Với lời giải Toán 11 trang 59 Tập 2 chi tiết trong Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng sách Chân trời sáng tạo giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 Bài 2: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Thực hành 1 trang 59 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, O là giao điểm của AC và BD, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H, I, K lần luợt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SC, SD. Chứng minh rằng:

a) CB ⊥ (SAB) và CD ⊥ (SAD) ;

b) HK ⊥ AI .

Lời giải:

a) Ta có: SA ⊥ (ABCD) nên A ⊥ BC

Mà ABCD là hình vuông nên AB ⊥ BC

Và AB ∩ SA = {A}

Do đó BC ⊥ (SAB)

Tương tự: SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ CD

Mà ABCD là hình vuông nên AD ⊥ CD

Và AD ∩ SA = {A} .

Do đó CD ⊥ (SAD) .

b) Ta có:

$\left.\begin{array}{l}\mathrm{CB}\perp \left(\mathrm{SAB}\right)\Rightarrow \mathrm{CB}\perp \mathrm{AH}\\ \mathrm{AH}\perp \mathrm{SB}\\ \mathrm{CB}\cap \mathrm{SB}=\left\{\mathrm{B}\right\}\end{array}\right\}\Rightarrow \mathrm{AH}\perp (SBC)\Rightarrow \mathrm{AH}\perp \mathrm{SC}(1)$

$\left.\begin{array}{l}\mathrm{CD}\perp \left(\mathrm{SAD}\right)\Rightarrow \mathrm{CD}\perp \mathrm{AK}\\ \mathrm{AK}\perp \mathrm{SD}\\ \mathrm{CD}\cap \mathrm{SD}=\left\{\mathrm{D}\right\}\end{array}\right\}\Rightarrow \mathrm{AK}\perp (SDC)\Rightarrow \mathrm{AK}\perp \mathrm{SC}(2)$

Từ (1) và (2) ⇒ SC ⊥ (AHK) ⇒ SC ⊥ HK.(3)

Xét ΔSAB và ΔSAD có:

SA chung

AB = AD

$\widehat{\mathrm{SAB}}=\widehat{\mathrm{SAD}}$

Do đó ΔSAB = ΔSAD (c.g.c)

Suy ra SB = SD; $\widehat{\mathrm{ASB}}=\widehat{\mathrm{ASD}}$ (các cạnh và các góc tương ứng)

Xét tam giác SBD:

SB = SD

⇒ ΔSBD cân tại S.

Xét ΔSAH và ΔSAK có:

$\widehat{\mathrm{ASH}}=\widehat{\mathrm{ASK}}$ ; cạnh SA chung ; $\widehat{\mathrm{SHA}}=\widehat{\mathrm{SKA}}$

Do đó ΔSAH = ΔSAH (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra SH = SK (các cạnh tương ứng)

Khi ΔSHK cân tại S nên $\widehat{\mathrm{SHK}}=\widehat{\mathrm{SKH}}$

Ta có: $\widehat{\mathrm{HSK}}=\widehat{\mathrm{BSD}}=180°-2\widehat{\mathrm{HSK}}=180°-2\widehat{\mathrm{BSD}}$

⇒ $\widehat{\mathrm{HSK}}=\widehat{\mathrm{BSD}}$ (hai góc ở vị trí so le trong)

$\left.\begin{array}{l}\Rightarrow \mathrm{HK}\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}\mathrm{BD}\\ \mathrm{SA}\perp \mathrm{BD}\end{array}\right\}\Rightarrow \mathrm{SA}\perp \mathrm{HK}$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra HK ⊥ (SAC) ⇒ HK ⊥ AI .

Vận dụng 1 trang 59 Toán 11 Tập 2: Làm thế nào để dựng cột chống một biển báo vuông góc với mặt đất?

Lời giải:

Vì chân của cột chống biển báo là hai đường thẳng cắt nhau nên khi ta dựng cột chống vuông góc với hai chân của cột chống thì cột chống của biển báo vuông góc với mặt đất.