Với giải sách bài tập Toán 11 Bài 2: Công thức lượng giác sách Kết nối tri thức hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 11 Bài 2: Công thức lượng giác

Giải SBT Toán 11 trang 10

Bài 1.10 trang 10 SBT Toán 11 Tập 1: Không sử dụng máy tính, tính các giá trị lượng giác của góc 105°.

Lời giải:

cos 105° = cos(60° + 45°) = cos 60° cos 45° – sin 60° sin 45°

                                     $=\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$.

sin 105° = sin(60° + 45°) = sin 60° cos 45° + cos 60° sin 45°

                                     $=\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$ .

Do đó, $\tan 105°=\frac{\sin 105°}{\cos 105°}=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{\sqrt{2}-\sqrt{6}},\cot 105°=\frac{1}{\tan 105°}=\frac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{6}}$ .

Bài 1.11 trang 10 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cos 2x = $-\frac{4}{5}$  với $\frac{\pi }{4}<x<\frac{\pi }{2}$ . Tính sin x, cos x, $\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)$ , $\cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)$ .

Lời giải:

Vì $\frac{\pi }{4}$  < x < $\frac{\pi }{2}$  nên sin x > 0, cos x > 0. Áp dụng công thức hạ bậc, ta có

${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}=\frac{1-\left(-\frac{4}{5}\right)}{2}=\frac{9}{10}$⇒ sin x = $\frac{3}{\sqrt{10}}$ .

${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}=\frac{1+\left(-\frac{4}{5}\right)}{2}=\frac{1}{10}$⇒ cos x = $\frac{1}{\sqrt{10}}$ .

Theo công thức nhân đôi, ta có sin 2x = 2 sin x cos x = $2.\frac{3}{\sqrt{10}}.\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$ 

Theo công thức cộng, ta có

$$\begin{gathered} \sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin x\cos \frac{\pi }{3}+\cos x\sin \frac{\pi }{3} \\ =\frac{3}{\sqrt{10}}.\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{10}}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3+\sqrt{3}}{2\sqrt{10}} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \cos \left(2x-\frac{\pi }{4}\right)=\cos 2x\cos \frac{\pi }{4}+\sin 2x\sin \frac{\pi }{4} \\ =\left(-\frac{4}{5}\right).\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{3}{5}.\frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{10} \end{gathered}$$

Giải SBT Toán 11 trang 11

Bài 1.12 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh đẳng thức sau

${\sin }^{4}a+{\cos }^{4}a=1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2a=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cos 4a$.

Lời giải:

sin⁴ a + cos⁴ a = (sin² a + cos² a)² – 2sin² a cos² a

= 1 – 2 . (sin a cos a)²

=$1-2.{\left(\frac{\sin 2a}{2}\right)}^2=1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2a$

$=1-\frac{1}{2}.\frac{1-\cos 4a}{2}=1-\frac{1-\cos 4a}{4}=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cos 4a$ 

Vậy ${\sin }^{4}a+{\cos }^{4}a=1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2a=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cos 4a$ .

Bài 1.13 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $A=\sin \frac{\pi }{9}-\sin \frac{5\pi }{9}+\sin \frac{7\pi }{9}$ ;

b) B = sin 6° sin 42° sin 66° sin 78°.

Lời giải:

a) $A=\sin \frac{\pi }{9}-\sin \frac{5\pi }{9}+\sin \frac{7\pi }{9}$

$=\left(\sin \frac{\pi }{9}+\sin \frac{7\pi }{9}\right)-\sin \frac{5\pi }{9}$

$=2\sin \frac{\frac{\pi }{9}+\frac{7\pi }{9}}{2}.\cos \frac{\frac{\pi }{9}-\frac{7\pi }{9}}{2}-\sin \frac{5\pi }{9}$

$=2\sin \frac{4\pi }{9}.\cos \frac{\pi }{3}-\sin \frac{5\pi }{9}$

$=\sin \frac{4\pi }{9}-\sin \frac{5\pi }{9}$

$=\sin \left(\pi -\frac{4\pi }{9}\right)-\sin \frac{5\pi }{9}$

$=\sin \frac{5\pi }{9}-\sin \frac{5\pi }{9}=0$.

Vậy A = 0.

b) Vì sin 78° = cos 12°; sin 66° = cos 24°; sin 42° = cos 48° nên

B = sin 6° cos 12° cos 24° cos 48°.

