Tailieumoi.vn xin giới thiệu Bài tập Toán lớp 11 Công thức lượng giác, được sưu tầm và biên soạn theo chương trình học của 3 bộ sách mới. Bài viết gồm 20 bài tập với đầy đủ các mức độ và có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn luyện kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài tập Toán 11. Ngoài ra, bài viết còn có phần tóm tắt nội dung chính lý thuyết Công thức lượng giác. Mời các bạn đón xem:

Bài tập Toán 11 Công thức lượng giác

A. Bài tập Công thức lượng giác

Bài 1. Tính sin2a và tan2a biết cos a = $\frac{1}{4}$ và $\frac{3\pi }{2}$<a<2$\pi$.

Hướng dẫn giải

Vì $\frac{3\pi }{2}$<a<2$\pi$nên sina < 0.

Ta có:

sin²a + cos²a = 1 ⇒ sin²a = 1 – cos²a = 1 -  = $\frac{15}{16}$

⇒ sina = $-\frac{\sqrt{15}}{4}$.

Ta có: sin2a = 2sina cosa = 2..$\frac{1}{4}$ = $-\frac{\sqrt{15}}{8}$

Ta có: tana = $\frac{\sin a}{\cos a}=-\sqrt{15}$

⇒$\tan 2a=\frac{2\tan a}{1-{\tan }^{2}a}$==$=\frac{-2\sqrt{15}}{-14}=\frac{\sqrt{15}}{7}$.

Bài 2. Tính

a) sin biết sin a = $\frac{3}{4}$ và 0 < a < $\frac{\pi }{2}$;

b) cos$\frac{3\pi }{8}$.cos$\frac{\pi }{8}$ + sin$\frac{3\pi }{8}$.sin$\frac{\pi }{8}$.

Hướng dẫn giải

a) Vì 0<a<$\frac{\pi }{2}$ nên cosa > 0.

Ta có: sin²a + cos²a = 1 ⇒ cos²a = 1 – sin²a = 1-=$\frac{7}{16}$

⇒ cosa = null.

Vậy sin$=\sin a\cos \frac{\pi }{3}-\cos a\sin \frac{\pi }{3}=\frac{3}{4}.\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{7}}{4}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3-\sqrt{21}}{8}$ .

Suy ra: $\cos \frac{3\pi }{8}.\cos \frac{\pi }{8}+\sin \frac{3\pi }{8}.\sin \frac{\pi }{8}=\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Bài 3. Tính

a) cos(–15°) + cos255°;

b) sin$\frac{13\pi }{24}$sin$\frac{5\pi }{24}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

cos(-15^o) + cos255^o = 2.cos$\frac{-15°+255°}{2}$.cos$\frac{-15°-255°}{2}$

= 2.cos120^o.cos(135^o) = 2

Vậy cos(–15°) + cos255° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

b) Ta có:

Vậy $\sin \frac{13\pi }{24}\sin \frac{5\pi }{24}=\frac{1+\sqrt{2}}{4}$.

Bài 4. Rút gọn biểu thức sau:

Hướng dẫn giải

⇔ $P=-2\sin x$

Vậy P = −2sin x.

Bài 5. Chứng minh rằng: $\cos \alpha -\sin \alpha =\sqrt{2}\mathrm{cos(}\left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)).$

Hướng dẫn giải

Ta có:

Bài 6. Cho $\sin \alpha =\frac{1}{3}$ và $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi .$ Tính các giá trị lượng giác của góc 2α.

Hướng dẫn giải

Do $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ ⇒ cos α < 0.

Ta có: ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =\frac{8}{9}$

⇒ $\cos \alpha =-\frac{2\sqrt{2}}{3}$ (do cos α < 0).

$\tan 2\alpha =\frac{\sin 2\alpha }{\cos 2\alpha }=-\frac{4\sqrt{2}}{9}.\frac{9}{7}=-\frac{4\sqrt{2}}{7}.$

$\cot 2\alpha =\frac{1}{\tan 2\alpha }=-\frac{7\sqrt{2}}{8}.$

Bài 7. Tính α + β biết $\tan \alpha =\frac{2}{5},\tan \beta =\frac{3}{7}$.

