Nội dung bài viết
Tailieumoi.vn xin giới thiệu Bài tập Toán lớp 11 Công thức lượng giác, được sưu tầm và biên soạn theo chương trình học của 3 bộ sách mới. Bài viết gồm 20 bài tập với đầy đủ các mức độ và có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn luyện kiến thức và rèn luyện kĩ năng làm bài tập Toán 11. Ngoài ra, bài viết còn có phần tóm tắt nội dung chính lý thuyết Công thức lượng giác. Mời các bạn đón xem:
Bài tập Toán 11 Công thức lượng giác
A. Bài tập Công thức lượng giác
Bài 1. Tính sin2a và tan2a biết cos a = 14 và 3π2<a<2π.
Hướng dẫn giải
Vì 3π2<a<2πnên sina < 0.
Ta có:
sin2a + cos2a = 1 ⇒ sin2a = 1 – cos2a = 1 - = 1516
⇒ sina = −√154.
Ta có: sin2a = 2sina cosa = 2..14 = -√158
Ta có: tana = sinacosa=−√15
⇒tan2a=2tana1−tan2a===−2√15−14=√157.
Bài 2. Tính
a) sin biết sin a = 34 và 0 < a < π2;
b) cos3π8.cosπ8 + sin3π8.sinπ8.
Hướng dẫn giải
a) Vì 0<a<π2 nên cosa > 0.
Ta có: sin2a + cos2a = 1 ⇒ cos2a = 1 – sin2a = 1-=716
⇒ cosa = null.
Vậy sin=sinacosπ3−cosasinπ3=34.12−√74.√32=3−√218 .
Suy ra: cos3π8.cosπ8+sin3π8.sinπ8=√24+√24=√22.
Bài 3. Tính
a) cos(–15°) + cos255°;
b) sin13π24sin5π24.
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
cos(-15o) + cos255o = 2.cos−15°+255°2.cos−15°−255°2
= 2.cos120o.cos(135o) = 2
Vậy cos(–15°) + cos255° = √22.
b) Ta có:
Vậy sin13π24sin5π24=1+√24.
Bài 4. Rút gọn biểu thức sau:
Hướng dẫn giải
⇔ P=−2sinx
Vậy P = −2sin x.
Bài 5. Chứng minh rằng: cosα−sinα=√2cos((α+π4)).
Hướng dẫn giải
Ta có:
Bài 6. Cho sinα=13 và π2<α<π. Tính các giá trị lượng giác của góc 2α.
Hướng dẫn giải
Do π2<α<π ⇒ cos α < 0.
Ta có: cos2α=1−sin2α=89
⇒ cosα=−2√23 (do cos α < 0).
tan2α=sin2αcos2α=−4√29.97=−4√27.
cot2α=1tan2α=−7√28.
Bài 7. Tính α + β biết tanα=25, tanβ=37.
Hướng dẫn giải
Áp dụng công thức cộng đối với tang, ta được:
Vậy α+β=π4.
Bài 8. Cho cos2a=−45, với π4<a<π2. Tính sina, cosa, , sin2a,
.
Hướng dẫn giải
Vì π4<a<π2 nên sina > 0, cosa > 0.
• Áp dụng công thức hạ bậc, ta được: sin2a=1−cos2a2=1+452=910
Suy ra sina=3√10 (do sina > 0)
• Áp dụng công thức hạ bậc, ta được: cos2a=1+cos2a2=1−452=110.
Suy ra cosa=1√10.
• Áp dụng công thức cộng đối với sin, ta được:
=3√10.12+1√10.√32=√30+3√1020.
• Áp dụng công thức nhân đôi, ta được:
sin2a=2sinacosa=2.3√10.1√10=35.
• Áp dụng công thức cộng đối với côsin, ta được:
Bài 9. Chứng minh rằng:
a) cos3x.sinx−sin3x.cosx=14sin4x;
Hướng dẫn giải
a) VT = cos3x.sinx – sin3x.cosx
= cosx.sinx.(cos2x – sin2x)
=12sin2x.cos2x
=14sin4x = VP.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài 10. Cho ∆ABC. Chứng minh rằng:
a) sinA+sinB+sinC=4cosA2cosB2cosC2;
b) sinA+sinBcosA+cosB=cotC2;
c) sin2A+sin2B+sin2C=2SR2, với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC và S là diện tích ∆ABC.
Hướng dẫn giải
∆ABC, có: ˆA+ˆB+ˆC=180°, suy ra ˆA+ˆB=180°−ˆC
Do đó ˆA+ˆB2=90°−ˆC2.
b) VT=sinA+sinBcosA+cosB=2sinA+B2cosA−B22cosA+B2cosA−B2
Vậy ta có điều phải chứng minh.
c) VT = sin2A + sin2B + sin2C
= 2sin(A + B).cos(A – B) + 2sinC.cosC
= 2sin(180° – C).cos(A – B) + 2sinC.cosC
= 2sinC.cos(A – B) + 2sinC.cosC
= 2sinC.[cos(A – B) + cosC]
= 2sinC.[cos(A – B) + cos(180° – A – B)]
= 2sinC.[cos(A – B) – cos(A + B)]
= –4sinC.sinA.sin(–B)
= 4sinA.sinB.sinC
=4.a2R.b2R.c2R=abc4R.2R2=2SR2=VP.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Bài 11. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. sin(2018a) = 2018sina.cosa.
