Sách bài tập Toán 11 Bài 27 (Kết nối tri thức): Thể tích

Admin Vietjack Ngày: 15-12-2023 Lớp 11

808

Với giải sách bài tập Toán 11 Bài 27: Thể tích sách Kết nối tri thức hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 11 Bài 27: Thể tích

Giải SBT Toán 11 trang 41

Bài 7.33 trang 41 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA $⊥$ (ABC); AB = a, AC = a $\sqrt{2}$ và $\hat{S B A} = 60 °$ , $\hat{B A C} = 45 °$ . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.

Lời giải:

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc (ABC)

Xét tam giác SAB vuông tại A, có SA = AB . tan60° = a $\sqrt{3}$ .

Có $S_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C \cdot \sin \hat{B A C} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a \sqrt{2} \cdot \sin 45 ° = \frac{a^{2}}{2}$ .

Vậy $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} \cdot S_{A B C} \cdot S A = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$ .

Bài 7.34 trang 41 SBT Toán 11 Tập 2: Cho khối chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng 60°. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

Lời giải:

Cho khối chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a

Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông nên O là trung điểm của AC và BD.

Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO $⊥$ (ABCD).

Kẻ OM $⊥$ CD tại M. Vì SO $⊥$ (ABCD) nên SO $⊥$ CD mà OM $⊥$ CD nên CD $⊥$ (SOM), suy ra SM $⊥$ CD. Do đó góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa hai đường thẳng OM và SM, mà (OM,SM) = $\hat{S M O}$ . Do đó $\hat{S M O}$ = 60^o.

Xét tam giác BCD có OM // BC (vì cùng vuông góc với CD) mà O là trung điểm của BD nên M là trung điểm của CD. Do đó OM là đường trung bình của tam giác BCD nên OM = $\frac{B C}{2} = \frac{a}{2}$ .

Xét tam giác SOM vuông tại O có SO = OM.tan $\hat{S M O}$ = $\frac{a}{2}$ .tan60^o = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Vậy $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} \cdot S_{A B C D} \cdot S O = \frac{1}{3} \cdot a^{2} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$ .

Bài 7.35 trang 41 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có A'B'C' và AA'C' là hai tam giác đều cạnh a. Biết (ACC'A') $⊥$ (A'B'C'). Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

Lời giải:

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có A'B'C' và AA'C' là hai tam giác đều cạnh a

Kẻ AH $⊥$ A'C' tại H mà (ACC'A') $⊥$ (A'B'C') và (ACC'A') $\cap$ (A'B'C') = A'C' nên

AH $⊥$ (A'B'C').

Tam giác A'B'C' là tam giác đều cạnh a nên $S_{A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$ .

Tam giác AA'C' là tam giác đều cạnh a, AH là đường cao nên AH = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Vậy $V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} = S_{A^{'} B^{'} C^{'}} \cdot A H = \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{3 a^{3}}{8}$ .

Bài 7.36 trang 41 SBT Toán 11 Tập 2: Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và $\hat{A O B} = 90 °$ ; $\hat{B O C} = 60 °$ ; $\hat{C O A} = 120 °$ . Tính theo a thể tích khối tứ diện OABC.

Lời giải:

Cho tứ diện OABC có OA = OB = OC = a và góc AOB = 90 độ

Xét tam giác OAB vuông tại O, có AB = $\sqrt{O A^{2} + O B^{2}}$ $= \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a \sqrt{2}$ .

Xét tam giác BOC có OB = OC và $\hat{B O C} = 60 °$ nên tam giác BOC là tam giác đều.

Do đó BC = a.

Áp dụng định lí Côsin trong tam giác OAC có:

$A C^{2} = O A^{2} + O C^{2}$ -2.OA.OC.cos $\hat{A O C}$

= a²+a²+2.a². $\frac{1}{2}$ = 3a² $\Rightarrow A C^{2} = 3 a^{2}$ $\Rightarrow A C = a \sqrt{3}$

Có $A B^{2} + B C^{2} = 2 a^{2} + a^{2} = 3 a^{2}$ . Do đó AC² = AB²+ BC².

Vì AC² = AB²+ BC² nên tam giác ABC vuông tại B.

Do đó $S_{A B C} = \frac{A B \cdot B C}{2} = \frac{a \sqrt{2} \cdot a}{2} = \frac{a^{2} \sqrt{2}}{2}$ .

Kẻ OH $⊥$ (ABC) tại H.

Vì OA = OB = OC nên HA = HB = HC.

Khi đó, H là trung điểm của AC nên AH = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Xét tam giác OAH vuông tại H, có OH = $\sqrt{O A^{2} - A H^{2}} = \sqrt{a^{2} - \frac{3 a^{2}}{4}} = \frac{a}{2}$ .

Vậy $V_{O A B C} = \frac{1}{3} \cdot S_{A B C} \cdot O H = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^{2} \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12}$ .

Bài 7.37 trang 41 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, biết SO $⊥$ (ABCD), AC = 2a $\sqrt{3}$ , BD = 2a và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) bằng $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

Lời giải:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, biết SO vuông góc (ABCD)

Kẻ OM $⊥$ BC tại M mà BC $⊥$ SO (do SO $⊥$ (ABCD)) nên BC $⊥$ (SOM).