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức cộng đối với tang, ta được: 

Vậy $\alpha +\beta =\frac{\pi }{4}$.

Bài 8. Cho $\cos 2a=-\frac{4}{5}$, với $\frac{\pi }{4}<a<\frac{\pi }{2}$. Tính sina, cosa, , sin2a, .

Hướng dẫn giải

Vì $\frac{\pi }{4}<a<\frac{\pi }{2}$ nên sina > 0, cosa > 0.

• Áp dụng công thức hạ bậc, ta được: ${\sin }^{2}a=\frac{1-\cos 2a}{2}=\frac{1+\frac{4}{5}}{2}=\frac{9}{10}$

Suy ra $\sin a=\frac{3}{\sqrt{10}}$ (do sina > 0)

• Áp dụng công thức hạ bậc, ta được: ${\cos }^{2}a=\frac{1+\cos 2a}{2}=\frac{1-\frac{4}{5}}{2}=\frac{1}{10}$.

Suy ra $\cos a=\frac{1}{\sqrt{10}}$.

• Áp dụng công thức cộng đối với sin, ta được:

$=\frac{3}{\sqrt{10}}.\frac{1}{2}+\frac{1}{\sqrt{10}}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{30}+3\sqrt{10}}{20}$.

• Áp dụng công thức nhân đôi, ta được:

$\sin 2a=2\sin a\cos a=2.\frac{3}{\sqrt{10}}.\frac{1}{\sqrt{10}}=\frac{3}{5}$.

• Áp dụng công thức cộng đối với côsin, ta được:

Bài 9. Chứng minh rằng:

a) ${\cos }^{3}x.\sin x-{\sin }^{3}x.\cos x=\frac{1}{4}\sin 4x$;

Hướng dẫn giải

a) VT = cos³x.sinx – sin³x.cosx

= cosx.sinx.(cos²x – sin²x)

$=\frac{1}{2}\sin 2x.\cos 2x$

$=\frac{1}{4}\sin 4x$ = VP.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài 10. Cho ∆ABC. Chứng minh rằng:

a) $\sin A+\sin B+\sin C=4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}$;

b) $\frac{\sin A+\sin B}{\cos A+\cos B}=\cot \frac{C}{2}$;

c) $\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C=\frac{2S}{R^2}$, với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và S là diện tích ∆ABC.

Hướng dẫn giải

∆ABC, có: $\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180°$, suy ra $\widehat{A}+\widehat{B}=180°-\widehat{C}$

Do đó $\frac{\widehat{A}+\widehat{B}}{2}=90°-\frac{\widehat{C}}{2}$.

b) $VT=\frac{\sin A+\sin B}{\cos A+\cos B}=\frac{2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}}{2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}}$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

c) VT = sin2A + sin2B + sin2C

= 2sin(A + B).cos(A – B) + 2sinC.cosC

= 2sin(180° – C).cos(A – B) + 2sinC.cosC

= 2sinC.cos(A – B) + 2sinC.cosC

= 2sinC.[cos(A – B) + cosC]

= 2sinC.[cos(A – B) + cos(180° – A – B)]

= 2sinC.[cos(A – B) – cos(A + B)]

= –4sinC.sinA.sin(–B)

= 4sinA.sinB.sinC

$=4.\frac{a}{2R}.\frac{b}{2R}.\frac{c}{2R}=\frac{abc}{4R}.\frac{2}{R^2}=\frac{2S}{R^2}=VP$.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

B. Lý thuyết Công thức lượng giác

1. Công thức cộng

cos (a – b) = cosa cosb + sina sinb

cos (a + b) = cosa cosb – sina sinb

sin (a – b) = sina cosb – cosa sinb

sin (a + b) = sina cosb + cosa sinb

tan (a-b) = $\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}$

tan (a+b) = $\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$

(giả thiết các biểu thức đều có nghĩa).

Ví dụ: Không dùng máy tính, hãy tính sin và tan 15°.

