Với giải Thực hành 1 trang 115 Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:
Giải bài tập Toán lớp 10 Bài 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu
Thực hành 1 trang 115 Toán lớp 10: Hãy tìm trung vị của các số liệu ở Vận dụng 1 và Vận dụng 2.
Phương pháp giải:
Bước 1: Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm.
Bước 2: Tìm cỡ mẫu n.
+ Nếu thì trung vị là số liệu thứ k
+ Nếu thì trung vị số liệu thứ k + số liệu thứ (k+1))
Lời giải:
Vận dụng 1:
Nhóm A |
12,2 |
13,5 |
12,7 |
13,1 |
12,5 |
12,9 |
13,2 |
12,8 |
Nhóm B |
12,1 |
13,4 |
13,2 |
12,9 |
13,7 |
|
|
|
Sắp xếp thời gian chạy của nhóm A theo thứ tự không giảm ta được dãy:
Vì cỡ mẫu bằng 8 nên trung vị của nhóm A là trung bình cộng của số liệu thứ 4 và thứ 5 của dãy trên, tức là
Sắp xếp thời gian chạy của nhóm B theo thứ tự không giảm ta được dãy:
Vì cỡ mẫu bằng 5 nên trung vị của nhóm B là số liệu thứ 3 của dãy trên, tức là
Vận dụng 2:
Số bàn thắng |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
6 |
Số trận |
5 |
10 |
5 |
3 |
2 |
1 |
Sắp xếp số bàn thắng của đội theo thứ tự không giảm ta được dãy:
Vì cỡ mẫu bằng nên trung vị của đội là trung bình cộng của số liệu thứ 13 và thứ 14 của dãy trên, tức là
Lý thuyết Trung vị và tứ phân vị
2.1. Trung vị
2.1.1 Định nghĩa và cách tính số trung vị
Khi các số liệu trong mẫu số liệu chênh lệch nhau quá lớn, ta dùng một đặc trưng khác của mẫu số liệu, gọi là trung vị để so sánh các mẫu số liệu với nhau.
Trung vị được định nghĩa như sau:
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:
x1 ≤ x2 ≤ … ≤ xn.
Trung vị của mẫu, kí hiệu là Me, là giá trị ở chính giữa dãy x1, x2, …, xn. Cụ thể:
- Nếu n = 2k + 1, (tức n là số tự nhiên lẻ), thì trung vị của mẫu Me = xk + 1.
- Nếu n = 2k, (tức n là số tự nhiên chẵn), thì trung vị của mẫu Me = .
Ví dụ: Tính các trung vị của điểm thực hành môn Toán của các bạn học sinh trong nhóm A và nhóm B trong Ví dụ thuộc phần 1.1.
Hướng dẫn giải
+ Sắp xếp điểm số của mỗi bạn trong nhóm A theo thứ tự không giảm, ta được:
5; 6; 7; 8; 9; 10
Vì cỡ mẫu bằng 6 nên trung vị của nhóm A là trung bình cộng của số liệu thứ 3 và thứ 4 của dãy trên, tức là Me = .
+ Sắp xếp điểm số của mỗi bạn trong nhóm B theo thứ tự không giảm, ta được:
6; 7; 8; 8; 9; 9
Vì cỡ mẫu bằng 6 nên trung vị của nhóm B là trung bình cộng của số liệu thứ 3 và thứ 4 của dãy trên, tức là Me = .
2.1.2 Ý nghĩa của số trung vị
Trung vị được dùng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu. Trung vị là giá trị nằm ở chính giữa của mẫu số liệu theo nghĩa: luôn có ít nhất 50% số liệu trong mẫu lớn hơn hoặc bằng trung vị và ít nhất 50% số liệu trong mẫu nhỏ hơn hoặc bằng trung vị. Khi trong mẫu xuất hiện thêm một giá trị rất lớn hoặc rất nhỏ thì số trung bình sẽ bị thay đổi đáng kể nhưng trung vị thì ít thay đổi.
