Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ chi tiết sách Toán 12 Tập 1 Cánh diều giúp học sinh xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 12. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán 12 Bài 3: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Câu hỏi khởi động trang 74 Toán 12 Tập 1: Một chiếc máy quay phim ở đài truyền hình được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt P(0; 0; 4) và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là Q₁(0; – 1; 0), Q₂ $\left(\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2};0\right)$, Q₃ $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2};0\right)$ (Hình 35). Biết rằng trọng lượng của máy quay là 360 N.

Làm thế nào để tìm được tọa độ của các lực $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ tác dụng lên giá đỡ?

Lời giải:

Sau bài học này, ta giải quyết được bài toán trên như sau:

Theo giả thiết, ta có các điểm P(0; 0; 4), Q₁(0; – 1; 0), Q₂ $\left(\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2};0\right)$, Q₃ $\left(-\frac{\sqrt{3}}{2};\frac{1}{2};0\right)$.

Suy ra 

Suy ra 

Vì vậy, tồn tại hằng số c ≠ 0 sao cho:

Suy ra $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\left(0;0;-12c\right)$ .

Mặt khác, ta có: $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{F}$ , trong đó $\overrightarrow{F}=\left(0;0;-360\right)$ là trọng lực tác dụng lên máy quay. Suy ra – 12c = – 360, tức là c = 30.

Vậy 

Hoạt động 1 trang 74 Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (Hình 36), cho hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left(x_1;y_1;z_1\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(x_2;y_2;z_2\right)$.

a) Biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ theo ba vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$.

b) Biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v},m\overrightarrow{u}$ (m ∈ ℝ) theo ba vectơ $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$.

c) Tìm tọa độ các vectơ $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v},\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v},m\overrightarrow{u}$ (m ∈ ℝ).

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{u}=\left(x_1;y_1;z_1\right)$ nên $\overrightarrow{u}=x_1\overrightarrow{i}+y_1\overrightarrow{j}+z_1\overrightarrow{k}$.

Ta có $\overrightarrow{v}=\left(x_2;y_2;z_2\right)$ nên $\overrightarrow{v}=x_2\overrightarrow{i}+y_2\overrightarrow{j}+z_2\overrightarrow{k}$.

b)

$\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left(x_1\overrightarrow{i}+y_1\overrightarrow{j}+z_1\overrightarrow{k}\right)+\left(x_2\overrightarrow{i}+y_2\overrightarrow{j}+z_2\overrightarrow{k}\right)$

$=\left(x_1+x_2\right)\overrightarrow{i}+\left(y_1+y_2\right)\overrightarrow{j}+\left(z_1+z_2\right)\overrightarrow{k}$

$\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=\left(x_1\overrightarrow{i}+y_1\overrightarrow{j}+z_1\overrightarrow{k}\right)-\left(x_2\overrightarrow{i}+y_2\overrightarrow{j}+z_2\overrightarrow{k}\right)$

$=\left(x_1-x_2\right)\overrightarrow{i}+\left(y_1-y_2\right)\overrightarrow{j}+\left(z_1-z_2\right)\overrightarrow{k}$

$m\overrightarrow{u}=m\left(x_1\overrightarrow{i}+y_1\overrightarrow{j}+z_1\overrightarrow{k}\right)=m{x}_1\overrightarrow{i}+m{y}_1\overrightarrow{j}+m{z}_1\overrightarrow{k}$ (m ∈ ℝ).

c) Ta có $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left(x_1+x_2\right)\overrightarrow{i}+\left(y_1+y_2\right)\overrightarrow{j}+\left(z_1+z_2\right)\overrightarrow{k}$ .

Do đó, tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ là (x₁ + x₂; y₁ + y₂; z₁ + z₂).

Ta có $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=\left(x_1-x_2\right)\overrightarrow{i}+\left(y_1-y_2\right)\overrightarrow{j}+\left(z_1-z_2\right)\overrightarrow{k}$ .

Do đó, tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$ là (x₁ – x₂; y₁ – y₂; z₁ – z₂).

