20 bài tập công thức lượng giác Toán 11 có đáp án, lời giải chi tiết

Tóm tắt công thức lượng giác cần nhớ

Các công thức dưới đây đúng với mọi góc làm cho biểu thức có nghĩa. Em không cần học thuộc máy móc tất cả: chỉ cần nhớ chắc công thức cộng, các công thức còn lại đều suy ra được từ đó.

Nhóm	Công thức
Công thức cộng	cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b tan(a ± b) = (tan a ± tan b)/(1 ∓ tan a tan b)
Nhân đôi	sin 2a = 2 sin a cos a cos 2a = cos2a − sin2a = 2cos2a − 1 = 1 − 2sin2a tan 2a = 2tan a/(1 − tan2a)
Hạ bậc	cos2a = (1 + cos 2a)/2; sin2a = (1 − cos 2a)/2
Tích → tổng	cos a cos b = ½[cos(a − b) + cos(a + b)] sin a sin b = ½[cos(a − b) − cos(a + b)] sin a cos b = ½[sin(a − b) + sin(a + b)]
Tổng → tích	cos u + cos v = 2cos((u + v)/2)cos((u − v)/2) cos u − cos v = −2sin((u + v)/2)sin((u − v)/2) sin u + sin v = 2sin((u + v)/2)cos((u − v)/2) sin u − sin v = 2cos((u + v)/2)sin((u − v)/2)

Bước hay bị bỏ qua nhất là xét dấu. Hình dưới tóm tắt dấu của sin, cos, tan trên đường tròn lượng giác kèm câu mẹo quen thuộc.

Dạng 1: Tính giá trị lượng giác (Bài 1 – Bài 8)

Bài 1. Cho cos a = 3/5 và 3π/2 < a < 2π. Tính sin a, sin 2a, cos 2a, tan 2a.

Lời giải. Vì a thuộc góc phần tư IV nên sin a < 0. Ta có sin²a = 1 − 9/25 = 16/25, suy ra sin a = −4/5. Khi đó sin 2a = 2·(−4/5)·(3/5) = −24/25; cos 2a = 9/25 − 16/25 = −7/25; tan 2a = sin 2a/cos 2a = 24/7.

Bài 2. Không dùng máy tính, tính sin 75°, cos 75°, tan 75°.

Lời giải. Viết 75° = 45° + 30°. sin 75° = sin 45° cos 30° + cos 45° sin 30° = (√6 + √2)/4. cos 75° = cos 45° cos 30° − sin 45° sin 30° = (√6 − √2)/4. tan 75° = (1 + √3/3)/(1 − √3/3) = (3 + √3)/(3 − √3) = 2 + √3.

Bài 3. Tính A = sin 20° cos 40° + cos 20° sin 40°.

Lời giải. Biểu thức có đúng dạng sin a cos b + cos a sin b nên A = sin(20° + 40°) = sin 60° = √3/2. Mẹo: thấy hai cặp “sin – cos” đan chéo là nghĩ ngay tới công thức cộng.

Bài 4. Cho sin a = 2/3 với π/2 < a < π. Tính cos(a + π/3).

Lời giải. Góc a thuộc góc phần tư II nên cos a < 0, cos a = −√(1 − 4/9) = −√5/3. Do đó cos(a + π/3) = cos a·½ − sin a·(√3/2) = −√5/6 − √3/3 = −(√5 + 2√3)/6.

Bài 5. Cho tan a = 2. Tính tan(a + π/4) và tan 2a.

Lời giải. tan(a + π/4) = (tan a + 1)/(1 − tan a) = 3/(−1) = −3. tan 2a = 2·2/(1 − 4) = −4/3.

Bài 6. Cho α, β ∈ (0; π/2) với tan α = 1/2, tan β = 1/3. Tính α + β.

Lời giải. tan(α + β) = (1/2 + 1/3)/(1 − 1/6) = (5/6)/(5/6) = 1. Vì 0 < α + β < π và tan(α + β) = 1 > 0 nên α + β = π/4. Lưu ý: phải giới hạn khoảng của α + β trước khi kết luận, vì tan x = 1 có vô số nghiệm.

