Chứng minh: a. Căn 11 - căn 3 > Căn 10

Chứng minh: a. Căn 11 - căn 3 > Căn 10 - căn 3

Trịnh Thị Thu Hiền Ngày: 29-07-2024 Lớp 9

605

Với giải Luyện tập 4 trang 31 Toán 9 Tập 1 Cánh diều chi tiết trong Bài 1: Bất đẳng thức giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 9. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 9 Bài 1: Bất đẳng thức

Luyện tập 4 trang 31 Toán 9 Tập 1: Chứng minh:

a. $\sqrt{11} - \sqrt{3} > \sqrt{10} - \sqrt{3}$ ;

b. ${(a - 1)}^{2} \geq 4 - 2 a$ với $a^{2} \geq 3$ .

Lời giải:

a. Do $11 > 10$ nên $\sqrt{11} > \sqrt{10}$ suy ra $\sqrt{11} - \sqrt{3} > \sqrt{10} - \sqrt{3}$ .

Vậy $\sqrt{11} - \sqrt{3} > \sqrt{10} - \sqrt{3}$

b. Do $a^{2} \geq 3$ nên $a^{2} - 3 \geq 0$ .

Xét hiệu ${(a - 1)}^{2} - 4 + 2 a = a^{2} - 2 a + 1 - 4 + 2 a = a^{2} - 3 \geq 0$

Vậy ${(a - 1)}^{2} \geq 4 - 2 a$ .

Lý Thuyết Bất đẳng thức

Khái niệm bất đẳng thức

Ta gọi hệ thức dạng $a > b$ (hay $a < b$ , $a \geq b$ , $a \leq b$ ) là bất đẳng thức và gọi a là vế trái, b là vế phải của bất đẳng thức.

Chú ý:

Hai bất đẳng thức $a < b$ và $c < d$ (hay $a > b$ và $c > d$ ) được gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều.

Hai bất đẳng thức $a < b$ và $c > d$ (hay $a > b$ và $c < d$ ) được gọi là hai bất đẳng thức ngược chiều.

Tính chất của bất đẳng thức

Với hai số thực a và b, ta có:

- Nếu $a > b$ thì $a - b > 0$ . Ngược lại, nếu $a - b > 0$ thì $a > b$ .

- Nếu $a < b$ thì $a - b < 0$ . Ngược lại, nếu $a - b < 0$ thì $a < b$ .

- Nếu $a \geq b$ thì $a - b \geq 0$ . Ngược lại, nếu $a - b \geq 0$ thì $a \geq b$ .

- Nếu $a \leq b$ thì $a - b \leq 0$ . Ngược lại, nếu $a - b \leq 0$ thì $a \leq b$ .

Nhận xét: Do khẳng định nêu trên, để chứng minh $a > b$ , ta có thể chứng minh $a - b > 0$ hoặc chứng minh $b - a < 0$ .

Liên hệ giữa thứ tự và phép cộng

Khi cộng cùng một số vào cả hai vế của một bất đẳng thức ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Nếu $a < b$ thì $a + c < b + c$ .

Nếu $a > b$ thì $a + c > b + c$ .

Nếu $a \leq b$ thì $a + c \leq b + c$ .

Nếu $a \geq b$ thì $a + c \geq b + c$ .

Ví dụ: Vì $2023 < 2024$ nên $2023 + (- 19) < 2024 + (- 19)$

Liên hệ giữa thứ tự và phép nhân

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số dương, ta được bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.

Với ba số a, b, c mà c > 0, ta có:

- Nếu $a < b$ thì $a c < b c$ .

- Nếu $a > b$ thì $a c > b c$ .

- Nếu $a \leq b$ thì $a c \leq b c$ .

- Nếu $a \geq b$ thì $a c \geq b c$ .

- Khi nhân cả hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm ta được bất đẳng thức mới ngược chiều với bất đẳng thức đã cho.

Với ba số a, b, c và c < 0, ta có:

Nếu $a < b$ thì $a c > b c$ .

Nếu $a > b$ thì $a c < b c$ .

Nếu $a \leq b$ thì $a c \geq b c$ .

Nếu $a \geq b$ thì $a c \leq b c$ .

Ví dụ:

Vì $- 7 < - 5$ và $3 > 0$ nên $3. (- 7) < 3. (- 5)$ .

Vì $- 7 < - 5$ và $- 3 < 0$ nên $(- 3) . (- 7) > (- 3) . (- 5)$ .

Tính chất bắc cầu của bất đẳng thức

Nếu $a > b$ và $b > c$ thì $a > c$ .

Ví dụ: Vì $\frac{2024}{2023} = 1 + \frac{1}{2023} > 1$ và $\frac{2021}{2022} = 1 - \frac{1}{2022} < 1$ nên $\frac{2024}{2023} > \frac{2021}{2022}$ .