Với giải sách bài tập Toán 11 Bài 1: Phép tính lũy thừa sách Chân trời sáng tạo hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài 1: Phép tính lũy thừa

Giải SBT Toán 11 trang 7

Bài 1 trang 7 SBT Toán 11 Tập 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:

Lời giải:

Bài 2 trang 7 SBT Toán 11 Tập 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\sqrt[3]{0,001}$;

b) $\sqrt[5]{-32}$;

c) $\sqrt[4]{\frac{81}{16}}$;

d) $-\sqrt[6]{{100}^3}$;

e) $\sqrt[4]{{\left(\sqrt{3}-2\right)}^4}$;

g) $\sqrt[5]{{\left(2-\sqrt{5}\right)}^5}$.

Lời giải:

a) $\sqrt[3]{0,001}=\sqrt[3]{{\left(0,1\right)}^3}=0,1$.

b) $\sqrt[5]{-32}=\sqrt[5]{(-1).32}=\sqrt[5]{{\left(-1\right)}^5{.2}^5}$

= $\sqrt[5]{{\left(-1\right)}^5}.\sqrt[5]{2^5}$ = (-1).2 = -2.

c) $\sqrt[4]{\frac{81}{16}}=\sqrt[4]{\frac{3^4}{2^4}}=\sqrt[4]{{\left(\frac{3}{2}\right)}^4}=\frac{3}{2}$.

d) $-\sqrt[6]{{100}^3}=-\sqrt[6]{{\left({10}^2\right)}^3}=-\sqrt[6]{{10}^6}$ = -10.

e) $\sqrt[4]{{\left(\sqrt{3}-2\right)}^4}=\left|\sqrt{3}-2\right|=2-\sqrt{3}$.

g) $\sqrt[5]{{\left(2-\sqrt{5}\right)}^5}=2-\sqrt{5}$.

Giải SBT Toán 11 trang 8

Bài 3 trang 8 SBT Toán 11 Tập 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\sqrt[4]{125}.\sqrt[4]{5}$;

b) $\frac{\sqrt[4]{243}}{\sqrt[4]{3}}$;

c) $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{24}}$;

d) $\sqrt{\sqrt[3]{64}}$;

e) $\sqrt[4]{3\sqrt[3]{3}}$;

g) ${\left(-\sqrt[6]{4}\right)}^3$.

Lời giải:

a) $\sqrt[4]{125}.\sqrt[4]{5}=\sqrt[4]{125.5}=\sqrt[4]{5^3.5}=\sqrt[4]{5^4}=5$.

b) $\frac{\sqrt[4]{243}}{\sqrt[4]{3}}=\sqrt[4]{\frac{243}{3}}=\sqrt[4]{81}=\sqrt[4]{3^4}=3$.

c) $\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{24}}=\sqrt[3]{\frac{3}{24}}=\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\sqrt[3]{{\left(\frac{1}{2}\right)}^3}=\frac{1}{2}$.

d) $\sqrt{\sqrt[3]{64}}=\sqrt[6]{64}=\sqrt[6]{2^6}=2$.

e) $\sqrt[4]{3\sqrt[3]{3}}=\sqrt[4]{{\left(\sqrt[3]{3}\right)}^3.\sqrt[3]{3}}=\sqrt[4]{{\left(\sqrt[3]{3}\right)}^4}=\sqrt[3]{3}$;

g) ${\left(-\sqrt[6]{4}\right)}^3={(-1)}^3.{\left(\sqrt[6]{4}\right)}^3=-\sqrt[6]{4^3}$

= $-\sqrt[6]{{\left(2^2\right)}^3}=-\sqrt[6]{2^6}=-2$.

Bài 4 trang 8 SBT Toán 11 Tập 2: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $\sqrt[3]{135}-5\sqrt[3]{5}$;

b) $\sqrt[4]{\sqrt[3]{81}}+3\sqrt[3]{3}$;

c) $\sqrt[4]{\sqrt[5]{16}}+\sqrt[5]{64}+2\sqrt[5]{2}$;

d) ${\left(\sqrt[4]{5}\right)}^5-\sqrt{\sqrt[4]{25}}$.