Ta có $m\overrightarrow{u}=m{x}_1\overrightarrow{i}+m{y}_1\overrightarrow{j}+m{z}_1\overrightarrow{k}$ .

Do đó, tọa độ của vectơ $m\overrightarrow{u}$ là (mx₁; my₁; mz₁).

Luyện tập 1 trang 75 Toán 12 Tập 1: a) Cho $\overrightarrow{u}=\left(-2;0;1\right),\overrightarrow{v}=\left(0;6;-2\right),\overrightarrow{w}=\left(-2;3;2\right)$. Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}-4\overrightarrow{w}$.

b) Cho ba điểm A(– 1; – 3; – 2), B(2; 3; 4), C(3; 5; 6). Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Lời giải:

a) Ta có $2\overrightarrow{v}=\left(0;12;-4\right),4\overrightarrow{w}=\left(-8;12;8\right)$ .

Do đó, $\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}$ = (– 2 + 0; 0 + 12; 1 + (– 4)) = (– 2; 12; – 3).

Suy ra $\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}-4\overrightarrow{w}$ = (– 2 – (– 8); 12 – 12; – 3 – 8).

Vậy $\overrightarrow{u}+2\overrightarrow{v}-4\overrightarrow{w}$ = (6; 0; – 11).

b) Ta có: $\overrightarrow{AB}$ = (2 – (– 1); 3 – (– 3); 4 – (– 2)) = (3; 6; 6),

$\overrightarrow{AC}$ = (3 – (– 1); 5 – (– 3); 6 – (– 2)) = (4; 8; 8).

Ta có  Từ đó suy ra $\overrightarrow{AB}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$.

Do đó, hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng phương.

Suy ra hai đường thẳng AB và AC song song hoặc trùng nhau, mà AB ∩ AC = A.

Vậy hai đường thẳng AB và AC trùng nhau hay ba điểm A, B, C thẳng hàng.

Hoạt động 2 trang 75 Toán 12 Tập 1: a) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(x_A; y_A; z_A) và B(x_B; y_B; z_B). Gọi M(x_M; y_M; z_M) là trung điểm của đoạn thẳng AB.

- Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{OM}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{OA}$ và $\overrightarrow{OB}$.

- Tính tọa độ của điểm M theo tọa độ của các điểm A(x_A; y_A; z_A) và B(x_B; y_B; z_B).

b) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có trọng tâm G.

- Biểu diễn vectơ $\overrightarrow{OG}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ , $\overrightarrow{OC}$.

- Tính tọa độ của điểm G theo tọa độ của các điểm A(x_A; y_A; z_A), B(x_B; y_B; z_B), C(x_C; y_C; z_C).

Lời giải:

a)

- Vì M là trung điểm của AB nên với điểm O ta có: $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)$.

- Ta có A(x_A; y_A; z_A) và B(x_B; y_B; z_B) nên $\overrightarrow{OA}$ = (x_A; y_A; z_A) và $\overrightarrow{OB}$ = (x_B; y_B; z_B).

Khi đó, $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ = (x_A + x_B; y_A + y_B; z_A + z_B).

Suy ra 

Do đó, 

b)

- Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên với điểm O ta có:

$\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)$.

- Ta có A(x_A; y_A; z_A), B(x_B; y_B; z_B), C(x_C; y_C; z_C).

Suy ra $\overrightarrow{OA}$ = (x_A; y_A; z_A), $\overrightarrow{OB}$ = (x_B; y_B; z_B), $\overrightarrow{OC}$ = (x_C; y_C; z_C).

Khi đó, $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ = (x_A + x_B + x_C; y_A + y_B + y_C; z_A + z_B + z_C).

Suy ra

Do đó,

Luyện tập 2 trang 76 Toán 12 Tập 1: Cho ba điểm A(0; – 1; 1), B(1; 0; 5), G(1; 2; 0).

a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, G không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ điểm C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(1;1;4\right),\overrightarrow{AG}=\left(1;3;-1\right)$.