Nhân hai vế với cos 6° và áp dụng công thức góc nhân đôi, ta được:

cos 6° . B = cos 6° sin 6° cos 12° cos 24° cos 48°

      = $\frac{1}{2}\sin 12°$  cos 12° cos 24° cos 48°

      = $\frac{1}{4}$  sin 24° cos 24° cos 48°

      = $\frac{1}{8}$  sin 48° cos 48°

      = $\frac{1}{16}$  sin 96°

      = $\frac{1}{16}$  sin(90° + 6°) = $\frac{1}{16}$ cos 6°.

Vậy B = $\frac{1}{16}$ .

Bài 1.14 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng:

a) $\cos a-\sin a=\sqrt{2}\cos \left(a+\frac{\pi }{4}\right)$ ;

b) $\sin a+\sqrt{3}\cos a=2\sin \left(a+\frac{\pi }{3}\right)$ .

Lời giải:

a)$VP=\sqrt{2}\cos \left(a+\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\left(\cos a\cos \frac{\pi }{4}-\sin a\sin \frac{\pi }{4}\right)$ 

$=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a\right)$

$=\sqrt{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos a-\sin a\right)=\cos a-\sin a=VT$.

b) $VP=2\sin \left(a+\frac{\pi }{3}\right)=2\left(\sin a\cos \frac{\pi }{3}+\cos a\sin \frac{\pi }{3}\right)$

$=2\left(\frac{1}{2}\sin a+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos a\right)$$=\sin a+\sqrt{3}\cos a=VT$.

Bài 1.15 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có

sin A + sin B + sin C = $4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}$ .

Lời giải:

$VT=\sin A+\sin B+\sin C=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}+2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}$.

Mặt khác, trong tam giác ABC, ta có A + B + C = π nên $\frac{A+B}{2}=\frac{\pi }{2}-\frac{C}{2}$ .

Từ đó suy ra: $\sin \frac{A+B}{2}=\cos \frac{C}{2},\sin \frac{C}{2}=\cos \frac{A+B}{2}$ .

Vậy $VT=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}+2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}$

$=2\cos \frac{C}{2}\cos \frac{A-B}{2}+2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{C}{2}$

$=2\cos \frac{C}{2}\left(\cos \frac{A-B}{2}+\cos \frac{A+B}{2}\right)$

$=2\cos \frac{C}{2}.2\cos \frac{\frac{A-B}{2}+\frac{A+B}{2}}{2}\cos \frac{\frac{A-B}{2}-\frac{A+B}{2}}{2}$

$=4\cos \frac{C}{2}\cos \frac{A}{2}\cos \left(-\frac{B}{2}\right)$

$=4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}=VP$ (điều phải chứng minh).

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Bài 2: Công thức lượng giác

Bài 3: Hàm số lượng giác

Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Bài tập cuối chương 1

Lý thuyết Công thức lượng giác

1. Công thức cộng

$\begin{array}{l}\sin \left(a+b\right)=\sin a\cos b+\cos asinb\\ sin\left(a-b\right)=\sin a\cos b-\cos asinb\\ \cos \left(a+b\right)=\cos a\cos b-\sin asinb\\ \cos \left(a-b\right)=\cos a\cos b+\sin asinb\\ \tan \left(a+b\right)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}\\ \tan \left(a-b\right)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}\end{array}$

2. Công thức nhân đôi

$\begin{array}{l}\sin 2a=2\sin a\cos a\\ \cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=2{\cos }^{2}a-1=1-2{\sin }^{2}a\\ \tan 2a=\frac{2\tan a}{1-{\tan }^{2}a}\end{array}$

Suy ra, công thức hạ bậc:

 ${\sin }^{2}a=\frac{1-\cos 2a}{2},{\cos }^{2}a=\frac{1+\cos 2a}{2}$

3. Công thức biến đổi tích thành tổng

$\begin{array}{l}\cos a\cos b=\frac{1}{2}\left[\cos \left(a+b\right)+\cos \left(a-b\right)\right]\\ \sin a\sin b=\frac{1}{2}\left[\cos \left(a-b\right)-\cos \left(a+b\right)\right]\\ \sin a\cos b=\frac{1}{2}\left[\sin \left(a+b\right)+\sin \left(a-b\right)\right]\end{array}$

4. Công thức biến đổi tổng thành tích

$\begin{array}{l}\cos a+\cos b=2\cos \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}\\ \cos a-\cos b=-2\sin \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}\\ \sin a+\sin b=2\sin \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}\\ \sin a-\sin b=2\cos \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}\end{array}$