Hướng dẫn giải

Ta có

sin  = -sin$\frac{7\pi }{6}$ = -sin

= -sin$\pi$cos$\frac{\pi }{6}$ - cos$\pi$sin$\frac{\pi }{6}$ = -0.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ - (-1).$\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$.

Ta có

tan15^o = tan(60^o - 45^o) = $\frac{\tan 60°-\tan 45°}{1+\tan 60°.\tan 45°}$

$=\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}.1}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=2-\sqrt{3}$

2. Công thức nhân đôi

sin2a = 2sina cosa

cos2a = cos²a – sin²a = 2cos² – 1 = 1 – 2sin²a

tan2a = $\frac{2\tan a}{1-{\tan }^{2}a}$.

Chú ý: Từ công thức nhân đôi suy ra công thức hạ bậc:

${\cos }^{2}a=\frac{1+\cos 2a}{2}$

${\sin }^{2}a=\frac{1-\cos 2a}{2}$.

Ví dụ: Biết sinα = $\frac{2}{5}$ và 0 < α < $\frac{\pi }{2}$ . Tính sin2α ; cos2α và tan2α.

Hướng dẫn giải

Vì 0 < α < $\frac{\pi }{2}$ nên cosα > 0.

Ta có:

sin²α + cos²α = 1 ⇒ cos²α = 1 – sin²α = 1-= $\frac{21}{25}$

⇒ cosα = $\frac{\sqrt{21}}{5}$.

Ta có: sin2α = 2sinα cosα = $2.\frac{2}{5}.\frac{\sqrt{21}}{5}=\frac{4\sqrt{21}}{25}$

cos2α = 1 – 2sin²α = 1 - 2.= $\frac{17}{25}$

$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{2\sqrt{21}}{21}$

⇒ tan$2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }=$$=\frac{4\sqrt{21}}{17}$.

3. Công thức biến đổi tích thành tổng

cosacosb = $\frac{1}{2}$[cos(a-b) + cos(a+b)]

sinasinb = $\frac{1}{2}$[cos(a-b) - cos(a+b)]

sinacosb = $\frac{1}{2}$[sin(a-b) + sin(a+b)].

Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức

a) A = $\sin \frac{7\pi }{12}\cos \frac{5\pi }{12}$;

b) B = $\sin \frac{\pi }{12}\sin \frac{7\pi }{12}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

Vậy A = $\frac{1}{4}$.

b) Ta có:

Vậy B = $\frac{1}{4}$ .

4. Công thức biến đổi tổng thành tích

cosu + cosv = 2cos$\frac{u+v}{2}$cos$\frac{u-v}{2}$

cosu - cosv = -2sin$\frac{u+v}{2}$sin$\frac{u-v}{2}$

sinu + sinv = 2sin$\frac{u+v}{2}$cos$\frac{u-v}{2}$

sinu - sinv = 2cos$\frac{u+v}{2}$sin$\frac{u-v}{2}$.

Ví dụ: ChoA = cos$\frac{\pi }{17}$.cos$\frac{4\pi }{17}$ và B = cos$\frac{3\pi }{17}$ + cos$\frac{5\pi }{17}$. Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức $\frac{A}{B}$.

Hướng dẫn giải

Ta có:

B = cos$\frac{3\pi }{17}$ + cos$\frac{5\pi }{17}$ = 2.cos$\frac{\frac{3\pi }{17}+\frac{5\pi }{17}}{2}$.cos$\frac{\frac{3\pi }{17}-\frac{5\pi }{17}}{2}$

= 2.cos$\frac{4\pi }{17}$.cos = 2cos$\frac{4\pi }{17}$.cos$\frac{\pi }{17}$.

Suy ra $\frac{A}{B}=\frac{\cos \frac{\pi }{17}.\cos \frac{4\pi }{17}}{\cos \frac{3\pi }{17}+\cos \frac{5\pi }{17}}=\frac{\cos \frac{\pi }{17}.\cos \frac{4\pi }{17}}{2\cos \frac{4\pi }{17}.\cos \frac{\pi }{17}}=\frac{1}{2}$ .

Video bài giảng Toán 11 Bài 2: Công thức lượng giác - Kết nối tri thức