Suy ra $\overrightarrow{AB}=\left(1;1;4\right)\ne k\overrightarrow{AG}=\left(k;3k;-k\right)$ ới mọi k ∈ ℝ nên hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ à $\overrightarrow{AG}$ không cùng phương.

Vậy ba điểm A, B, G không thẳng hàng.

b) Gọi tọa độ điểm C là (x_C; y_C; z_C).

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có 

Suy ra x_C = 3 – 1 = 2, y_C = 6 + 1 = 7, z_C = 0 – 6 = – 6.

Vậy C(2; 7; – 6).

Hoạt động 3 trang 76 Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vectơ $\overrightarrow{u}=\left(x_1;y_1;z_1\right)$, $\overrightarrow{v}=\left(x_2;y_2;z_2\right)$.

Hãy biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ theo ba vectơ đơn vị $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ và tính tích vô hướng $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}$.

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{u}=\left(x_1;y_1;z_1\right)$, $\overrightarrow{v}=\left(x_2;y_2;z_2\right)$.

Do đó, $\overrightarrow{u}=x_1\overrightarrow{i}+y_1\overrightarrow{j}+z_1\overrightarrow{k}$, $\overrightarrow{v}=x_2\overrightarrow{i}+y_2\overrightarrow{j}+z_2\overrightarrow{k}$.

Ta có $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=\left(x_1\overrightarrow{i}+y_1\overrightarrow{j}+z_1\overrightarrow{k}\right)\cdot \left(x_2\overrightarrow{i}+y_2\overrightarrow{j}+z_2\overrightarrow{k}\right)$

Mà ${\overrightarrow{i}}^2={\overrightarrow{j}}^2={\overrightarrow{k}}^2=1$ và $\overrightarrow{i}\cdot \overrightarrow{j}=\overrightarrow{j}\cdot \overrightarrow{k}=\overrightarrow{k}\cdot \overrightarrow{i}=0$ (do là ba vectơ đơn vị đôi một vuông góc với nhau).

Do đó, $\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}=x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2$.

Luyện tập 3 trang 77 Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(2; – 1; 1), B(1; – 1; 2) và C(3; 0; 2). Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A.

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-1;0;1\right),\overrightarrow{AC}=\left(1;1;1\right)$.

Nhận thấy (– 1) ∙ 1 + 0 ∙ 1 + 1 ∙ 1 = – 1 + 1 = 0, do đó $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=0$.

Suy ra hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ vuông góc với nhau hay hai đường thẳng AB và AC vuông góc với nhau.

Vậy tam giác ABC vuông tại A.

Hoạt động 4 trang 79 Toán 12 Tập 1: a) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), C'(1; 1; 1). Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$.

b) Cho hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left(x_1;y_1;z_1\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(x_2;y_2;z_2\right)$ không cùng phương.

Xét vectơ $\overrightarrow{w}=\left(y_1{z}_2-y_2{z}_1;z_1{x}_2-z_2{x}_1;x_1{y}_2-x_2{y}_1\right)$.

- Tính $\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{u},\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{v}$.

- Vectơ $\overrightarrow{w}$ có vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ hay không?

Lời giải:

a)

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(1;0;0\right),\overrightarrow{AD}=\left(0;1;0\right)$.

Gọi tọa độ điểm C là (x_C; y_C; z_C), ta có $\overrightarrow{DC}=$(x_C; y_C – 1; z_C).

Vì là ABCD.A'B'C'D' hình lập phương nên $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$ .

Suy ra  Do đó, C(1; 1; 0).

Ta có $\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}=\left(0;0;1\right)$.

Ta thấy 

Vậy vectơ $\overrightarrow{C{C}^{\text{'}}}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$.

b)

- Ta có:

= y₁z₂x₁ – y₂z₁x₁ + z₁x₂y₁ – z₂x₁y₁ + x₁y₂z₁ – x₂y₁z₁

= (y₁z₂x₁ – z₂x₁y₁) + (x₁y₂z₁ – y₂z₁x₁) + (z₁x₂y₁ – x₂y₁z₁) = 0;

= y₁z₂x₂ – y₂z₁x₂ + z₁x₂y₂ – z₂x₁y₂ + x₁y₂z₂ – x₂y₁z₂

= (y₁z₂x₂ – x₂y₁z₂) + (x₁y₂z₂ – z₂z₁y₂) + (z₁x₂y₂ – y₂z₁x₂) = 0.