Kẻ OH $⊥$ SM tại H mà OH $⊥$ BC (do BC $⊥$ (SOM)) nên OH $⊥$ (SBC).

Suy ra d(O, (SBC)) = OH.

Do ABCD là hình thoi tâm O nên O là trung điểm của AC, do đó

d(A, (SBC)) = 2 . d(O, (SBC)) = 2 . OH = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Suy ra OH = $\frac{a \sqrt{3}}{4}$ .

Vì ABCD là hình thoi tâm O nên O là trung điểm của AC, BD nên OB = $\frac{B D}{2}$ = a;

OC = $\frac{A C}{2}$ = a $\sqrt{3}$ .

Do ABCD là hình thoi nên AC $⊥$ BD.

Xét tam giác OBC vuông tại O, OM là đường cao: ta có $\frac{1}{O M^{2}} = \frac{1}{O B^{2}} + \frac{1}{O C^{2}}$

$= \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{3 a^{2}} = \frac{4}{3 a^{2}}$ $\Rightarrow O M = \frac{a \sqrt{3}}{2}$ .

Vì SO $⊥$ (ABCD) nên SO $⊥$ OM.

Xét tam giác SOM vuông tại O, OH là đường cao, ta có $\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{S O^{2}} + \frac{1}{O M^{2}}$

$\Leftrightarrow \frac{16}{3 a^{2}} = \frac{1}{S O^{2}} + \frac{4}{3 a^{2}}$ $\Leftrightarrow \frac{1}{S O^{2}} = \frac{16}{3 a^{2}} - \frac{4}{3 a^{2}} = \frac{4}{a^{2}}$ $\Rightarrow S O = \frac{a}{2}$ .

Vậy $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} \cdot S_{A B C D} \cdot S O$ $= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .AC.BD.SO = $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 a \sqrt{3} \cdot 2 a \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{3}$ .

Bài 7.38 trang 41 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA $⊥$ (ABC), SA = a và đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a, AC = a $\sqrt{3}$ . Kẻ AM vuông góc với SB tại M, AN vuông góc với SC tại N. Tính theo a thể tích khối chóp S.AMN.

Lời giải:

Hướng dẫn. Ta chứng minh được công thức tỉ số khoảng cách sau:

Cho hình chóp S.ABC. Trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A', B', C' khác với S.

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc (ABC), SA = a

Khi đó ta có: $\frac{V_{S . A^{'} B^{'} C^{'}}}{V_{S . A B C}} = \frac{S A^{'}}{S A} \cdot \frac{S B^{'}}{S B} \cdot \frac{S C^{'}}{S C}$ .

Áp dụng công thức trên với bài tập 7.38, ta có $\frac{V_{S . A M N}}{V_{S . A B C}} = \frac{S A}{S A} \cdot \frac{S M}{S B} \cdot \frac{S N}{S C} = \frac{S M}{S B} \cdot \frac{S N}{S C}$ .

Trình bày lời giải

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc (ABC), SA = a

Ta có $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} \cdot S_{A B C} \cdot S A$ $= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C \cdot S A$ $= \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot a \sqrt{3} \cdot a \cdot a = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}$ .

Vì SA $⊥$ (ABC) nên SA $⊥$ AB hay tam giác SAB vuông tại A mà SA = AB = a nên tam giác SAB vuông cân tại A.

Vì tam giác SAB vuông cân tại A, AM là đường cao nên AM đồng thời là trung tuyến, suy ra M là trung điểm SB. Do đó $\frac{S M}{S B} = \frac{1}{2}$ .

Vì SA $⊥$ (ABC) nên SA $⊥$ AC hay tam giác SAC vuông tại A

Vì tam giác SAC vuông tại A nên $S C = \sqrt{S A^{2} + A C^{2}} = \sqrt{a^{2} + 3 a^{2}} = 2 a$ .

Xét tam giác SAC vuông tại A, đường cao AN có $\frac{S N}{S C} = \frac{S N \cdot S C}{S C^{2}} = \frac{S A^{2}}{S C^{2}} = \frac{1}{4}$ .

Do đó $\frac{V_{S . A M N}}{V_{S . A B C}} = \frac{S M}{S B} \cdot \frac{S N}{S C} = \frac{1}{8}$ $\Rightarrow V_{S . A M N} = \frac{1}{8} \cdot V_{S . A B C}$ $\Rightarrow V_{S . A M N} = \frac{1}{8} \cdot \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{48}$ .

Vậy $V_{S . A M N} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{48}$ .

Bài 7.39 trang 41 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp S.ABC có SA $⊥$ (ABC) và $\hat{B A C} = 60 °$ , biết diện tích các tam giác ABC, SAB và SAC lần lượt là 3 $\sqrt{3}$ ; 9; 12. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Lời giải:

Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc (ABC) và góc BAC = 60 độ

Đặt SA = a, AB = b, AC = c.

Khi đó $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} \cdot S_{A B C} \cdot S A = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot b c \cdot \sin 60 ° \cdot a = \frac{a b c \sqrt{3}}{12}$ .