Sách bài tập Toán 8 Bài 3 (Cánh diều): Hình thang cân

Admin Vietjack Ngày: 23-09-2024 Lớp 8

2.6 K

Với giải sách bài tập Toán 8 Bài 3: Hình thang cân sách Cánh diều hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 8 Bài 3: Hình thang cân

Giải SBT Toán 8 trang 92

Bài 11 trang 92 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tứ giác $A B C D$ có $\hat{C} = \hat{D}$ và $A D = B C$ . Chứng minh tứ giác $A B C D$ là hình thang cân.

Lời giải:

Sách bài tập Toán 8 Bài 3 (Cánh diều): Hình thang cân (ảnh 1)

Gọi $I$ là giao điểm của $A D$ và $B C$

Do $\hat{C} = \hat{D}$ nên tam giác $I C D$ cân tại $I$ . Suy ra $I D = I C$

Mà $A D = B C$ , suy ra $I A = I B$ . Do đó, tam giác $I A B$ cân tại $I$ .

Vì hai tam giác $I A B$ và $I C D$ đều cân tại $I$ nên

$\hat{I A B} = \hat{D}$ (cùng bằng $\frac{180^{\circ} - \hat{I}}{2}$ )

Mà $\hat{I A B}$ và $\hat{D}$ nằm ở vị trí đồng vị, suy ra $A B / / C D$

Tứ giác $A B C D$ có $A B / / C D$ và $\hat{C} = \hat{D}$ nên $A B C D$ là hình thang cân.

Bài 12 trang 92 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình thang cân $A B C D$ có $A B / / C D, A B < C D$ , hai đường chéo $A C$ và $B D$ cắt nhau tại $P$ , hai cạnh bên $A D$ và $B C$ kéo dài cắt nhau tại $Q$ . Chứng minh $P Q$ là đường trung trực của hai đáy hình thang cân $A B C D$ .

Lời giải:

Sách bài tập Toán 8 Bài 3 (Cánh diều): Hình thang cân (ảnh 2)

$Δ A C D = Δ B D C$ (c.g.c). Suy ra $\hat{P C D} = \hat{P D C}$

Do đó, tam giác $P C D$ cân tại $P$ . Suy ra $P C = P D$

Mà $A C = B D$ , suy ra $P A = P B$

Do $A B / / C D$ nên $\hat{Q A B} = \hat{A D C}; \hat{Q B A} = \hat{B C D}$ (các cặp góc đồng vị)

Mặt khác, $\hat{A D C} = \hat{B C D}$ nên $\hat{Q A B} = \hat{Q B A}$

Do đó, tam giác $Q A B$ cân tại $Q$ . Suy ra $Q A = Q B$

Mà $A D = B C$ , suy ra $Q D = Q C$

Ta có: $P A = P B, P C = P D$ và $Q A = Q B, Q C = Q D$ nên $P Q$ là đường trung trực của cả hai đoạn thẳng $A B$ và $C D$ .

Bài 13 trang 92 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hình thang cân $A B C D$ có $A B / / C D, A B = 3 m c, C D = 6 c m, A D = 2.5 c m$ . Gọi $M, N$ lần lượt là hình chiếu của $A, B$ trên đường thẳng $C D$ . Tính độ dài các đoạn thẳng $D M, D N, A M$ .

Lời giải:

Sách bài tập Toán 8 Bài 3 (Cánh diều): Hình thang cân (ảnh 3)

$Δ A D M = Δ B C N$ (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra $A M = B N; D M = C N$

$Δ A B N = Δ N M A$ (cạnh huyền – góc nhọn)

Suy ra $A B = N M$ . Do đó, $N M = 3 c m$

Ta có: $D M + N M + C N = C D$ và $D M = C N$ nên $2 D M + 3 = 6$

Suy ra $D M = 1, 5$

Mà $D N = D M + N M$ , suy ra $D N = 4, 5 c m$

Trong tam giác $A D M$ vuông tại $M$ , ta có: $A D^{2} = A M^{2} + D M^{2}$

Suy ra $A M^{2} = A D^{2} - D M^{2} = 4$ . Vậy $A M = \sqrt{4} = 2 (c m)$ .

Bài 14 trang 92 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác $A B C$ cân tại $A$ . Lấy điểm $M, N$ lần lượt trên cạnh $A B, A C$ sao cho $A M = A N$ .

a) Chứng minh tứ giác $B M N C$ là hình thang cân

b) Xác định vị trí các điểm $M, N$ để $B M = M N = N C$ .

Lời giải:

Sách bài tập Toán 8 Bài 3 (Cánh diều): Hình thang cân (ảnh 4)

a) Vì hai tam giác $A M N$ và $A B C$ đều cân tại $A$ nên

$\hat{A M N} = \hat{A B C}$ (cùng bằng $\frac{180^{\circ} - \hat{A}}{2}$ )

Mà $\hat{A M N}$ và $\hat{A B C}$ nằm ở vị trí đồng vị, suy ra $M N / / B C$ .

Tứ giác $B M N C$ có $M N / / B C$ và $\hat{M B C} = \hat{N C B}$ nên $B M N C$ là hình thang cân.

b) Do $B M = M N$ nên tam giác $M B N$ cân tại $M$ . Suy ra $\hat{M N B} = \hat{M B N}$ . Mà $\hat{M N B} = \hat{N B C}$ (hai góc so le trong), suy ra $\hat{M B N} = \hat{N B C}$ . Do đó, $B N$ là tia phân giác của góc $A B C$ .

Chứng minh tương tự ta được $C M$ là tia phân giác của góc $A C B$ .

Dễ thấy, nếu các điểm $M, N$ được xác định sao cho $B M, C N$ lần lượt là tia phân giác của góc $A B C, A C B$ thì $B N = M N = C N$ .

Vậy $M$ là giao điểm của $A B$ và tia phân giác của góc $A C B, N$ là giao điểm của $A C$ và tia phân giác của góc $A B C$ thì $B N = M N = C N$ .

Bài 15 trang 92 SBT Toán 8 Tập 1: Cho tam giác đều $A B C$ có độ dài cạnh là 6 cm. trên tia $B A, C A$ lần lượt lấy điểm $D, E$ sao cho $A D = A E = 2 c m$ (Hình 12)

a) Tứ giác $B C D E$ là hình gì? Vì sao?

b) Tính độ dài đoạn thẳng $C D$ (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của centimet).

Sách bài tập Toán 8 Bài 3 (Cánh diều): Hình thang cân (ảnh 5)

Lời giải:

Sách bài tập Toán 8 Bài 3 (Cánh diều): Hình thang cân (ảnh 6)

a) Tam giác đều $A B C$ có $A B = B C = A C = 6 c m$ ; $\hat{B A C} = \hat{C B A} = \hat{A C B} = 60^{\circ}$

Ta có: $\hat{D A E} = \hat{B A C}$ (hai góc đối đỉnh) nên $\hat{D A E} = 60^{\circ}$

Tam giác $A D E$ có $A D = A E$ và $\hat{D A E} = 60^{\circ}$ nên $A D E$ là tam giác đều. Suy ra $\hat{A D E} = 60^{\circ}$ . Do đó $\hat{C B A} = \hat{A D E}$ (vì cùng bằng $60^{\circ}$ ). Mà $\hat{C B A}$ và $\hat{A D E}$ nằm ở vị trí so le trong, suy ra $B C / / D E$ .