Với lời giải Toán 11 trang 79 Tập 1 chi tiết trong Bài 2: Giới hạn của hàm số sách Chân trời sáng tạo giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số

Bài 1 trang 79 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to -2}{\lim }\left(x^2-7x+4\right)$;

b) $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x-3}{x^2-9}$;

c) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{3-\sqrt{x+8}}{x-1}$.

Lời giải:

a)

 $$\begin{gathered} \underset{x\to -2}{\lim }\left(x^2-7x+4\right)=\underset{x\to -2}{\lim }{x}^2-7.\underset{x\to -2}{\lim }x+\underset{x\to -2}{\lim }4 \\ =4-7.\left(-2\right)+4=22 \end{gathered}$$.

b) $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x-3}{x^2-9}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x-3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{1}{x+3}=\frac{1}{6}$

c)

$$\begin{gathered} \underset{x\to 1}{\lim }\frac{3-\sqrt{x+8}}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\left(3-\sqrt{x+8}\right)\left(3-+\sqrt{x+8}\right)}{\left(x-1\right)\left(3-\sqrt{x+8}\right)} \\ =\underset{x\to 1}{\lim }\frac{9-x-8}{\left(x-1\right)\left(3+\sqrt{x+8}\right)} \end{gathered}$$

$=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{-1}{3+\sqrt{x+8}}=-\frac{1}{6}$.

Bài 2 trang 79 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số .

Tìm các giới hạn sau: $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right);\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right);\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$ (nếu có).

Lời giải:

+) Với dãy số (x_n) bất kì, x_n ≤ 1 và x_n → 1. Khi đó f(x_n) = $-x_n^2$ nên limf(x_n) = $\lim \left(-x_n^2\right)=-1$.

Vì vậy $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-1$.

+) Với dãy số (x_n) bất kì, x_n > 1 và x_n → 1. Khi đó f(x_n) = x_n nên limf(x_n) = lim(x_n) = 1.

Vì vậy $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=1$.

+) Vì $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ nên không tồn tại $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$.

Bài 3 trang 79 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4x+3}{2x}$;

b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2}{3x+1}$;

c)$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}$.

Lời giải:

a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4x+3}{2x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4+\frac{3}{x}}{2}=2$.

b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2}{3x+1}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\frac{2}{x}}{3+\frac{1}{x}}=0$.

c) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+1}}{x+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{1+\frac{1}{x}}=1$.

Bài 4 trang 79 Toán 11 Tập 1: Tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{1}{x+1}$;

b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(1-x^2\right)$;

c) $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{x}{3-x}$.

Lời giải:

a) $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{1}{x+1}=\underset{x\to -1^{+}}{\lim }\frac{\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}=0$;

b) Ta viết: $1-x^2=x^2.\left(\frac{1}{x^2}-1\right)$

Ta có: $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^2=+\infty ;\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(\frac{1}{x^2}-1\right)=-1$

Do đó: $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(1-x^2\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^2\left(\frac{1}{x^2}-1\right)=-\infty$.

c) Ta viết: $\frac{x}{3-x}=x.\frac{1}{3-x}$

Ta có: $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }x=3;\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{1}{3-x}=+\infty$

Do đó: $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{x}{3-x}=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\left(x.\frac{1}{3-x}\right)=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }x.\underset{x\to 3^{+}}{\lim }\frac{1}{3-x}=+\infty$.

Bài 5 trang 79 Toán 11 Tập 1: Trong hồ có chứa 6 000 lít nước ngọt. Người ta bơm nước biển có nồng độ muối là 30 gam/lít vào hồ với tốc độ 15 lít/phút.

a) Chứng tỏ rằng nồng độ muối của nước trong hồ sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm là $C\left(t\right)=\frac{30t}{400+t}$ (gam/lít).

b) Nồng độ muối như thế nào nếu t → +∞.

Lời giải:

a) Sau t phút số lít nước biển bơm vào là: 15t (lít).

Khi đó số gam muối trong 15t lít nước biển là: 30.15t (gam).

Tổng số lít nước trong hồ là: 6000 + 15t (lít).

Nồng độ muối của nước trong hồ sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm là: $C\left(t\right)=\frac{30.15t}{6000+15t}=\frac{30t}{400+t}$ (gam/lít).

b) Khi t → +∞ thì $\underset{t\to +\infty }{\lim }C\left(t\right)=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{30t}{400+t}=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{30}{\frac{400}{t}+1}=30$.

Vậy nồng độ muối trong hồ gần đến 30gam/lít khi t → +∞.

Bài 6 trang 79 Toán 11 Tập 1: Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f > 0 không đổi. Gọi d và d’ lần lượt là khoảng cách từ vật thật và ảnh của nó tới quang tâm O của thấu kính (Hình 5). Ta có công thức $\frac{1}{d}+\frac{1}{d\text{'}}=\frac{1}{f}$ hay $d\text{'}=\frac{df}{d-f}$.

Xét hàm số $g\left(d\right)=\frac{df}{d-f}$. Tìm các giới hạn sau đây và giải thích ý nghĩa.

a) $\underset{d\to f^{+}}{\lim }g\left(d\right)$;

b) $\underset{d\to +\infty }{\lim }g\left(d\right)$.

Lời giải:

a) Ta có: $\underset{d\to f^{+}}{\lim }g\left(d\right)=\underset{d\to f^{+}}{\lim }\frac{df}{d-f}=\underset{d\to f^{+}}{\lim }df.\underset{d\to f^{+}}{\lim }\frac{1}{d-f}=+\infty$.

Như vậy khi khoảng cách của vật đến quang tâm O gần bằng tiêu cự của thấu kính thì khoảng cách từ ảnh đến quang tâm O của thấu kính càng lớn.

b) Ta có: $\underset{d\to +\infty }{\lim }g\left(d\right)=\underset{d\to +\infty }{\lim }\frac{df}{d-f}=\underset{d\to +\infty }{\lim }\frac{f}{1-\frac{f}{d}}=f$.

Như vậy khi khoảng cách của vật đến quang tâm O càng lớn thì khoảng cách từ ảnh đến quang tâm O của thấu kính càng gần tiêu cự.