrm{xHn}}=60°$

Có: $\widehat{\mathrm{mHy}}=\widehat{\mathrm{xHn}}$ (hai góc đối đỉnh)

$\Rightarrow$$\widehat{\mathrm{mHy}}=60°$

Vì $\mathrm{mn}\text{//}\mathrm{ab}$ nên:

$\widehat{\mathrm{xKb}}=\widehat{\mathrm{mHy}}$ (hai góc so le trong) $\Rightarrow$$\widehat{\mathrm{xKb}}=60°$

$\widehat{\mathrm{xKa}}=\widehat{\mathrm{xHm}}$ (hai góc đồng vị) $\Rightarrow$$\widehat{\mathrm{xKa}}=120°$

$\widehat{\mathrm{aKy}}=\widehat{\mathrm{mHy}}$ (hai góc đồng vị) $\Rightarrow$$\widehat{\mathrm{aKy}}=60°$

$\widehat{\mathrm{bKy}}=\widehat{\mathrm{nHy}}$ (hai góc đồng vị) $\Rightarrow$$\widehat{\mathrm{bKy}}=120°$

Vậy $\widehat{\mathrm{nHy}}=120°$; $\widehat{\mathrm{xHn}}=60°$; $\widehat{\mathrm{mHy}}=60°$; $\widehat{\mathrm{xKb}}=60°$; $\widehat{\mathrm{xKa}}=120°$; $\widehat{\mathrm{aKy}}=60°$; $\widehat{\mathrm{bKy}}=120°$.

Bài 3. Cho hình vẽ dưới đây, biết $\widehat{\mathrm{mAt}}=125°$. Tính số đo các góc còn lại trong hình vẽ.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\widehat{\mathrm{nAp}}=\widehat{\mathrm{mAt}}$ (hai góc đối đỉnh)

$\Rightarrow$$\widehat{\mathrm{nAp}}=125°$

Ta có:     $\widehat{\mathrm{mAt}}+\widehat{\mathrm{nAt}}=180°$ (hai góc kề bù)

Thay số: $125°+\widehat{\mathrm{nAt}}=180°$

$\Rightarrow$$\widehat{\mathrm{nAt}}=180°-125°$

$\widehat{\mathrm{nAt}}=55°$

Lại có: $\widehat{\mathrm{mAp}}=\widehat{\mathrm{nAt}}$ (hai góc đối đỉnh)

$\Rightarrow$$\widehat{\mathrm{mAp}}=55°$

Vậy: $\widehat{\mathrm{nAp}}=125°$; $\widehat{\mathrm{nAt}}=55°$; $\widehat{\mathrm{mAp}}=55°$.