Lời giải:

a) $\sqrt[3]{135}-5\sqrt[3]{5}=\sqrt[3]{3^3.5}-5\sqrt[3]{5}=\sqrt[3]{3^3}.\sqrt[3]{5}-5\sqrt[3]{5}$

= $3\sqrt[3]{5}-5\sqrt[3]{5}=-2\sqrt[3]{5}$.

b) $\sqrt[4]{\sqrt[3]{81}}+3\sqrt[3]{3}=\sqrt[4]{\sqrt[3]{3^4}}+3\sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{3}+3\sqrt[3]{3}=4\sqrt[3]{3}$.

c) $\sqrt[4]{\sqrt[5]{16}}+\sqrt[5]{64}+2\sqrt[5]{2}=\sqrt[4]{\sqrt[5]{2^4}}+\sqrt[5]{2^6}+2\sqrt[5]{2}$

= $\sqrt[5]{2}+2\sqrt[5]{2}+2\sqrt[5]{2}=5\sqrt[5]{2}$.

d) ${\left(\sqrt[4]{5}\right)}^5-\sqrt{\sqrt[4]{25}}={\left(\sqrt[4]{5}\right)}^4.\sqrt[4]{5}-\sqrt{\sqrt[4]{5^2}}$

= $5\sqrt[4]{5}-\sqrt[4]{5}=4\sqrt[4]{5}$.

Bài 5 trang 8 SBT Toán 11 Tập 2: Không sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $8^{-\frac{2}{3}}$;

b) ${32}^{-\frac{2}{5}}$;

c) 81^1,25;

d) ${1000}^{-\frac{5}{3}}$;

e) ${\left(\frac{16}{81}\right)}^{-\frac{1}{4}}$;

g) ${\left(\frac{8}{27}\right)}^{-\frac{2}{3}}$.

Lời giải:

a) $8^{-\frac{2}{3}}={\left(2^3\right)}^{-\frac{2}{3}}=2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}$.

b) ${32}^{-\frac{2}{5}}={\left(\frac{1}{32}\right)}^{\frac{2}{5}}=\frac{1}{\sqrt[5]{{32}^2}}=\frac{1}{\sqrt[5]{{\left(2^5\right)}^2}}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}$.

c) ${81}^{1,25}={81}^{\frac{5}{4}}=\sqrt[4]{{81}^5}=\sqrt[4]{{\left(3^4\right)}^5}=3^5=243$.

d) ${1000}^{-\frac{5}{3}}={\left(\frac{1}{1000}\right)}^{\frac{5}{3}}=\frac{1}{\sqrt[3]{{1000}^5}}=\frac{1}{\sqrt[3]{{\left({10}^3\right)}^5}}=\frac{1}{{10}^5}={10}^{-5}$.

e) ${\left(\frac{16}{81}\right)}^{-\frac{1}{4}}={\left(\frac{81}{16}\right)}^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{\frac{81}{16}}=\sqrt[4]{\frac{3^4}{2^4}}=\sqrt[4]{{\left(\frac{3}{2}\right)}^4}=\frac{3}{2}$.

g) ${\left(\frac{8}{27}\right)}^{-\frac{2}{3}}={\left(\frac{27}{8}\right)}^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{{\left(\frac{27}{8}\right)}^2}$

= $\sqrt[3]{{\left[{\left(\frac{3}{2}\right)}^3\right]}^2}={\left(\frac{3}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}$.

Bài 6 trang 8 SBT Toán 11 Tập 2: Viết mỗi biểu thức sau dưới dạng một lũy thừa (a > 0):

a) $\sqrt[4]{2^{-3}}$;

b) $\frac{1}{\sqrt[5]{2^3}}$;

c) ${\left(\sqrt[5]{3}\right)}^4$;

d) $\sqrt{a\sqrt[3]{a}}$;

e) $\sqrt[3]{a}.\sqrt[4]{a^3}:{\left(\sqrt[6]{a}\right)}^5$;

g) $a^{\frac{1}{3}}:a^{-\frac{3}{2}}.a^{-\frac{2}{3}}$.

