Giải SGK Toán 8 Bài 3 Cánh diều: Hình thang cân (trang 101–104)

Tóm tắt kiến thức trước khi giải

• Định nghĩa: hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau.
• Tính chất: trong hình thang cân, hai cạnh bên bằng nhau và hai đường chéo bằng nhau.
• Dấu hiệu nhận biết: (1) hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau; (2) hình thang có hai đường chéo bằng nhau.

Mẹo nhớ: chữ “cân” nhắc ta đến tam giác cân. Hình thang cân thực chất là một tam giác cân bị cắt đi phần chóp bằng một đường song song với đáy. Vì vậy mọi tính chất “bằng nhau” đều có gốc từ tam giác cân. Lời giải Hoạt động 3 dưới đây cho thấy rõ điều đó.

Muốn xem phần lý thuyết đầy đủ hơn, bạn đọc có thể mở bài lý thuyết tương ứng: Lý thuyết Hình thang cân (Cánh diều).

Giải Toán 8 trang 101 Tập 1

Khởi động trang 101

Câu hỏi đặt ra: hình thang cân có tính chất gì và nhận biết bằng dấu hiệu nào? Câu trả lời chính là nội dung toàn bài:

• Tính chất: hai đáy song song, hai cạnh bên bằng nhau, hai đường chéo bằng nhau.
• Dấu hiệu nhận biết: hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau, hoặc hình thang có hai đường chéo bằng nhau.

Chi tiết từng bước xem tại Khởi động trang 101.

Hoạt động 1 trang 101

Quan sát Hình 22, hai cạnh AB và CD của tứ giác ABCD song song với nhau. Vậy ABCD là một hình thang với hai đáy AB và CD. Lời giải đầy đủ: Hoạt động 1.

Hoạt động 2 trang 101

Ở Hình 23, hai góc C và D cùng kề đáy CD và có số đo bằng nhau (cùng được đánh dấu giống nhau trên hình). Hình thang có tính chất này chính là hình thang cân. Xem thêm: Hoạt động 2.

Từ hai hoạt động trên, ta có định nghĩa: hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. Tổng quát tài liệu cho trang 101: Giải Toán 8 trang 101 Tập 1.

Giải Toán 8 trang 102 Tập 1

Hoạt động 3 trang 102: khám phá tính chất

Đề: cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD), E là giao điểm của AD và BC.

a) So sánh các cặp góc.

• ABCD là hình thang cân nên góc ADC = góc BCD, tức là góc EDC = góc ECD (vì E nằm trên tia DA và tia CB).
• Cũng do hình thang cân, góc DAB = góc CBA. Mà góc EAB bù với góc DAB, góc EBA bù với góc CBA. Vậy góc EAB = 180° − góc DAB = 180° − góc CBA = góc EBA.

b) So sánh các đoạn thẳng.

• Tam giác EAB có hai góc ở đáy bằng nhau nên cân tại E, suy ra EA = EB.
• Tam giác EDC có góc EDC = góc ECD nên cân tại E, suy ra ED = EC.
• Trừ vế: AD = ED − EA và BC = EC − EB, mà ED = EC, EA = EB nên AD = BC.

c) So sánh hai tam giác ADC và BCD. Hai tam giác có AD = BC, góc ADC = góc BCD, cạnh DC chung nên ΔADC = ΔBCD (c.g.c). Suy ra AC = BD.

Kết luận: hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau và hai đường chéo bằng nhau. Xem lời giải gốc theo từng câu tại Hoạt động 3.

Luyện tập 1 trang 102

Đề: cho hình thang cân ABCD có AB // CD. Chứng minh góc ADB = góc BCA.

Giải: vì ABCD là hình thang cân nên AD = BC và AC = BD (tính chất vừa chứng minh). Xét ΔADB và ΔBCA:

• AB là cạnh chung;
• AD = BC;
• BD = AC.

Do đó ΔADB = ΔBCA (c.c.c), suy ra góc ADB = góc BCA (hai góc tương ứng). Lưu ý các đỉnh phải viết đúng thứ tự tương ứng: A↔B, D↔C, B↔A. Xem thêm: Luyện tập 1 và Giải Toán 8 trang 102 Tập 1.

Giải Toán 8 trang 102–103 Tập 1

Hoạt động 4: khám phá dấu hiệu nhận biết

Đề: hình thang ABCD (AB // CD, AB < CD) có AC = BD. Kẻ BE // AC (E thuộc đường thẳng CD).

a) Vì AB // CE nên góc ABC = góc ECB (so le trong). Vì BE // AC nên góc ACB = góc EBC (so le trong). Hai tam giác ABC và ECB có BC chung nên ΔABC = ΔECB (g.c.g).

b) Từ hai tam giác bằng nhau suy ra AC = EB. Mà AC = BD nên BD = BE, tam giác BDE cân tại B và góc BDE = góc BED. Do BE // AC nên góc ACD = góc BED (đồng vị).

c) Vậy góc BDE = góc ACD. Xét ΔACD và ΔBDC: DC chung, góc ACD = góc BDC, AC = BD, nên ΔACD = ΔBDC (c.g.c). Suy ra góc ADC = góc BCD.

d) Hình thang ABCD có hai góc ADC và BCD kề đáy DC bằng nhau nên ABCD là hình thang cân.