- Vì $\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{u}=0,\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{v}=0$ nên vectơ $\overrightarrow{w}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$.

Luyện tập 4 trang 80 Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left(1;0;-3\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(0;0;3\right)$. Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ $\overrightarrow{w}$ khác $\overrightarrow{0}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$.

Lời giải:

Ta có 

Chọn $\overrightarrow{w}$ = (0; – 3; 0).

Vậy vectơ $\overrightarrow{w}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ .

Bài tập

Bài 1 trang 80 Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(2;3;-2\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(3;1;-1\right)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ là:

A. (1; – 2; 1).

B. (5; 4; – 3).

C. (– 1; 2; – 1).

D. (– 1; 2; – 3).

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ = (2 – 3; 3 – 1; – 2 – (– 1)). Do đó $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$ = (– 1; 2; – 1).

Bài 2 trang 80 Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(0;1;1\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(-1;1;0\right)$ . Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ bằng:

A. 60°.

B. 120°.

C. 150°.

D. 30°.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có 

Suy ra $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)=60°$.

Bài 3 trang 80 Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(-1;2;3\right)$, $\overrightarrow{b}=\left(3;1;-2\right),\overrightarrow{c}=\left(4;2;-3\right)$.

a) Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{c}$.

b) Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{v}$ sao cho $\overrightarrow{v}+2\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$ .

Lời giải:

a) Ta có $2\overrightarrow{a}=\left(-2;4;6\right)$, do đó $2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ = (– 2 + 3; 4 + 1; 6 + (– 2)) = (1; 5; 4).

Lại có $3\overrightarrow{c}=\left(12;6;-9\right)$, do đó $\overrightarrow{u}=2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-3\overrightarrow{c}$ = (1 – 12; 5 – 6; 4 – (– 9)).

Vậy $\overrightarrow{u}$ = (– 11; – 1; 13).

b) Ta có $\overrightarrow{v}+2\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$, suy ra $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{b}$.

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}$= (– 1 + 4; 2 + 2; 3 + (– 3)) = (3; 4; 0).

Mà $2\overrightarrow{b}=\left(6;2;-4\right)$, do đó $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{b}$ = (3 – 6; 4 – 2; 0 – (– 4)).

Vậy $\overrightarrow{v}$ = (– 3; 2; 4).

Bài 4 trang 80 Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(2;-2;1\right),\overrightarrow{b}=\left(2;1;3\right)$. Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ $\overrightarrow{c}$ khác $\overrightarrow{0}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$.

Lời giải:

Ta có 

Chọn $\overrightarrow{c}=\left(-7;-4;6\right)$ , ta có vectơ vectơ $\overrightarrow{c}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ .

Bài 5 trang 81 Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho $\overrightarrow{a}=\left(3;2;-1\right),\overrightarrow{b}=\left(-2;1;2\right)$. Tính côsin của góc $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}\right)$.

Lời giải:

Ta có

Bài 6 trang 81 Toán 12 Tập 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(– 2; 3; 0), B(4; 0; 5), C(0; 2; – 3).

a) Chứng minh rằng ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Tính chu vi tam giác ABC.

c) Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.

d) Tính $\cos \widehat{BAC}$.

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(6;-3;5\right)$, $\overrightarrow{AC}=\left(2;-1;-3\right)$.

Suy ra $\overrightarrow{AB}=\left(6;-3;5\right)\ne k\overrightarrow{AC}=\left(2k;-k;-3k\right)$ với mọi k ∈ ℝ, do đó hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương.

Vậy ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

b) Ta có 

Ta có $\overrightarrow{BC}=\left(-4;2;-8\right)$.