Lời giải:

a) $\sqrt[4]{2^{-3}}=\sqrt[4]{{\left(\frac{1}{2}\right)}^3}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{3}{4}}=2^{-\frac{3}{4}}$.

b) $\frac{1}{\sqrt[5]{2^3}}=\frac{1}{2^{\frac{3}{5}}}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{3}{5}}=2^{-\frac{3}{5}}$.

c) ${\left(\sqrt[5]{3}\right)}^4=\sqrt[5]{3^4}=3^{\frac{4}{5}}$.

d) $\sqrt{a\sqrt[3]{a}}=\sqrt{{\left(\sqrt[3]{a}\right)}^3.\sqrt[3]{a}}=\sqrt{{\left(\sqrt[3]{a}\right)}^4}=\sqrt{\sqrt[3]{a^4}}=\sqrt[3]{a^2}=a^{\frac{2}{3}}$.

e) $\sqrt[3]{a}.\sqrt[4]{a^3}:{\left(\sqrt[6]{a}\right)}^5=a^{\frac{1}{3}}.a^{\frac{3}{4}}:a^{\frac{5}{6}}=a^{\frac{1}{3}+\frac{3}{4}-\frac{5}{6}}=a^{\frac{1}{4}}$.

g) $a^{\frac{1}{3}}:a^{-\frac{3}{2}}.a^{-\frac{2}{3}}=a^{\frac{1}{3}-\left(-\frac{3}{2}\right)+\left(-\frac{2}{3}\right)}=a^{\frac{1}{3}+\frac{3}{2}-\frac{2}{3}}=a^{\frac{7}{6}}$.

Bài 7 trang 8 SBT Toán 11 Tập 2: Sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau (làm tròn đến chữ số thập phân thứ tư):

a) ${15}^{\frac{2}{5}}$;

b) ${20}^{-\frac{1}{2}}$;

c) 5,7^2,4;

d) 0,45^{– 2,38}.

Lời giải:

a) Nhập máy tính:

Ta được kết quả như sau:

Làm tròn kết quả đến số thập phân thứ tư là 2,9542.

b) Nhập máy tính:

Ta được kết quả như sau:

Làm tròn kết quả đến số thập phân thứ tư là 0,2236.

c) Nhập máy tính:

Ta được kết quả như sau:

Làm tròn kết quả đến số thập phân thứ tư là 65,1778.

d) Nhập máy tính:

Ta được kết quả như sau:

Làm tròn kết quả đến số thập phân thứ tư là 6,6889.

Giải SBT Toán 11 trang 9

Bài 8 trang 9 SBT Toán 11 Tập 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $2^{\sqrt{3}+1}:2^{\sqrt{3}-1}$;

b) ${\left(3^{\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{8}}$;

c) ${\left[{\left(\sqrt{7}\right)}^{\sqrt{2}}\right]}^{\sqrt{8}}$;

d) $a^{2\sqrt{5}+1}:a^{2\sqrt{5}-2}$;

e) $3^{3+\sqrt{2}}.3^{-1+\sqrt{2}}.9^{1-\sqrt{2}}$;

g) ${\left(a^{-\sqrt{3}}{b}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}\right)}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}$.

Lời giải:

a) $2^{\sqrt{3}+1}:2^{\sqrt{3}-1}=2^{\sqrt{3}+1-(\sqrt{3}-1)}=2^2=4$.

b) ${\left(3^{\sqrt{2}}\right)}^{\sqrt{8}}=3^{\sqrt{2}.\sqrt{8}}=3^{\sqrt{2.8}}=3^{\sqrt{16}}=3^4=81$.

c) ${\left[{\left(\sqrt{7}\right)}^{\sqrt{2}}\right]}^{\sqrt{8}}={\left(\sqrt{7}\right)}^{\sqrt{2}.\sqrt{8}}={\left(\sqrt{7}\right)}^{\sqrt{2.8}}$

= ${\left(\sqrt{7}\right)}^{\sqrt{16}}={\left(\sqrt{7}\right)}^4=7^2=49$.

d) $a^{2\sqrt{5}+1}:a^{2\sqrt{5}-2}=a^{2\sqrt{5}+1-\left(2\sqrt{5}-2\right)}=a^3$.

