Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 7 Bài 2: Đa thức một biến chi tiết sách Toán 7 Tập 2 Chân trời sáng tạo giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 7. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 7 Bài 2: Đa thức một biến

1. Đa thức một biến

Giải Toán 7 trang 29 Tập 2

Khởi động 1 trang 29 Toán lớp 7: Các biểu thức 2y + 5; $2x^2-4x+7$ được gọi là gì?

Lời giải:

Các biểu thức 2y + 5; $2x^2-4x+7$ là đa thức một biến.

Giải Toán 7 trang 30 Tập 2

Khám phá 1 trang 30 Toán lớp 7: Trong các biểu thức đại số sau, biểu thức nào không chứa phép tính cộng, phép tính trừ?

$3x^2$;      6 – 2y ;            3t;        $3t^2-4t+5$;       -7

$3u^4+4u^2$;              $-2z^4$;               1;         $2021y^2$

Phương pháp giải:

Quan sát dấu của phép tính trong biểu thức

Lời giải:

Các biểu thức không chứa phép cộng, phép trừ là : $3x^2;3t;-7;-2z^4;1;2021y^2$

Thực hành 1 trang 30 Toán lớp 7: Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là đa thức một biến:

M = 3;             N = 7x;           P = $10-y^2+5y$;                     Q = ${\displaystyle \frac{4t-7}{3}}$;               R = ${\displaystyle \frac{2x-5}{1+x^2}}$

Phương pháp giải:

Đa thức một biến là tổng của những đơn thức một biến

Lời giải:

Các đa thức một biến là : M, N, P, Q

2. Cách biểu diễn đa thức một biến

Thực hành 2 trang 30 Toán lớp 7: Cho đa thức P(x) = $7+4x^2+3x^3-6x+4x^3-5x^2$

a) Hãy viết đa thức thu gọn của đa thức P và sắp xếp các đơn thức theo lũy thừa giảm dần của biến.

b) Xác định bậc của P(x) và tìm các hệ số.

Phương pháp giải:

Dựa vào quy tắc sắp xếp đa thức 1 biến

Bậc của đa thức một biến là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức đó.

Lời giải:

a) P(x) = $7+4x^2+3x^3-6x+4x^3-5x^2$

       $=7x^3-x^2-6x+7$

b) Đa thức P(x) có bậc là 3

Hệ số cao nhất là 7

Hệ số của $x^2$là -1

Hệ số của $x$là -6

Hệ số tự do là 7

3. Giá trị của đa thức một biến

Khám phá 2 trang 30 Toán lớp 7: Diện tích của một hình chữ nhật được biểu thị bởi đa thức P(x) = $2x^2+4x$. Hãy tính diện tích của hình chữ nhật ấy khi biết x = 3cm.

Phương pháp giải:

Thay x = 3 vào đa thức P(x)

Lời giải:

Thay x = 3 vào biểu thức và được diện tích hình chữ nhật ấy khi x = 3 cm là: $P(3)={2.3}^2+4.3=30(c{m}^2)$

Giải Toán 7 trang 31 Tập 2

Thực hành 3 trang 31 Toán lớp 7: Tính giá trị của đa thức $M(t)=-5t^3+6t^2+2t+1$ khi $t=-2$.

Phương pháp giải:

Thay $t=-2$ vào đa thức M(t)

Lời giải:

Thay t = -2 đã cho vào đa thức ta được : $M(-2)=-5.(-2{)}^3+6.(-2{)}^2+2.(-2)+1=61$

Vận dụng 1 trang 31 Toán lớp 7: Quãng đường một chiếc ô tô đi từ A đến B được tính theo biểu thức s = 16t, trong đó s là quãng đường tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây. Tính quãng đường ô tô đi được sau 10 giây.

Phương pháp giải:

Thay t = 10 vào công thức, tìm s

Lời giải:

Thay t = 10 vào công thức, ta được: s = 16.10 = 160 (m)

Vậy trong 10 giây, quãng đường ô tô đi được là : 160 m.

4. Nghiệm của đa thức một biến

Khám phá 3 trang 31 Toán lớp 7: Cho đa thức $P(x)=x^2-3x+2$. Hãy tính giá trị của P(x) khi $x=1,x=2,x=3.$

Phương pháp giải:

Thay lần lượt các x vào đa thức P(x)

Lời giải:

P(x) = $x^2-3x+2$

Khi x = 1 ta thay x = 1 vào P(x), được: $P(1)=1^2-3.1+2=0$

Khi x = 2 ta thay x = 2 vào P(x), được: $P(2)=2^2-3.2+2=0$

Khi x = 3 ta thay x = 3 vào P(x), được: $P(3)=3^2-3.3+2=2$

Thực hành 4 trang 31 Toán lớp 7: Cho P(x) = $x^4+x^2-9x-9$.Hỏi mỗi số x = -1, x = 1 có phải là một nghiệm của P(x) không?