Suy ra 

Chu vi tam giác ABC là C = AB + AC + BC = $\sqrt{70}+\sqrt{14}+2\sqrt{21}$.

c) Gọi tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là (x_G; y_G; z_G).

Ta có $x_G=\frac{-2+4+0}{3}=\frac{2}{3}$; $y_G=\frac{3+0+2}{3}=\frac{5}{3};z_G=\frac{0+5+\left(-3\right)}{3}=\frac{2}{3}$ .

Vậy $G\left(\frac{2}{3};\frac{5}{3};\frac{2}{3}\right)$ .

d) Ta có 

Do đó hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ vuông góc với nhau hay hai đường thẳng AB và AC vuông góc với nhau nên $\widehat{BAC}=90°$. Vậy $\cos \widehat{BAC}$ = 0.

Bài 7 trang 81 Toán 12 Tập 1: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', biết A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; – 1; 1), C'(4; 5; – 5). Hãy chỉ ra tọa độ của một vectơ khác $\overrightarrow{0}$ vuông góc với cả hai vectơ trong mỗi trường hợp sau:

a) $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$;

b) $\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}$ và $\overrightarrow{BD}$.

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(1;1;1\right)$ , $\overrightarrow{AD}=\left(0;-1;0\right)$,

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên ABCD là hình bình hành, do đó

$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\left(1+0;1+\left(-1\right);1+0\right)=\left(1;0;1\right)$.

Ta có $\overrightarrow{BD}=\left(-1;-2;-1\right)$.

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên $\overrightarrow{B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}=\overrightarrow{BD}=\left(-1;-2;-1\right)$ .

Ta có 

Chọn $\overrightarrow{a}=\left(2;0;-2\right)$, vectơ $\overrightarrow{a}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{B^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$.

b) Ta có $\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}=\left(3;5;-6\right)$, $\overrightarrow{BD}=\left(-1;-2;-1\right)$.

Chọn $\overrightarrow{b}=\left(-17;9;-1\right)$, vectơ $\overrightarrow{b}$ vuông góc với cả hai vectơ $\overrightarrow{A{C}^{\text{'}}}$ và $\overrightarrow{BD}$.

Bài 8 trang 81 Toán 12 Tập 1: Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm O trên trần nhà lần lượt buộc vào ba điểm A, B, C trên đèn tròn sao cho tam giác ABC đều (Hình 38). Độ dài của ba đoạn dây OA, OB, OC đều bằng L. Trọng lượng của chiếc đèn là 24 N và bán kính của chiếc đèn là 18 in (1 inch = 2,54 cm). Gọi F là độ lớn của các lực căng $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3}$ trên mỗi sợi dây. Khi đó, F = F(L) là một hàm số với biến số là L.

a) Xác định công thức tính hàm số F = F(L).

b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số F = F(L).

c) Tìm chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây, biết rằng mỗi sợi dây đó được thiết kế để chịu được lực căng tối đa là 10 N.

Lời giải:

a) Ta có 18 in = 45,72 cm = 0,4572 m.

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

Vì tam giác ABC đều nên G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Do đó, GA = GB = GC = 0,4572 m.

Theo bài ra ta có OA = OB = OC = L nên OG ⊥ (ABC) và 

Do đó, 

Vì vậy, tồn tại hằng số c ≠ 0 sao cho: $\overrightarrow{F_1}=c\overrightarrow{OA};\overrightarrow{F_2}=c\overrightarrow{OB};\overrightarrow{F_3}=c\overrightarrow{OC}$ .

Suy ra $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=c\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)$.

Theo quy tắc ba điểm ta có

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\left(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GA}\right)+\left(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GB}\right)+\left(\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GC}\right)$

$=3\overrightarrow{OG}+\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right)=3\overrightarrow{OG}$

(do G là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}$ ).

Do đó, $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=3c\overrightarrow{OG}$.

Mặt khác ta lại có $\overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}+\overrightarrow{F_3}=\overrightarrow{P}$, với $\overrightarrow{P}$ là trọng lực tác dụng lên chiếc đèn.