Đây là cơ sở của dấu hiệu “hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân”. Lời giải gốc: Hoạt động 4.

Giải Toán 8 trang 103 Tập 1

Luyện tập 2 trang 103: ô cửa sổ mở rộng

Ô cửa hình chữ nhật dài 120 cm, rộng 80 cm. Mở rộng bằng cách kéo dài cạnh dưới về hai bên, mỗi bên 20 cm.

• Cạnh trên vẫn dài 120 cm, cạnh dưới mới dài 120 + 20 + 20 = 160 cm, hai cạnh này song song nên hình mới là hình thang.
• Hai cạnh bên đối xứng nhau qua trục của ô cửa, nên hai góc kề đáy dưới bằng nhau. Vậy sau khi mở rộng, ô cửa có dạng hình thang cân.
• Chiều cao vẫn là 80 cm. Diện tích: (120 + 160) · 80 : 2 = 11 200 (cm²).

Đáp số: hình thang cân, diện tích 11 200 cm². Tham khảo: Luyện tập 2.

Bài 1 trang 103

Đề: hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD); M, N là trung điểm của AB, CD; T là giao điểm của AD và BC. Ta chứng minh các kết quả chính của bài: T, M, N thẳng hàng và MN vuông góc với hai đáy.

1. Theo Hoạt động 3, tam giác TAB cân tại T và tam giác TDC cân tại T.
2. Trong tam giác cân TAB, TM là trung tuyến nên cũng là đường cao: TM ⊥ AB. Tương tự TN ⊥ CD.
3. Vì AB // CD nên TM ⊥ CD. Qua T chỉ có một đường thẳng vuông góc với CD, nên TM và TN trùng nhau, tức T, M, N thẳng hàng.
4. Do đó MN ⊥ AB, MN ⊥ CD. Vì MA = MB và NC = ND nên đường thẳng MN là đường trung trực chung của hai đáy. Đây chính là trục đối xứng của hình thang cân.

Xem thêm: Bài 1 trang 103, Giải Toán 8 trang 103 Tập 1.

Giải Toán 8 trang 104 Tập 1

Bài 2 trang 104: ghép ba tam giác đều

Ba tam giác đều cạnh a được xếp cạnh nhau, hai tam giác ở hai đầu có đỉnh ở đáy dưới, tam giác giữa “ngược” lại. Gọi D, M, C là ba điểm thẳng hàng ở dưới (DM = MC = a), A, B là hai đỉnh ở trên (AB = a).

• Tam giác ABM đều nên góc ABM = 60°. Tam giác BMC đều nên góc BMC = 60°. Hai góc này so le trong và bằng nhau nên AB // DC: ABCD là hình thang.
• Góc D = 60° (tam giác ADM đều) và góc C = 60° (tam giác BMC đều). Hai góc kề đáy DC bằng nhau nên ABCD là hình thang cân.
• Chu vi: AB + BC + CD + DA = a + a + 2a + a = 5a.

Xem thêm: Bài 2 trang 104.

Bài 3 trang 104

Đề: hình chữ nhật ABCD, trên cạnh AB lấy M, N sao cho AM = NB < AB/2. Chứng minh MNCD là hình thang cân.

1. M, N nằm trên AB nên MN // CD. Vậy MNCD là hình thang đáy MN, CD.
2. Hai tam giác vuông ADM và BCN có AD = BC, AM = BN, góc A = góc B = 90° nên ΔADM = ΔBCN (c.g.c). Suy ra DM = CN và góc AMD = góc BNC.
3. Hai góc DMN và CNM lần lượt bù với góc AMD và góc BNC (vì A, M, N, B thẳng hàng theo thứ tự đó). Do góc AMD = góc BNC nên góc DMN = góc CNM.

Hình thang MNCD có hai góc kề đáy MN bằng nhau, nên là hình thang cân. (Cách khác: hình thang có DM = CN chưa đủ kết luận, vì hình bình hành cũng có hai cạnh đối bằng nhau; nên ta dùng cặp góc để chắc chắn.) Tham khảo: Bài 3 trang 104.

Bài 4 trang 104

Đề: tam giác ABC cân tại A, hai đường phân giác BE (E thuộc AC) và CK (K thuộc AB). Chứng minh BKEC là hình thang cân.

1. Vì AB = AC nên góc ABC = góc ACB. Hai phân giác chia đôi hai góc bằng nhau nên góc ABE = góc ACK.
2. Xét ΔABE và ΔACK: góc A chung, AB = AC, góc ABE = góc ACK nên ΔABE = ΔACK (g.c.g). Suy ra AE = AK.
3. Tam giác AKE cân tại A nên góc AKE = (180° − góc A) : 2. Tam giác ABC cân tại A nên góc ABC = (180° − góc A) : 2. Vậy góc AKE = góc ABC; hai góc ở vị trí đồng vị nên KE // BC.
4. BKEC là hình thang (KE // BC) có hai góc kề đáy BC là góc KBC = góc ABC và góc ECB = góc ACB, bằng nhau. Vậy BKEC là hình thang cân.