e) $3^{3+\sqrt{2}}.3^{-1+\sqrt{2}}.9^{1-\sqrt{2}}=3^{3+\sqrt{2}}.3^{-1+\sqrt{2}}.{\left(3^2\right)}^{1-\sqrt{2}}$

= $3^{3+\sqrt{2}+\left(-1+\sqrt{2}\right)+2.\left(1-\sqrt{2}\right)}$ = 3⁴ = 81.

g) ${\left(a^{-\sqrt{3}}{b}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}\right)}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}={\left(a^{-\sqrt{3}}\right)}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}.{\left(b^{\frac{1}{\sqrt{3}}}\right)}^{\frac{1}{\sqrt{3}}}$

= $a^{-\sqrt{3}.\frac{1}{\sqrt{3}}}.b^{\frac{1}{\sqrt{3}}.\frac{1}{\sqrt{3}}}=a^{-1}.b^{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt[3]{b}}{a}$.

Bài 9 trang 9 SBT Toán 11 Tập 2: Cho a > 0, b > 0. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\left(a^{\frac{1}{2}}+b^{-\frac{1}{2}}\right)\left(a^{\frac{1}{2}}-b^{-\frac{1}{2}}\right)$;

b) $\left(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}}\right)$.

Lời giải:

a) $\left(a^{\frac{1}{2}}+b^{-\frac{1}{2}}\right)\left(a^{\frac{1}{2}}-b^{-\frac{1}{2}}\right)={\left(a^{\frac{1}{2}}\right)}^2-{\left(b^{-\frac{1}{2}}\right)}^2$

= $a^{\frac{1}{2}.2}-b^{-\frac{1}{2}.2}$ = a - b^-1 = $a-\frac{1}{b}$;

b) $\left(a^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{1}{3}}\right)\left(a^{\frac{2}{3}}-a^{\frac{1}{3}}{b}^{\frac{1}{3}}+b^{\frac{2}{3}}\right)={\left(a^{\frac{1}{3}}\right)}^3+{\left(b^{\frac{1}{3}}\right)}^3$

= $a^{\frac{1}{3}\cdot 3}+b^{\frac{1}{3}\cdot 3}$ = a + b.

Bài 10 trang 9 SBT Toán 11 Tập 2: Biết rằng 5^2x = 3. Tính giá trị của biểu thức $\frac{5^{3x}+5^{-3x}}{5^x+5^{-x}}$.

Lời giải:

$\frac{5^{3x}+5^{-3x}}{5^x+5^{-x}}=\frac{\left(5^x+5^{-x}\right)\left(5^{2x}-5^x{5}^{-x}+5^{-2x}\right)}{5^x+5^{-x}}$

= 5^2x - 1 + 5^-2x = 3 - 1 + $\frac{1}{3}$ = $\frac{7}{3}$.

Bài 11 trang 9 SBT Toán 11 Tập 2: Biết rằng 3^α + 3^−α = 3. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $3^{\frac{\alpha }{2}}+3^{\frac{-\alpha }{2}}$;

b) 3^2α + 3^−2α.

Lời giải:

a) ${\left(3^{\frac{\alpha }{2}}+3^{\frac{-\alpha }{2}}\right)}^2$ = $3^{\alpha }+2.3^{\frac{\alpha }{2}}.3^{-\frac{\alpha }{2}}+3^{-\alpha }$

= 3^α + 2 + 3^–α = 3 + 2 = 5

Suy ra $3^{\frac{\alpha }{2}}+3^{\frac{-\alpha }{2}}=\sqrt{5}$ (do $3^{\frac{\alpha }{2}}+3^{\frac{-\alpha }{2}}>0$).

b) 3^2α + 3^−2α = (3^α + 3^−α)² - 2.3^α.3^−α

= 3² - 2 = 7.

Bài 12 trang 9 SBT Toán 11 Tập 2: Biết rằng 4^x = 25^y = 10. Tính giá trị của biểu thức $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$.

Lời giải:

Ta có: 4^x = 25^y = 10 nên 4 = ${10}^{\frac{1}{x}}$; 25 = ${10}^{\frac{1}{y}}$.