Mà trọng lượng tác dụng lên chiếc đèn là 24 N nên 

Từ đó suy ra 

Tam giác OAG vuông tại G (do OG ⊥ (ABC)) nên ta suy ra

$OG=\sqrt{O{A}^2-G{A}^2}=\sqrt{L^2-0,{4572}^2}$ (m) với L > 0,4572.

Do đó, 

Khi đó, 

Vậy $F=F\left(L\right)=\frac{8L}{\sqrt{L^2-0,{4572}^2}}$ với L > 0,4572.

b) Xét hàm số $F=F\left(L\right)=\frac{8L}{\sqrt{L^2-0,{4572}^2}}$ với L ∈ (0,4572; + ∞).

+ Tập xác định: D = (0,4572; + ∞).

+ Sự biến thiên

- Giới hạn tại vô cực giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:

 Do đó, đường thẳng F = 8 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

 Do đó, đường thẳng L = 0,4572 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

+ Đạo hàm $F^{\text{'}}\left(L\right)=\frac{-8\cdot 0,{4572}^2}{\left(L^2-0,{4572}^2\right)\sqrt{L^2-0,{4572}^2}}$ < 0 với mọi L ∈ (0,4572; + ∞).

+ Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên khoảng (0,4572; + ∞).

Hàm số không có cực trị.

+ Đồ thị hàm số được vẽ như hình dưới đây:

c) Ta có lực căng tối đa của mỗi sợi dây là 10 N.

Với F(L) = 10, ta có $\frac{8L}{\sqrt{L^2-0,{4572}^2}}=10$ . Từ đó suy ra

$5\sqrt{L^2-0,{4572}^2}=4L$

⇔ 25L² – 5,255796 = 16L²

⇒ L = 0,762 ∈ (0,4572; + ∞).

Vậy chiều dài tối thiểu của mỗi sợi dây là L = 0,762 m = 76,2 cm = 30 in.

Xem thêm các bài giải bài tập Toán lớp 12 Cánh diều hay, chi tiết khác:

§2. Toạ độ của vectơ

§3. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Bài tập cuối chương 2

§1. Khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

§2. Phương sai, độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm

Bài tập cuối chương 3

Lý thuyết Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

1. Biểu thức tọa độ của phép cộng hai vecto, phép trừ hai vecto, phép nhân một số với một vecto

Trong không gian Oxyz, cho hai vecto $\overrightarrow{a}=(x;y;z)$. và $\overrightarrow{b}=(x^{\prime };y^{\prime };z^{\prime })$. Ta có: ·       $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(x+x^{\prime };y+y^{\prime };z+z^{\prime })$ ·       $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}=(x-x^{\prime };y-y^{\prime };z-z^{\prime })$ $k\overrightarrow{a}=(kx;ky;kz)$ với k là một số thực

2. Tọa độ trung điểm đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm tam giác

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm không thẳng hàng $A(x_A;y_A;z_A),B(x_B;y_B;z_B),C(x_C;y_C;z_C)$. Khi đó: ·       Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB là $\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2}\right)$ Tọa độ trọng tâm tam giác ABC là $\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{2};\frac{y_A+y_B+y_C}{2};\frac{z_A+z_B+z_C}{2}\right)$

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trong không gian Oxyz, tích vô hướng của hai vecto $\overrightarrow{a}=(x;y;z)$ và $\overrightarrow{b}=(x^{\prime };y^{\prime };z^{\prime })$ được xác định bởi công thức $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=x{x}^{\prime }+y{y}^{\prime }+z{z}^{\prime }$

4. Cách tìm tọa độ của một vecto vuông góc với hai vecto cho trước

Cho hai vecto $\overrightarrow{a}=(x;y;z)$ và $\overrightarrow{b}=(x^{\prime };y^{\prime };z^{\prime })$ không cùng phương. Khi đó, vecto $\overrightarrow{w}=(y{z}^{\prime }-y^{\prime }z;z{x}^{\prime }-z^{\prime }x;x{y}^{\prime }-x^{\prime }y)$ vuông góc với cả hai vecto $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$