Xem thêm: Bài 4 trang 104.

Bài 5 trang 104: mặt cắt con mương

Mặt cắt đứng phần chứa nước của con mương là hình thang cân. Bài này yêu cầu tính toán dựa trên các kích thước ghi ở Hình 33b, nên bạn cần đọc số liệu từ hình trong sách. Phương pháp chung:

1. Xác định hai đáy và chiều cao của hình thang cân. Nếu chỉ cho cạnh bên và đáy, hạ hai đường cao từ hai đỉnh của đáy nhỏ xuống đáy lớn; do hai cạnh bên bằng nhau và hai góc kề đáy bằng nhau, hai đoạn chân đường cao ở hai đầu bằng nhau.
2. Diện tích mặt cắt S = (đáy lớn + đáy nhỏ) · chiều cao : 2.
3. Thể tích nước (nếu hỏi) = S · chiều dài đoạn mương.

Ví dụ tự đặt (không phải số liệu sách): mặt cắt có đáy nhỏ 1,2 m, đáy lớn 2 m, cao 0,8 m. Khi đó S = (1,2 + 2) · 0,8 : 2 = 1,28 m². Mỗi đoạn chân đường cao ở hai đầu dài (2 − 1,2) : 2 = 0,4 m.

Đối chiếu số liệu thật tại Bài 5 trang 104 và Giải Toán 8 trang 104 Tập 1.

Lỗi sai thường gặp

• Quên điều kiện “hình thang”. Dấu hiệu “hai đường chéo bằng nhau” chỉ dùng cho hình thang. Phải chỉ ra một cặp cạnh đối song song trước.
• Chỉ chứng minh hai cạnh bên bằng nhau. Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau chưa chắc là hình thang cân, vì hình bình hành cũng thoả mãn.
• Chọn sai cặp góc. Hai góc phải cùng kề một đáy, không phải hai góc kề một cạnh bên (hai góc này bù nhau).
• Viết sai thứ tự đỉnh khi chứng minh tam giác bằng nhau, dẫn đến suy ra sai cặp góc tương ứng.

Bài luyện tập tự đặt

1. Hình thang cân ABCD (AB // CD) có góc A = 115°. Tính ba góc còn lại.
2. Hình thang cân ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Chứng minh OA = OB.
3. Một ô cửa dạng hình thang cân có hai đáy 1,5 m và 2,1 m, chiều cao 0,9 m. Tính diện tích.

Đáp án gợi ý:

1. Góc A và góc D là hai góc trong cùng phía (AB // CD) nên góc D = 180° − 115° = 65°. Hình thang cân nên góc C = góc D = 65° và góc B = góc A = 115°.
2. ΔADC = ΔBCD (c.g.c: AD = BC, góc ADC = góc BCD, DC chung) nên góc ACD = góc BDC. Tam giác OCD cân tại O, OC = OD. Mà AC = BD nên OA = AC − OC = BD − OD = OB.
3. S = (1,5 + 2,1) · 0,9 : 2 = 1,62 m².

Tài liệu cùng bài

• Sách bài tập Toán 8 Bài 3: Hình thang cân
• 25 câu trắc nghiệm Hình thang cân
• Bài 2: Tứ giác
• Bài 4: Hình bình hành
• Giải SGK Toán 8 Cánh diều (cả cuốn)

Câu hỏi thường gặp

Hình thang cân là gì?

Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. Từ định nghĩa này suy ra hai cạnh bên bằng nhau và hai đường chéo bằng nhau.

Có những dấu hiệu nào để nhận biết hình thang cân?

Có hai dấu hiệu: hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau, hoặc hình thang có hai đường chéo bằng nhau. Trước hết phải chứng minh tứ giác đó là hình thang.

Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau có phải hình thang cân không?

Chưa chắc. Hình bình hành cũng có hai cạnh bên bằng nhau nhưng không phải hình thang cân (trừ khi có thêm điều kiện về góc), nên cần chứng minh thêm hai góc kề đáy bằng nhau.

Hình thang cân có trục đối xứng không?

Có. Đường thẳng đi qua trung điểm hai đáy vuông góc với hai đáy là trục đối xứng của hình thang cân.

Bài học liên quan

• Cho a – b = 4 và ab = 3, tính a³ – b³: đáp án và cách giải
• Giải các phương trình: 3x − 2 = 2x − 3; 3 − 4y + 24 + 6y = y + 27 + 3y
• Viết điều kiện xác định của mỗi phân thức: cách làm, ví dụ lớp 8
• Hình lăng trụ đứng tứ giác có bao nhiêu đỉnh, cạnh, mặt?
• Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là hình gì?
• Hình lăng trụ đứng tam giác có bao nhiêu cạnh? Đáp án và cách đếm