Với giải Bài 7.23 trang 34 SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức chi tiết trong Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 11 Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 7.23 trang 34 SBT Toán 11 Tập 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a.

a) Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (A'BD) và (ABCD).

b) Tính côsin của số đo góc nhị diện [A', BD, C'].

Lời giải:

a) Gọi O là giao điểm của AC và BD, suy ra O là trung điểm của AC, BD.

Vì ABCD là hình vuông nên AO $\perp$ BD.

Xét tam giác A'AB vuông tại A, nên A'B = $\sqrt{A\text{'}{A}^2+A{B}^2}=a\sqrt{2}$ .

Xét tam giác A'AD vuông tại A, nên A'D = $\sqrt{A\text{'}{A}^2+A{D}^2}=a\sqrt{2}$ .

Xét tam giác A'BD có A'D = A'B nên tam giác A'BD là tam giác cân mà A'O là trung tuyến nên A'O đồng thời là đường cao. Do đó A'O $\perp$ BD.

Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (A'BD) và (ABCD) bằng góc giữa đường thẳng AO và A'O mà (AO,A'O) = $\widehat{AOA\text{'}}$ .

Xét tam giác ADC vuông tại D, có AC = $\sqrt{A{D}^2+D{C}^2}=a\sqrt{2}$ .

Vì O là trung điểm của AC nên AO = $\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$;

Xét tam giác A'AO vuông tại A, có OA' = $\sqrt{AA{\text{'}}^2+O{A}^2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$ .

Xét tam giác AA'O vuông tại A, có cos$\widehat{AOA\text{'}}=\frac{AO}{A\text{'}O}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Vậy côsin của góc giữa hai mặt phẳng (A'BD) và (ABCD) bằng $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

b) Xét tam giác BCC' vuông tại C có: C'B = $\sqrt{B{C}^2+CC{\text{'}}^2}=a\sqrt{2}$.

Xét tam giác C'CD vuông tại C có: C'D = $\sqrt{D{C}^2+CC{\text{'}}^2}=a\sqrt{2}$.

Xét tam giác C'BD có C'B = C'D nên tam giác C'BD cân tại C' mà C'O là trung tuyến nên C'O đồng thời là đường cao hay C'O $\perp$ BD.

Vì A'O $\perp$ BD, C'O $\perp$ BD nên góc nhị diện [A', BD, C'] bằng $\widehat{A\text{'}OC\text{'}}$.

Ta có OA' = C'O = $\frac{a\sqrt{6}}{2}$; A'C' = a$\sqrt{2}$.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác A'OC' ta được:

cos$\widehat{A\text{'}OC\text{'}}=\frac{OA{\text{'}}^2+OC{\text{'}}^2-A\text{'}C{\text{'}}^2}{2.OA\text{'}.OC\text{'}}=\frac{1}{3}$.

Vậy côsin của số đo góc nhị diện [A', BD, C'] bằng $\frac{1}{3}$.