Phương pháp giải:

Ta thay x = 1 và x = -1 vào P(x)

Nếu P(x) = 0 thì x là một nghiệm của P(x)

Lời giải:

Ta có : P(x) = $x^4+x^2-9x-9$

Thay x = 1 vào ta có : P(1) =$x^3+x^2-9x-9=1^3+1^2-9.1-9=-16$

Thay x = -1 vào ta có : P(-1) = $x^3+x^2-9x-9=(-1{)}^3+(-1{)}^2-9.(-1)-9=0$

Vậy x = -1 là nghiệm của P(x)

Vận dụng 2 trang 31 Toán lớp 7: Diện tích mỗi hình chữ nhật cho bởi biểu thức S(x) = $2x^2+x$. Tính giá trị của S khi x = 4 và nêu một nghiệm của đa thức Q(x) = $2x^2+x-36$.

Phương pháp giải:

- Ta thay x = 4 để tính S khi x = 4

- Ta xét Q(x) = 0 và tìm nghiệm

Lời giải:

Diện tích hình chữ nhật được cho bởi biểu thức : S(x) = $2x^2+x$

Thay x = 4 vào biểu thức ta có :

Diện tích hình chữ nhật là: S(4) = 2.16 + 4 = 36

Ta thấy: Q(4) = 2.42 + 4 – 36 = 0 nên x = 4 là một nghiệm của đa thức Q(x)

Bài tập (trang 31, 32)

Bài 1 trang 31 Toán lớp 7: Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là đơn thức một biến:

a) $5x^3$               b) 3y + 5          c) 7,8               d) $23.y.y^2$

Lời giải:

Các đơn thức 1 biến là : a);   c);   d)

Bài 2 trang 31 Toán lớp 7: Hãy cho biết biểu thức nào sau đây là đa thức một biến

A = -32;           B = 4x + 7;        M = $15-2t^3+8t$;          N = ${\displaystyle \frac{4-3y}{5}}$;                        Q = ${\displaystyle \frac{5x-1}{3x^2+2}}$

Lời giải:

Các đa thức 1 biến là : A, B, M, N là những đa thức một biến

Giải Toán 7 trang 32 Tập 2

Bài 4 trang 32 Toán lớp 7: Hãy cho biết phần hệ số và phần biến của mỗi đa thức sau:

a) $4+2t-3t^3+2,3t^4$                                             b) $3y^7+4y^3-8$

Lời giải:

a) $4+2t-3t^3+2,3t^4$

Ta thấy đa thức có biến là y

4 là hệ số tự do

2 là hệ số của t

0 là hệ số của $t^2$

-3 là hệ số của $t^3$

2,3 là hệ số của $t^4$

b) $3y^7+4y^3-8$

Ta thấy đa thức có biến là y

3 là hệ số của $y^7$

0 là hệ số của $y^6;y^5;y^4$;$y^2;y$

4 là hệ số của $y^3$

-8 là hệ số tự do

Bài 5 trang 32 Toán lớp 7: Cho đa thức P(x) = $7+10x^2+3x^3-5x+8x^3-3x^2$.Hãy viết đa thức thu gọn của đa thức P và sắp xếp các đơn thức theo lũy thừa giảm của biến

Lời giải:

$$\begin{gathered} P(x)=7+10x^2+3x^3-5x+8x^3-3x^2 \\ =(3x^3+8x^3)+(10x^2-3x^2)-5x+7 \\ =11x^3+7x^2-5x+7 \end{gathered}$$

Bài 6 trang 32 Toán lớp 7: Cho đa thức P(x) = $2x+4x^3+7x^2-10x+5x^3-8x^2$. Hãy viết đa thức thu gọn, tìm bậc và các hệ số của đa thức P(x).

