Với giải Bài 7.24 trang 34 SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức chi tiết trong Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 11 Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 7.24 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, biết (SAB) $\perp$ (ABCD), (SAD) $\perp$ (ABCD) và SA = a. Tính côsin của số đo góc nhị diện [S, BD, C] và góc nhị diện [B, SC, D].

Lời giải:

*) Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Ta có (SAB) $\perp$ (ABCD), (SAD) $\perp$ (ABCD) nên SA $\perp$ (ABCD). Suy ra SA $\perp$ BD.

Mà AC $\perp$ BD (do ABCD là hình vuông) nên BD $\perp$ (SAC). Do đó BD $\perp$ SO.

Vì BD $\perp$ SO, CO $\perp$ BD nên góc nhị diện [S, BD, C] bằng $\widehat{SOC}$.

Ta có ABCD là hình vuông cạnh a nên AC = a$\sqrt{2}$, AO = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Vì tam giác SAO vuông tại A nên SO = $\sqrt{S{A}^2+A{O}^2}=\sqrt{a^2+{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$ và cos$\widehat{SOC}$ = -cos$\widehat{SOA}$ = -$\frac{OA}{SO}$ = -$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Vậy côsin của số đo góc nhị diện [S, BD, C] bằng -$\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

*) Kẻ BM $\perp$ SC tại M.

Vì ABCD là hình vuông nên BD $\perp$ AC mà BD $\perp$ SA (do SA $\perp$ (ABCD)).

Do đó BD $\perp$ (SAC), suy ra BD $\perp$ SC mà BM $\perp$ SC nên SC $\perp$ (BDM).

Suy ra SC $\perp$ DM.

Xét $∆$SAB và $∆$SAD có SA chung, $\widehat{SAB}=\widehat{SAD}$ = 90^o, AB = AD nên $∆$SAB = $∆$SAD.

Suy ra SB = SD (hai cạnh tương ứng).

Xét $∆$SBC và $∆$SDC có SB = SD, SC chung, BC = DC nên $∆$SBC = $∆$SDC.

Suy ra BM = DM (đều là đường cao tương ứng với đáy SC).

Vì BM $\perp$ SC và DM $\perp$ SC nên góc nhị diện [B, SC, D] bằng $\widehat{BMD}$.

Có BC $\perp$ AB, BC $\perp$ SA (SA $\perp$ (ABCD)) nên BC $\perp$ (SAB) ⇒ BC $\perp$ SB hay tam giác SBC vuông tại B.

Xét tam giác SAB vuông tại A, có SB = $\sqrt{S{A}^2+A{B}^2}=a\sqrt{2}$.

Xét tam giác SBC vuông tại B, có SC = $\sqrt{S{B}^2+B{C}^2}=a\sqrt{3}$ và

BM.SC = SB.BC $\Rightarrow$DM = BM = $\frac{SB.BC}{SC}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$.

Áp dụng định lí côsin trong tam giác BDM, có cos$\widehat{BMD}=\frac{B{M}^2+D{M}^2-B{D}^2}{2.BM.DM}=-\frac{1}{2}$.

Vậy côsin của số đo góc nhị diện [B, SC, D] bằng -$\frac{1}{2}$.