Bài 7. Cho cos 2a = 1/3 và 0 < a < π/2. Tính sin²a, cos²a và sin a.

Lời giải. Theo công thức hạ bậc: sin²a = (1 − 1/3)/2 = 1/3; cos²a = (1 + 1/3)/2 = 2/3. Vì sin a > 0 nên sin a = 1/√3 = √3/3.

Bài 8. Tính chính xác cos(π/8).

Lời giải. cos²(π/8) = (1 + cos(π/4))/2 = (2 + √2)/4. Vì π/8 thuộc góc phần tư I nên cos(π/8) = √(2 + √2)/2.

Dạng 2: Biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích (Bài 9 – Bài 11)

Bài 9. Tính B = 2 sin 75° cos 15°.

Lời giải. 2 sin a cos b = sin(a − b) + sin(a + b) nên B = sin 60° + sin 90° = 1 + √3/2 = (2 + √3)/2.

Bài 10. Tính C = cos 75° + cos 15°.

Lời giải. C = 2cos((75° + 15°)/2)cos((75° − 15°)/2) = 2cos 45° cos 30° = 2·(√2/2)·(√3/2) = √6/2.

Bài 11. Chứng minh sin 70° − sin 50° = sin 10°.

Lời giải. sin 70° − sin 50° = 2cos 60° sin 10° = 2·½·sin 10° = sin 10°. Bài này cho thấy công thức tổng → tích rất hữu ích khi tổng hai góc là góc đặc biệt.

Dạng 3: Rút gọn biểu thức, chứng minh đẳng thức (Bài 12 – Bài 16)

Bài 12. Rút gọn P = sin 2x/(1 + cos 2x) (với biểu thức có nghĩa).

Lời giải. Tử: 2 sin x cos x; mẫu: 1 + cos 2x = 2cos²x. Vậy P = 2 sin x cos x/(2cos²x) = tan x.

Bài 13. Rút gọn Q = (sin x + sin 3x)/(cos x + cos 3x).

Lời giải. Tử = 2 sin 2x cos x, mẫu = 2 cos 2x cos x (đã dùng cos(−x) = cos x). Rút gọn được Q = tan 2x (điều kiện cos x ≠ 0, cos 2x ≠ 0).

Bài 14. Chứng minh sin⁴x − cos⁴x = −cos 2x.

Lời giải. VT = (sin²x − cos²x)(sin²x + cos²x) = sin²x − cos²x = −(cos²x − sin²x) = −cos 2x = VP.

Bài 15. Chứng minh cos x − sin x = √2 cos(x + π/4).

Lời giải. Đi từ vế phải: √2 cos(x + π/4) = √2(cos x·√2/2 − sin x·√2/2) = cos x − sin x. Với dạng chứng minh, thường nên biến đổi từ vế phức tạp hơn sang vế đơn giản hơn.

Bài 16. Chứng minh sin 3x = 3 sin x − 4 sin³x.

Lời giải. sin 3x = sin(2x + x) = sin 2x cos x + cos 2x sin x = 2 sin x cos²x + (1 − 2sin²x) sin x = 2 sin x(1 − sin²x) + sin x − 2sin³x = 3 sin x − 4 sin³x.

Dạng 4: Vận dụng và nâng cao (Bài 17 – Bài 20)

Bài 17. Tính D = cos 20° cos 40° cos 80°.

Lời giải. Nhân cả hai vế với sin 20° ≠ 0 rồi dùng liên tiếp công thức nhân đôi: sin 20°·D = ½ sin 40° cos 40° cos 80° = ¼ sin 80° cos 80° = ⅛ sin 160° = ⅛ sin 20°. Vậy D = 1/8.

Bài 18. Tính E = sin²10° + sin²50° + sin²70°.