B. sin(2018a) = 2018sin(1009a).cos(1009a).
C. sin(2018a) = 2sinacosa.
D. sin(2018a) = 2sin(1009a).cos(1009a).
Đáp án đúng là: D
Áp dụng công thức sin2α = 2sinα.cosα ta được
sin(2018a) = 2sin(1009a).cos(1009a).
Bài 12. Khẳng định nào sai trong các khẳng định sau?
A. sin2x=1−cos2x2.
B. cos2x=1+cos2x2.
C. sinx=2sinx2cosx2.
D. cos3x=cos3x−sin3x.
Đáp án đúng là: D
Ta có cos3x = 4cos3x - 3cosx.
Bài 13. Công thức nào sau đây đúng?
A. cos3a = 3cosa - 4cos3a.
B. cos3a = 4cos3a - 3cosa.
C. cos3a = 3cos3a - 4cosa.
D. cos3a = 4cosa - 3cos3a.
Đáp án đúng là: B
Bài 14. Nếu tan(a+b) = 7, tan(a-b) = 4 thì giá trị đúng của tan2a là
A. −1127.
B. 1127.
C. −1327.
D. 1327
Đáp án đúng là: A
Ta có tan2a = tan[(a+b)+(a-b)] = tan(a+b)+tan(a−b)1+tan(a+b).tan(a−b)=7+41−7.4=−1127.
Bài 15. Cho x, y là các góc nhọn và dương thỏa mãn cotx = 34., coty = 17. Tổng x+y bằng
A. π4.
B. 3π4.
C. π3.
D. π.
Đáp án đúng là: B
Ta có cot(x+y) = cotx.coty−1cotx+coty=34.17−134+17=−1.
Mặt khác 0<x,y<π2 suy ra 0<x+y<π. Do đó x+y = 3π4.
Bài 16. Trong ∆ABC, nếu sinBsinC= 2cosA thì ∆ABC là tam giác có tính chất nào sau đây?
A. Cân tại B.
B. Cân tại A.
C. Cân tại C.
D. Vuông tại B.
Đáp án đúng là: A
Ta có sinBsinC= 2cosA⇒sinB = 2sinC.cosA = sin(C+A)+sin(C-A)
Mặt khác A+B+C = π⇒B = π-(A+C) ⇒sinB = sin(A+C).
Do đó, ta được sin(C-A) = 0⇒A = C.
B. Lý thuyết Công thức lượng giác
1. Công thức cộng
cos (a – b) = cosa cosb + sina sinb
cos (a + b) = cosa cosb – sina sinb
sin (a – b) = sina cosb – cosa sinb
sin (a + b) = sina cosb + cosa sinb
tan (a-b) = tana−tanb1+tanatanb
tan (a+b) = tana+tanb1-tanatanb
(giả thiết các biểu thức đều có nghĩa).
Ví dụ: Không dùng máy tính, hãy tính sin và tan 15°.
Hướng dẫn giải
Ta có
sin = -sin7π6 = -sin
= -sinπcosπ6 - cosπsinπ6 = -0.√32 - (-1).12 = 12.
Ta có
tan15o = tan(60o - 45o) = tan60°−tan45°1+tan60°.tan45°
=√3−11+√3.1=√3−1√3+1=2−√3
2. Công thức nhân đôi
sin2a = 2sina cosa
cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2 – 1 = 1 – 2sin2a
tan2a = 2tana1−tan2a.
Chú ý: Từ công thức nhân đôi suy ra công thức hạ bậc:
cos2a=1+cos2a2
sin2a=1−cos2a2.
Ví dụ: Biết sinα = 25 và 0 < α < π2 . Tính sin2α ; cos2α và tan2α.
Hướng dẫn giải
Vì 0 < α < π2 nên cosα > 0.
Ta có:
sin2α + cos2α = 1 ⇒ cos2α = 1 – sin2α = 1-= 2125
⇒ cosα = √215.
Ta có: sin2α = 2sinα cosα = 2.25.√215=4√2125
cos2α = 1 – 2sin2α = 1 - 2.= 1725
tanα=sinαcosα=2√2121
⇒ tan2α=2tanα1−tan2α==4√2117.
3. Công thức biến đổi tích thành tổng
cosacosb = 12[cos(a-b) + cos(a+b)]
sinasinb = 12[cos(a-b) - cos(a+b)]
sinacosb = 12[sin(a-b) + sin(a+b)].
Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức
a) A = sin7π12cos5π12;
b) B = sinπ12sin7π12.
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
Vậy A = 14.
b) Ta có:
Vậy B = 14 .
4. Công thức biến đổi tổng thành tích
cosu + cosv = 2cosu+v2cosu-v2
cosu - cosv = -2sinu+v2sinu-v2
sinu + sinv = 2sinu+v2cosu-v2
sinu - sinv = 2cosu+v2sinu-v2.
Ví dụ: ChoA = cosπ17.cos4π17 và B = cos3π17 + cos5π17. Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức AB.
Hướng dẫn giải
Ta có:
B = cos3π17 + cos5π17 = 2.cos3π17+5π172.cos3π17−5π172
= 2.cos4π17.cos = 2cos4π17.cosπ17.
Suy ra AB=cosπ17.cos4π17cos3π17+cos5π17=cosπ17.cos4π172cos4π17.cosπ17=12 .
Video bài giảng Toán 11 Bài 2: Công thức lượng giác - Kết nối tri thức