Ví dụ: Bảng sau thống kê số sách mỗi bạn học sinh Tổ 1 và Tổ 2 đã đọc ở thư viện trường trong một tháng:
a) Trung bình mỗi bạn Tổ 1 và mỗi bạn Tổ 2 đọc bao nhiêu quyển sách ở thư viện trường trong tháng đó?
b) Em hãy thảo luận với các bạn trong nhóm xem tổ nào chăm đọc sách ở thư viện hơn.
Hướng dẫn giải
a) Trung bình mỗi bạn Tổ 1 đọc số quyển sách ở thư viện trong tháng trên là:
.
Trung bình mỗi bạn Tổ 2 đọc số quyển số ở thư viện trong tháng trên là:
.
b) Vì 4,4 > 4 nên theo số trung bình, các bạn Tổ 1 đọc sách chăm hơn.
Nếu dựa vào số trung bình để đánh giá xem tổ nào chăm đọc sách hơn trong bài này thì không phù hợp, do có một số liệu trong mẫu số liệu của Tổ 1 quá lớn so với các số liệu còn lại. Ta sử dụng trung vị để so sánh độ chăm học giữa hai tổ.
+ Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm của Tổ 1:
1; 1; 1; 2; 2; 2; 3; 3; 25
Vì cỡ mẫu n1 = 9 là số lẻ, nên trung vị của mẫu số liệu Tổ 1 là Me1 = 2.
+ Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm của Tổ 2:
3; 3; 4; 4; 4; 4; 5; 5
Vì cỡ mẫu n2 = 8 là số chẵn, nên trung vị của mẫu số liệu Tổ 2 là Me2 = .
Do đó ta có: Me2 > Me1.
Vậy theo trung vị, các bạn Tổ 2 chăm đọc sách ở thư viện hơn Tổ 1.
2.2. Tứ phân vị
• Trung vị chia mẫu thành hai phần. Trong thực tế người ta cũng quan tâm đến trung vị của mỗi phần đó. Ba trung vị này được gọi là tứ phân vị của mẫu.
Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:
x1 ≤ x2 ≤ … ≤ xn.
Tứ phân vị của một mẫu số liệu gồm ba giá trị, gọi là tứ phân vị thứ nhất, thứ hai và thứ ba (lần lượt kí hiệu là Q1, Q2, Q3). Ba giá trị này chia tập hợp dữ liệu đã sắp xếp thành bốn phần đều nhau. Cụ thể:
- Giá trị tứ phân vị thứ hai, Q2, chính là số trung vị của mẫu.
- Giá trị tứ phân vị thứ nhất, Q1, là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái Q2 (không bao gồm Q2 nếu n lẻ).
- Giá trị tứ phân vị thứ ba, Q3, là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải Q2 (không bao gồm Q2 nếu n lẻ).
• Ý nghĩa của tứ phân vị
Các điểm tứ phân vị Q1, Q2, Q3 chia mẫu số liệu đã sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn thành bốn phần, mỗi phần chia khoảng 25% tổng số liệu đã thu thập được.
Tứ phân vị thứ nhất Q1 còn được gọi là tứ phân vị dưới và đại diện cho nửa mẫu số liệu phía dưới. Tứ phân vị thứ ba Q3, còn được gọi là tứ phân vị trên và đại diện cho nửa mẫu số liệu ở phía trên.
Ví dụ: Tìm tứ phân vị của mẫu số liệu sau: 3; 5; 6; 13; 25; 17; 19.
Hướng dẫn giải
Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm ta được:
3; 5; 6; 13; 17; 19; 25.
Vì cỡ mẫu n = 7, là số lẻ, nên giá trị tứ phân vị thứ hai là Q2 = 13.
Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 3; 5; 6. Do đó Q1 = 5.
Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 17; 19; 25. Do đó Q3 = 19.
Xem thêm các bài giải Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Thực hành 2 trang 117 Toán lớp 10: Hãy tìm tứ phân vị của các mẫu số liệu sau:...
Bài 1 trang 118 Toán lớp 10: Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của các mẫu số liệu sau:...
Bài 2 trang 118 Toán lớp 10: Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của các mẫu số liệu sau:...
Xem thêm các bài giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:
Bài 2: Mô tả và biểu diễn dữ liệu trên các bảng và biểu đồ
Bài 3: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu
Bài 4: Các số đặc trưng mức độ phân tán của mẫu số liệu