Giải toán lớp 10 trang 118 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 118 Toán lớp 10: Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của các mẫu số liệu sau:

a) 23; 41; 71; 29; 48; 45; 72; 41.

b) 12; 32; 93; 78; 24; 12; 54; 66; 78.

Lời giải:

a) $23;41;71;29;48;45;72;41$.

) $23;41;71;29;48;45;72;41$.

+) Số trung bình: $\overline{x}=\frac{23+41+71+29+48+45+72+41}{8}=46,25$

+) Tứ phân vị: $Q_1,Q_2,Q_3$

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $23;29;41;41;45;48;71;72$

Bước 2: $n=8$, là số chẵn nên $Q_2=M_e=\frac{1}{2}(41+45)=43$

$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu $23;29;41;41$. Do đó $Q_2=\frac{1}{2}(29+41)=35$

$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu $45;48;71;72$. Do đó $Q_3=\frac{1}{2}(48+71)=59,5$

+) Chỉ có giá trị 41 xuất hiện 2 lần, nhiều hơn các giá trị còn lại.

Do đó mốt $M_o=41$

b) $12;32;93;78;24;12;54;66;78$.

) $12;32;93;78;24;12;54;66;78$.

+) Số trung bình: $\overline{x}=\frac{12+32+93+78+24+12+54+66+78}{9}\approx 49,89$

+) Tứ phân vị: $Q_1,Q_2,Q_3$

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $12;12;24;32;54;66;78;78;93$

Bước 2: $n=9$, là số lẻ nên $Q_2=M_e=54$

$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu $12;12;24;32$. Do đó $Q_2=\frac{1}{2}(12+24)=18$

$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu $66;78;78;93$. Do đó $Q_3=\frac{1}{2}(78+78)=78$

+) Giá trị 12 và giá trị 78 xuất hiện 2 lần, nhiều hơn các giá trị còn lại.

Do đó mốt $M_o=12,M_o=78.$

Bài 2 trang 118 Toán lớp 10: Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của các mẫu số liệu sau:

a)

b)

Lời giải:

a) Bảng số liệu là bảng tần số.

Cỡ mẫu là n = 6 + 8 + 10 + 6 + 4 + 3 = 37.

Số trung bình của mẫu là: $\overline{x}=\frac{6.23+8.25+10.28+6.31+4.33+3.37}{37}\approx 28,3$.

Giá trị 28 có tần số lớn nhất nên mốt của mẫu là Mo = 28.

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

23; 23; 23; 23; 23; 23; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 28; 28; 28; 28; 28; 28; 28; 28; 28; 28; 31; 31; 31; 31; 31; 31; 33; 33; 33; 33; 37; 37; 37.

Vì cỡ mẫu là số lẻ nên tứ phân vị thứ hai là Q2 = 28.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 23; 23; 23; 23; 23; 23; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 25; 28; 28; 28; 28. Do đó Q­1 = 25.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 28; 28; 28; 28; 28; 31; 31; 31; 31; 31; 31; 33; 33; 33; 33; 37; 37; 37. Do đó Q3 = 31.

b) Bảng số liệu là bảng tần số tương đối.

Số trung bình là: $\overline{x}=0,6.0+0,2.2+0,1.4+0,1.5=1,3$.

Tần số tương đối là tỉ số của tần số với cỡ mẫu, do đó, giá trị có tần số tương đối lớn nhất thì có tần số lớn nhất, vậy giá trị 0 có tần số lớn nhất nên mốt của mẫu số liệu là Mo = 0.

Giả sử cỡ mẫu là n = 10, khi đó:

Tần số của giá trị 0 là 0,6 . 10 = 6.

Tần số của giá trị 2 là 0,2 . 10 = 2.

Tần số của giá trị 4 là 0,1 . 10 = 1.

Tần số của giá trị 5 là 0,1 . 10 = 1.

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

0; 0; 0; 0; 0; 0; 2; 2; 4; 5.

Vì cỡ mẫu là số chẵn nên tứ phân vị thứ hai là Q2 = 0.

Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 0; 0; 0; 0; 0. Do đó Q1 = 0.

Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 0; 2; 2; 4; 5. Do đó Q3 = 2.

