Phương pháp giải:

a) số tự nhiên có 6 chữ số?

b) Số tự nhiên lẻ có 6 chữ số

c) Số tự nhiên có 5 chữ số

d) Số tự nhiên có 5 chữ số lớn hơn 50 000?

Lời giải:

a) Mỗi số tự nhiên có 6 chữ số được tạo ra từ 6 thẻ số trên là mỗi cách sắp xếp 6 tấm thẻ số

Vậy có $6!$ số tự nhiên có 6 chữ số được tạo thành từ 6 tấm thẻ số đã cho

b) Để số tạo thành là số lẻ thì chữ số tận cùng là chữ số lẻ (1, 3, 5) có 3 cách chọn

Sắp xếp 5 chữ số còn lại có $5!$ cách

Áp dụng quy tắc nhân, ta có $3.5!$ số lẻ có 6 chữ số được tạo thành từ 6 tấm thẻ số

c) Mỗi số tự nhiên có 5 chữ số được tạo thành từ 6 thẻ số là mỗi cách chọn 5 tấm thẻ và sắp xếp chúng.

Vậy có $A_6^5$ số có 5 chữ số được tạo thành từ 6 thẻ số đã cho

d) Để số tạo thành lớn hơn 50 000 thì chữ số đầu tiên phải là 6 hoặc 5

Sắp xếp 4 chữ số còn lại có $A_5^4$ cách

Vậy có $2.A_5^4$ số có 5 chữ số được tạo ra từ 6 thẻ số đã cho và lớn hơn 50 000

Bài 4 trang 36 Toán lớp 10: Thực đơn tại một quán cơm văn phòng có 6 món mặn, 5 món rau và 3 món canh. Tại đây, một nhóm khách muốn chọn bữa trưa gồm cơm, 2 món mặn, 2 món rau và 1 món canh. Nhóm khách có bao nhiêu cách chọn?

Lời giải:

Để chọn được bữa cơm đủ món theo yêu cầu cần thực hiện 3 công đoạn

Công đoạn 1: Chọn 2 món mặn từ 6 món mặn có $C_6^2$ cách

Công đoạn 2: Chọn 2 món rau từ 5 món có $C_5^2$ cách

Công đoạn 3: Chọn 1 món canh từ 3 món canh có 3 cách

Áp dụng quy tắc nhân, ta có $3.C_5^2.C_6^2=450$ cách chọn bữa cơm gồm cơm, 2 món mặn, 2 món rau và 1 món canh

Bài 5 trang 36 Toán lớp 10: Cho 9 điểm nằm trên hai đường thẳng song song như hình 3. Có bao nhiêu tam giác có các đỉnh là ba điểm trong các điểm đã cho?

Lời giải:

Cách 1:

TH 1: Chọn 2 điểm thuộc đường thẳng có 4 điểm

Chọn 2 điểm từ đường thẳng trên có $C_4^2$ cách

Chọn 1 điểm từ đường thẳng còn lại có 5 cách

=> Số tam giác tạo thành là $5.C_4^2=30$

TH 2: Chọn 2 điểm thuộc đường thẳng có 5 điểm

Chọn 2 điểm từ đường thẳng dưới có $C_5^2$ cách

Chọn 1 điểm từ đường thẳng còn lại có 4 cách

=> Số tam giác tạo thành là $4.C_5^2=40$

Vậy có tất cả 70 tam giác được tạo thành.

Cách 2: 

Số cách chọn 3 điểm bất kì là:  $C_9^3=84$ cách

Số cách chọn 3 điểm thẳng hàng là: $C_4^3+C_5^3=14$ cách

=> Số cách chọn 3 điểm không thẳng hàng là: 84 - 14 = 70 (cách)

Do đó ta có thể có 70 tam giác.

Bài 6 trang 36 Toán lớp 10: Khai triển các biểu thức:

a) ${\left(a-\frac{b}{2}\right)}^4$

b) ${\left(2x^2+1\right)}^5$

Lời giải:

a) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

$\begin{array}{l}{\left(a-\frac{b}{2}\right)}^4=a^4+C_4^1.a^3\left(-\frac{b}{2}\right)+C_4^2.a^2{\left(-\frac{b}{2}\right)}^2+C_4^3.a{\left(-\frac{b}{2}\right)}^3+C_4^4.{\left(-\frac{b}{2}\right)}^4\\ =a^4-2a^{3}b+\frac{3}{2}{a}^2{b}^2-\frac{1}{2}a{b}^3+\frac{1}{16}{b}^4\end{array}$

b) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

$\begin{array}{l}{\left(2x^2+1\right)}^5={\left(2x^2\right)}^5+C_5^1.{\left(2x^2\right)}^4.1+C_5^2.{\left(2x^2\right)}^3{.1}^2+C_5^3.{\left(2x^2\right)}^2{.1}^3+C_5^4.\left(2x^2\right){.1}^4+1^5\\ =32x^{10}+80x^8+80x^6+40x^4+10x^2+1\end{array}$

Bài 7 trang 36 Toán lớp 10: Hãy khai triển và rút gọn biểu thức ${\left(1+x\right)}^4+{\left(1-x\right)}^4$

Sử dụng kết quả đó để tính gần đúng biểu thức $1,{05}^4+0,{95}^4$

Lời giải:

a) Áp dụng công thức nhị thức Newton, ta có:

$\begin{array}{l}{\left(1+x\right)}^4=1^4+C_4^1{.1}^{3}x+C_4^2{.1}^2{x}^2+C_4^3.1x^3+C_4^4{x}^4\\ =1+4x+6x^2+4x^3+x^4\end{array}$

$\begin{array}{l}{\left(1-x\right)}^4=1^4+C_4^1{.1}^3\left(-x\right)+C_4^2{.1}^2{\left(-x\right)}^2+C_4^3.1{\left(-x\right)}^3+C_4^4{\left(-x\right)}^4\\ =1-4x+6x^2-4x^3+x^4\end{array}$

Suy ra

$\begin{array}{l}{\left(1+x\right)}^4+{\left(1-x\right)}^4=1+4x+6x^2+4x^3+x^4+1-4x+6x^2-4x^3+x^4\\ =2+12x^2+2x^4\end{array}$

Vậy ${\left(1+x\right)}^4+{\left(1-x\right)}^4=2+12x^2+2x^4$

Ta có: $1,{05}^4+0,{95}^4={\left(1+0,5\right)}^4+{\left(1-0,5\right)}^4$

Áp dụng biểu thức vừa chứng minh ${\left(1+x\right)}^4+{\left(1-x\right)}^4=2+12x^2+2x^4$ ta có:

 $\begin{array}{l}1,{05}^4+0,{95}^4={\left(1+0,5\right)}^4+{\left(1-0,5\right)}^4=2+12.0,5^2+2.0,5^4\\ =5,125\end{array}$