Lời giải:

P(x) = $2x+4x^3+7x^2-10x+5x^3-8x^2$

 $=9x^3-x^2-8x$

Ta thấy số mũ cao nhất của biến x là 3 nên P(x) có bậc là 3

Hệ số của $x^3$ là 9

Hệ số của $x^2$là -1

Hệ số của x là -8

Hệ số tự do là 0

Bài 7 trang 32 Toán lớp 7: Tính giá trị của các đa thức sau:

a) P(x) = $2x^3+5x^2-4x+3$ khi x = -2

b) Q(y) =$2y^3-y^4+5y^2-y$khi y = 3

Lời giải:

a) P(x) = $2x^3+5x^2-4x+3$ thay x = -2 vào đa thức ta có :

$P(-2)=2(-2{)}^3+5(-2{)}^2-4.(-2)+3=2.(-8)+5.4-4.(-2)+3=15$

b) Q(y) =$2y^3-y^4+5y^2-y$ thay y = 3 vào đa thức ta có :

$Q(3)=23^3-3^4+53^2-3=2.27-81+5.9-3=15$

Bài 8 trang 32 Toán lớp 7: Cho đa thức M(t) = $t+{\displaystyle \frac{1}{2}}{t}^3$.

a) Hãy nêu bậc và các hệ số của M(t)

b) Tính giá trị của M(t) khi t = 4

Lời giải:

a) Xét M(t) = $t+{\displaystyle \frac{1}{2}}{t}^3$ ta thấy biến t có mũ cao nhất là 3

Nên bậc của đa thức là 3

Hệ số của $t^3$ là${\displaystyle \frac{1}{2}}$

Hệ số của $t^2$ là 0

Hệ số của $t$ là 1

Hệ số tự do là 0

b) Thay t = 4 vào M(t) ta có :

$4+{\displaystyle \frac{1}{2}}{4}^3=4+32=36$

Bài 9 trang 32 Toán lớp 7: Hỏi $x=-{\displaystyle \frac{2}{3}}$ có phải là một nghiệm của đa thức P(x) = 3x + 2 không?

Lời giải:

Thay x = $-{\displaystyle \frac{2}{3}}$ vào đa thức P(x) = 3x + 2 ta có : P(x) = $3.(-{\displaystyle \frac{2}{3}})+2$= 0

Vì P( $-{\displaystyle \frac{2}{3}}$) = 0 nên x = $-{\displaystyle \frac{2}{3}}$ là 1 nghiệm của đa thức P(x) 

Bài 10 trang 32 Toán lớp 7: Cho đa thức Q(y) = $=2y^2-5y+3$. Các số nào trong tập hợp $\left\{1;2;3;{\displaystyle \frac{3}{2}}\right\}$là nghiệm của Q(y).

Lời giải:

Xét Q(1) = 2.12 – 5.1 + 3 = 2 – 5 + 3 = 0 nên 1 là một nghiệm của Q(y)

Q(2) = 2.22 – 5.2 + 3 = 8 – 10 + 3 = 1$\ne$0 nên 2 không là nghiệm của Q(y)

Q(3) = 2.32 – 5.3 + 3 = 18 – 15 + 3 = 6$\ne$0 nên 3 không là nghiệm của Q(y)

$Q({\displaystyle \frac{3}{2}})=2.{\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2-5.{\displaystyle \frac{3}{2}}+3={\displaystyle \frac{9}{2}}-{\displaystyle \frac{15}{2}}+3=0$ nên ${\displaystyle \frac{3}{2}}$ là một nghiệm của Q(y)

Vậy $1;{\displaystyle \frac{3}{2}}$ là nghiệm của Q(y)

Bài 11 trang 32 Toán lớp 7: Đa thức M(t) = $3+t^4$ có nghiệm không? Vì sao?

Lời giải:

Vì

$\begin{array}{l}{t}^4\ge 0,\mathrm{\forall }t\in \mathbb{R}\\ \Rightarrow t^4+3\ge 3>0,\mathrm{\forall }t\in \mathbb{R}\\ \Rightarrow t^4+3\ne 0,\mathrm{\forall }t\in \mathbb{R}\end{array}$

Vậy đa thức M(t) = $3+t^4$ không có nghiệm

Bài 12 trang 32 Toán lớp 7: Một chiếc ca nô đang chạy với tốc độ v = 16 + 2t (v theo đơn vị mét/giây, t là thời gian tính theo đơn vị giây). Tính tốc độ ca nô với t = 5 

Lời giải:

Thay t = 5 vào công thức ta được: v = 16 + 2.5 = 26

Vậy tốc độ của chiếc ca nô là 26m/s

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết:

Bài 1: Biểu thức số và biểu thức đại số

Bài 3: Phép cộng và phép trừ đa thức một biến

Bài 4: Phép nhân và phép chia đa thức một biến

Bài tập cuối chương 7

Lý thuyết Đa thức một biến

1. Đa thức một biến

Đơn thức một biến là biểu thức đại số chỉ gồm một số hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và biến đó.