Bài 3 trang 118 Toán lớp 10: An lấy ra ngẫu nhiên 3 quả bóng từ một hộp có chứa nhiều bóng xanh và bóng đỏ. An đếm xem có bao nhiêu bóng đỏ trong 3 bóng lấy ra rồi trả bóng lại hộp. An lặp lại phép thử trên 100 lần và ghi lại kết quả ở bảng sau:

Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của bảng kết quả trên.

Phương pháp giải:

Cho bảng số liệu:

+) Số trung bình: $\overline{x}=\frac{x_1.f_1+x_2.f_2+...+x_m.f_m}{f_1+f_2+...+f_m}$

+) Tứ phân vị: $Q_1,Q_2,Q_3$

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, $n=f_1+f_2+...+f_m$

Bước 2: $Q_2$ là trung vị của mẫu số liệu trên.

$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)

$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)

+) Mốt $M_o$ là giá trị có tần số lớn nhất. (Một mẫu có thể có nhiều mốt)

Lời giải:

+) Số trung bình: $\overline{x}=\frac{0.10+1.30+2.40+3.20}{100}=1,7$

+) Tứ phân vị: $Q_1,Q_2,Q_3$

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, $\underset{10}{\underbrace{0,...,0}},\underset{30}{\underbrace{1,...,1}},\underset{40}{\underbrace{2,...,2}},\underset{20}{\underbrace{3,...,3}}.$

Bước 2: Vì $n=100$, là số chẵn nên $Q_2=\frac{1}{2}(2+2)=2$

$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu:  $\underset{10}{\underbrace{0,...,0}},\underset{30}{\underbrace{1,...,1}},\underset{10}{\underbrace{2,...,2}}.$ Do đó $Q_1=\frac{1}{2}(1+1)=1$

$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu $\underset{30}{\underbrace{2,...,2}},\underset{20}{\underbrace{3,...,3}}.$ Do đó $Q_3=\frac{1}{2}(2+2)=2$

+) Mốt $M_o=2$

Bài 4 trang 118 Toán lớp 10: Trong một cuộc thi nghề, người ta ghi lại thời gian hoàn thành một sản phẩm của một số thí sinh ở bảng sau:

a) Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của thời gian thi nghề của các thí sinh trên.

b) Năm ngoái, thời gian thi của các thí sinh có số trung bình và trung vị đều bằng 7. Bạn hãy so sánh thời gian thi nói chung của các thí sinh trong hai năm.

Lời giải:

a)

+) Số trung bình: $\overline{x}=\frac{1.5+3.6+5.7+2.8+1.35}{1+3+5+2+1}=9,08$

+) Tứ phân vị: $Q_1,Q_2,Q_3$

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, $5,6,6,6,7,7,7,7,7,8,8,35$

Bước 2: Vì $n=12$, là số chẵn nên $Q_2=\frac{1}{2}(7+7)=7$

$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu:  $5,6,6,6,7,7$ Do đó $Q_1=\frac{1}{2}(6+6)=6$

$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu $7,7,7,8,8,35$ Do đó $Q_3=\frac{1}{2}(7+8)=7,5$

+) Mốt $M_o=7$

b)

+) Nếu so sánh số trung bình: 9,08 > 7 do đó thời gian thi nói chung của các thí sinh trong năm nay là lớn hơn so với năm trước.

+) Nếu so sánh trung vị: Trung vị của hai năm đều bằng 7 do đó thời gian thi nói chung của các thí sinh trong hai năm là như nhau.

Do có 1 thí sinh có thời gian thi lớn hơn hẳn so với các thí sinh khác => nên so sánh theo trung vị.

Bài 5 trang 118 Toán lớp 10: Bác Dũng và bác Thu ghi lại số cuộc điện thoại mà mỗi người gọi mỗi ngày trong 10 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên từ tháng 01/2021 ở bảng sau:

a) Hãy tìm số trung bình, tứ phân vị và mốt của số cuộc điện thoại mà mỗi bác gọi theo số liệu trên.

b) Nếu so sánh theo số trung bình thì ai có nhiều cuộc điện thoại hơn?

c) Nếu so sánh theo số trung vị thì ai có nhiều cuộc điện thoại hơn?