Từ đó, ${10}^{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}={10}^{\frac{1}{x}}.{10}^{\frac{1}{y}}$ = 4.25 = 100 = 10².

Do đó $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ = 2.

Bài 13 trang 9 SBT Toán 11 Tập 2: Cường độ ánh sáng tại độ sâu h (m) dưới một mặt hồ được tính bằng công thức $I_h=I_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{h}{4}}$, trong đó I­₀ là cường độ ánh sáng tại mặt hồ đó.

a) Cường độ ánh sáng tại độ sâu 1 m bằng bao nhiêu phần trăm so với cường độ ánh sáng tại mặt hồ?

b) Cường độ ánh sáng tại độ sâu 3 m gấp bao nhiêu lần cường độ ánh sáng tại độ sâu 6 m?

Lời giải:

a) Gọi cường độ ánh sáng tại độ sâu 1 m là I₁. Cường độ ánh sáng tại độ sâu 1 m dưới một mặt hồ được tính bằng công thức:

$\frac{I_1}{I_0}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{1}{4}}\approx 0,84$ = 84%.

Vậy cường độ ánh sáng tại độ sâu 1 m bằng 84% so với cường độ ánh sáng tại mặt hồ.

b) Tỉ số cường độ ánh sáng tại độ sâu 3 m so với cường độ ánh sáng tại độ sâu 6 m là:

$\frac{I_3}{I_6}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{3}{4}-\frac{6}{4}}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{-\frac{3}{4}}\approx 1,68$ (lần)

Vậycường độ ánh sáng tại độ sâu 3 m gấp khoảng 1,68 lần cường độ ánh sáng tại độ sâu 6 m.

Xem thêm các bài giải SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Phép tính lũy thừa

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

- Lũy thừa với số mũ nguyên dương:

$a^n=\underset{nthừasố}{\underbrace{a.a.a...a}}\left(a\in \mathbb{R},n\in \mathbb{N}\ast \right)$.

- Lũy thừa với số mũ nguyên âm, số mũ 0:

$a^{-n}=\frac{1}{a^n};a^0=1\left(n\in \mathbb{N}\ast ,a\in \mathbb{R},a\ne 0\right)$.

2. Căn bậc n

Cho số thực b và số nguyên $n\ge 2$.

- Số a là căn bậc n của số b nếu $a^n=b$.

- Sự tồn tại căn bậc n:

+ Nếu n lẻ thì có duy nhất một căn bậc n của b, kí hiệu $\sqrt[n]{b}$.

+ Nếu n chẵn thì:

• b < 0: không tồn tại căn bậc n của b.
• b = 0: có một căn bậc n của b là 0.
• b > 0: có hai căn bậc n của b đối với nhau, kí hiệu giá trị dương là $\sqrt[n]{b}$ và giá trị âm là $-\sqrt[n]{b}$.

+ Các tính chất:

• $\sqrt[n]{a}.\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}$
• $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$
• ${\left(\sqrt[n]{a}\right)}^m=\sqrt[n]{a^m}$
•  
• $\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$

3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho số thực dương a và số hữu tỉ $r=\frac{m}{n}$, trong đó $m,n\in \mathbb{Z},n>0$. Ta có:

$a^r=a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$

4. Lũy thừa với số mũ vô tỉ

Giả sử a là một số dương, $\alpha$ là một số vô tỉ và $\left(r_n\right)$ là một dãy số hữu tỉ sao cho $lim{r}_n=\alpha$. Khi đó $a^{\alpha }=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}=a^{r_n}$.

5. Tính chất của phép tính lũy thừa

Cho a, b là những số thực dương; $\alpha ;\beta$ là những số thực bất kì. Khi đó:

$\begin{array}{l}{a}^{\alpha }.a^{\beta }=a^{\alpha +\beta };\\ \frac{a^{\alpha }}{a^{\beta }}=a^{\alpha -\beta };\\ {\left(a^{\alpha }\right)}^{\beta }=a^{\alpha \beta };\\ {\left(ab\right)}^{\alpha }=a^{\alpha }.b^{\alpha };\\ {\left(\frac{a}{b}\right)}^{\alpha }=\frac{a^{\alpha }}{b^{\alpha }}.\end{array}$