Lời giải. Hạ bậc: E = [3 − (cos 20° + cos 100° + cos 140°)]/2. Mà cos 100° + cos 140° = 2cos 120° cos 20° = −cos 20°, nên tổng trong ngoặc bằng 0. Vậy E = 3/2.

Bài 19. Cho tam giác ABC không vuông. Chứng minh tan A + tan B + tan C = tan A·tan B·tan C.

Lời giải. Vì A + B = π − C nên tan(A + B) = −tan C, tức (tan A + tan B)/(1 − tan A tan B) = −tan C. Nhân chéo: tan A + tan B = −tan C + tan A tan B tan C, chuyển vế được điều phải chứng minh.

Bài 20. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của y = 3 sin x + 4 cos x + 1.

Lời giải. Ta có 3 sin x + 4 cos x = 5(⅗ sin x + ⅘ cos x) = 5 sin(x + φ), với φ thoả mãn cos φ = 3/5, sin φ = 4/5. Do −1 ≤ sin(x + φ) ≤ 1 nên −4 ≤ y ≤ 6. Vậy GTLN là 6, GTNN là −4. Tổng quát: a sin x + b cos x luôn nằm trong đoạn [−√(a² + b²); √(a² + b²)].

Lỗi sai thường gặp khi làm bài tập công thức lượng giác

• Quên xét dấu: từ sin²a tính ra sin a nhưng lấy luôn giá trị dương. Luôn nhìn khoảng chứa góc trước khi khai căn (Bài 1, Bài 4).
• Nhầm dấu công thức cộng của cos: cos(a + b) mang dấu trừ ở giữa, cos(a − b) mang dấu cộng. Mẹo: “cos thì cos cos, sin sin, dấu ngược”.
• Kết luận góc khi chưa giới hạn khoảng: tan(α + β) = 1 chưa đủ để nói α + β = π/4 (Bài 6).
• Rút gọn bỏ quên điều kiện: khi chia cho cos x, cos 2x phải ghi điều kiện khác 0 (Bài 13).

Bài luyện tập tự giải (có đáp số)

1. Cho sin a = 3/5, π/2 < a < π. Tính cos 2a. Đáp số: 7/25.
2. Tính sin 15° cos 15°. Đáp số: 1/4.
3. Rút gọn (1 − cos 2x)/sin 2x. Đáp số: tan x.

Học thêm cùng chủ đề

• Lý thuyết Công thức lượng giác – Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải SGK Toán 11 Bài 2: Công thức lượng giác
• Giải SBT Toán 11 Bài 2: Công thức lượng giác
• Trắc nghiệm Công thức lượng giác có đáp án

Câu hỏi thường gặp

Làm bài tập công thức lượng giác nên bắt đầu từ đâu?

Nhìn khoảng chứa góc để xác định dấu của sin, cos, sau đó nhận dạng biểu thức (tổng hai góc, góc gấp đôi, bình phương, tích hay tổng) để chọn đúng nhóm công thức.

Có cần học thuộc tất cả công thức lượng giác không?

Chỉ cần nhớ chắc công thức cộng. Công thức nhân đôi là trường hợp a = b, công thức hạ bậc suy từ cos 2a, còn công thức tích ↔ tổng có được bằng cách cộng, trừ các công thức cộng.

Giá trị lớn nhất của a sin x + b cos x bằng bao nhiêu?

Bằng √(a² + b²), giá trị nhỏ nhất bằng −√(a² + b²), vì a sin x + b cos x = √(a² + b²)·sin(x + φ) với góc φ phù hợp.

Bài học liên quan

• Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng bằng phương pháp trực tiếp
• Tính giới hạn khi x tiến tới dương vô cùng: cách làm và ví dụ
• Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 4, u(n+1) = un + n: tìm số hạng thứ năm
• Nghiệm của phương trình cos x = 1/2 là gì? Cách giải chi tiết
• Giải phương trình tanx = 1: nghiệm x = π/4 + kπ và cách làm
• Công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn và cách áp dụng