Ví dụ: 6t; –7; 2z⁴; 2022y²; –3x² là những đơn thức một biến.

Ta có thể thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia đơn thức cùng một biến.

Ví dụ: 2x + 3x = 5x; 3y – 7y = –4y; 2t. 3t² = 6t³

- Đa thức một biến là tổng của những đơn thức cùng một biến. Đơn thức một biến cũng là đa thức một biến.

Ví dụ:

- A = 5x⁵ + 3x³ + 2x² + x. Đa thức A là đa thức một biến (biến x).

- B =– 8y + 2y² + 1. Đa thức B là đa thức một biến (biến y).

- C = 5 – 2t + 4t² + 9t⁴. Đa thức C là đa thức một biến (biến t).

- D = 2 thì ta có thể viết C = 0x + 2 nên C cũng là đa thức một biến.

Quy ước: P = 0 được gọi là đa thức không.

2. Cách biểu diễn đa thức một biến

- Để thuận tiện cho việc tính toán đối với các đa thức một biến, ta thường viết đa thức đó thành đa thức thu gọn và sắp xếp các đơn thức của chúng theo lũy thừa tăng hoặc giảm của biến.

- Bậc của đa thức một biến (khác đa thức không, đã thu gọn) là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức đó.

Ví dụ: Thu gọn đa thức: P = 2x² + 3x + 2x – 4 + x². Tìm bậc và hệ số cao nhất của đa thức.

Hướng dẫn giải:

Ta có: P = 2x² + 3x + 2x – 4 + x²

= (2x² + x²) + (3x + 2x) – 4

= 3x² + 5x – 4.

Trong đa thức trên, số mũ cao nhất của x là 2 nên bậc của đa thức là 2.

Hệ số của x² là 3, gọi là hệ số cao nhất.

Vậy đa thức thu gọn của đa thức P là đa thức 3x² + 5x – 4 hoặc đa thức – 4 + 5x + 3x². Bậc của đa thức P(x) là 2, hệ số cao nhất là 3.

Chú ý:

- Số thực khác 0 được gọi là đa thức bậc 0.

- Số 0 được gọi là đa thức không có bậc.

Ví dụ: Các số −3; $\frac{-1}{2}$; 1; $2\frac{1}{3}$ được gọi là đa thức bậc 0.

3. Giá trị của đa thức một biến

Để tính giá trị của đa thức một biến ta thực hiện các bước sau:

- Bước 1: Thay chữ bởi giá trị số đã cho (chú ý các trường hợp phải đặt số trong dấu ngoặc);

- Bước 2: Thực hiện các phép tính (chú ý đến thứ tự thực hiện các phép tính: thực hiện phép lũy thừa, rồi đến phép nhân chia, sau đó là phép cộng trừ).

Ví dụ: Tính giá trị của đa thức A (x) = 2x⁴ – 8x² + 5x – 7 khi x = 3.

Hướng dẫn giải:

Thay x = 3 vào đa thức trên, ta được:

A = 2x⁴ – 8x² + 5x – 7

= 2.3⁴ – 8.3² + 5.3 – 7

= 2.81 – 8.9 + 15 – 7

= 162 – 72 + 15 – 7 = 98.

Vậy khi x = 3 thì giá trị của đa thức A(x) là 98.

4. Nghiệm của đa thức một biến

Nếu đa thức P(x) có giá trị bằng 0 tại x = a thì ta nói a hoặc x = a là một nghiệm của đa thức đó.

Chú ý:

- Một đa thức (khác đa thức không) có thể có 1; 2; 3; ...; n nghiệm hoặc không có nghiệm nào.

- Số nghiệm của một đa thức (khác đa thức 0) không vượt qua bậc của nó.

Ví dụ 1: Nêu các nghiệm của đa thức sau:

a) P(x) = 2x + 4;

b) M(t) = t² – 4x + 3.

Hướng dẫn giải:

a) x = – 2 là một nghiệm của đa thức P(x) = 2x + 4 vì P(–2) = 2. (–2) + 4 = 0.

b) Đa thức M(t) = t² – 4x + 3 có các nghiệm là t = 1 và t = 3 vì:

M(1) = 1² – 4. 1 + 3 = 1 – 4 + 3 = 0;

M(3) = 3² – 4. 3 + 3 = 9 – 12 + 3 = 0.

Ví dụ 2: Tìm nghiệm của đa thức P(y) = 2y + 6.

Hướng dẫn giải:

Ta có: 2y + 6 = 0

2y = −6

y = (−6): 2

y = −3

Vậy nghiệm của đa thức P(y)là –3.