Phương pháp giải:

a) Cho bảng số liệu:

+) Số trung bình: $\overline{x}=\frac{x_1.f_1+x_2.f_2+...+x_m.f_m}{f_1+f_2+...+f_m}$

+) Tứ phân vị: $Q_1,Q_2,Q_3$

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, $n=f_1+f_2+...+f_m$

Bước 2: $Q_2$ là trung vị của mẫu số liệu trên.

$Q_1$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)

$Q_3$ là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải $Q_2$ (không bao gồm $Q_2$ nếu n lẻ)

+) Mốt $M_o$ là giá trị có tần số lớn nhất. (Một mẫu có thể có nhiều mốt)

d) So sánh:

+) Nếu các số liệu không có một giá trị nào quá lớn hoặc quá nhỏ => so sánh số trung bình.

+) Nếu các số liệu có một giá trị quá lớn hoặc quá nhỏ => so sánh trung vị.

Lời giải:

Bài 6 trang 119 Toán lớp 10: Tổng số điểm mà các thành viên đội tuyển Olympic Toán quốc tế (IMO) của Việt Nam đạt được trong 20 kì thi được cho ở bảng sau:

Có ý kiến cho rằng điểm thi của đội tuyển giai đoạn 2001 – 2010 cao hơn giai đoạn 2011 – 2020. Hãy sử dụng số trung bình và trung vị để kiểm nghiệm xem ý kiến trên có đúng không?

Phương pháp giải:

+) Số trung bình: $\overline{x}=\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$

+) Trung vị: $M_e$

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $X_1,X_2,...,X_n$

Bước 2: Tình trung vị: $M_e=\{\begin{array}{l}{X}_{k+1}(n=2k+1)\\ \frac{1}{2}(X_k+X_{k+1})(n=2k)\end{array}$

Lời giải:

+) Giai đoạn 2001 – 2010

Số trung bình $\overline{x}=\frac{139+166+172+196+143+131+168+159+161+133}{10}=156,8$

Sắp sếp số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: $131,133,139,143,159,161,166,168,172,196$

Do $n=10$, là số chẵn nên trung vị là: $M_e=\frac{1}{2}(159+161)=160$

+) Giai đoạn 2011 – 2020

Số trung bình $\overline{x}=\frac{150+177+148+155+151+151+157+180+148+113}{10}=153$

Sắp sếp số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: $113,148,148,150,151,151,155,157,177,180$

Do $n=10$, là số chẵn nên trung vị là: $M_e=\frac{1}{2}(151+151)=151$

+) So sánh theo số trung bình hay số trung vị ta đều thấy điểm thi của đổi tuyển giai đoạn 2001 – 2010 cao hơn giai đoạn 2011 – 2020.

Vậy ý kiến trên là đúng.

Bài 7 trang 119 Toán lớp 10: Kết quả bài kiểm tra giữa kì của các bạn học sinh lớp 10A, 10B, 10C được thống kê ở các biểu đồ dưới đây.

a) Hãy lập bảng thống kê số lượng học sinh theo điểm số ở mỗi lớp.

b) Hãy so sánh điểm số của học sinh các lớp đó theo số trung bình, trung vị và mốt.

Phương pháp giải:

b)

+) Số trung bình: $\overline{x}=\frac{x_1.f_1+x_2.f_2+...+x_m.f_m}{f_1+f_2+...+f_m}$

+) Trung vị: $M_e$

Bước 1: Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm: $X_1,X_2,...,X_n$

Bước 2: Tình trung vị: $M_e=\{\begin{array}{l}{X}_{k+1}(n=2k+1)\\ \frac{1}{2}(X_k+X_{k+1})(n=2k)\end{array}$

+) Mốt $M_o$ là giá trị có tần số lớn nhất. (Một mẫu có thể có nhiều mốt)

Lời giải:

a) Lập bảng thống kê số lượng học sinh theo điểm số:

Lớp 10A

Lớp 10B

Lớp 10C

b)

+ Lớp 10A:

Cỡ mẫu là: 1 + 4 + 5 + 8 + 14 + 8 = 40.

Số trung bình: $\frac{1.5+4.6+5.7+8.8+14.9+8.10}{40}=8,35$.

Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:

5; 6; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 8; 8; 8; 8; 8; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 9; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10; 10.