Với lời giải SBT Toán 11 trang 11 Tập 1 chi tiết trong Bài 2: Công thức lượng giác sách Kết nối tri thức giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Công thức lượng giác

Bài 1.12 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh đẳng thức sau

${\sin }^{4}a+{\cos }^{4}a=1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2a=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cos 4a$.

Lời giải:

sin⁴ a + cos⁴ a = (sin² a + cos² a)² – 2sin² a cos² a

= 1 – 2 . (sin a cos a)²

=$1-2.{\left(\frac{\sin 2a}{2}\right)}^2=1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2a$

$=1-\frac{1}{2}.\frac{1-\cos 4a}{2}=1-\frac{1-\cos 4a}{4}=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cos 4a$ 

Vậy ${\sin }^{4}a+{\cos }^{4}a=1-\frac{1}{2}{\sin }^{2}2a=\frac{3}{4}+\frac{1}{4}\cos 4a$ .

Bài 1.13 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) $A=\sin \frac{\pi }{9}-\sin \frac{5\pi }{9}+\sin \frac{7\pi }{9}$ ;

b) B = sin 6° sin 42° sin 66° sin 78°.

Lời giải:

a) $A=\sin \frac{\pi }{9}-\sin \frac{5\pi }{9}+\sin \frac{7\pi }{9}$

$=\left(\sin \frac{\pi }{9}+\sin \frac{7\pi }{9}\right)-\sin \frac{5\pi }{9}$

$=2\sin \frac{\frac{\pi }{9}+\frac{7\pi }{9}}{2}.\cos \frac{\frac{\pi }{9}-\frac{7\pi }{9}}{2}-\sin \frac{5\pi }{9}$

$=2\sin \frac{4\pi }{9}.\cos \frac{\pi }{3}-\sin \frac{5\pi }{9}$

$=\sin \frac{4\pi }{9}-\sin \frac{5\pi }{9}$

$=\sin \left(\pi -\frac{4\pi }{9}\right)-\sin \frac{5\pi }{9}$

$=\sin \frac{5\pi }{9}-\sin \frac{5\pi }{9}=0$.

Vậy A = 0.

b) Vì sin 78° = cos 12°; sin 66° = cos 24°; sin 42° = cos 48° nên

B = sin 6° cos 12° cos 24° cos 48°.

Nhân hai vế với cos 6° và áp dụng công thức góc nhân đôi, ta được:

cos 6° . B = cos 6° sin 6° cos 12° cos 24° cos 48°

      = $\frac{1}{2}\sin 12°$  cos 12° cos 24° cos 48°

      = $\frac{1}{4}$  sin 24° cos 24° cos 48°

      = $\frac{1}{8}$  sin 48° cos 48°

      = $\frac{1}{16}$  sin 96°

      = $\frac{1}{16}$  sin(90° + 6°) = $\frac{1}{16}$ cos 6°.

Vậy B = $\frac{1}{16}$ .

Bài 1.14 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng:

a) $\cos a-\sin a=\sqrt{2}\cos \left(a+\frac{\pi }{4}\right)$ ;

b) $\sin a+\sqrt{3}\cos a=2\sin \left(a+\frac{\pi }{3}\right)$ .

Lời giải:

a)$VP=\sqrt{2}\cos \left(a+\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\left(\cos a\cos \frac{\pi }{4}-\sin a\sin \frac{\pi }{4}\right)$ 

$=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos a-\frac{\sqrt{2}}{2}\sin a\right)$

$=\sqrt{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\cos a-\sin a\right)=\cos a-\sin a=VT$.

b) $VP=2\sin \left(a+\frac{\pi }{3}\right)=2\left(\sin a\cos \frac{\pi }{3}+\cos a\sin \frac{\pi }{3}\right)$

$=2\left(\frac{1}{2}\sin a+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos a\right)$$=\sin a+\sqrt{3}\cos a=VT$.

Bài 1.15 trang 11 SBT Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có

sin A + sin B + sin C = $4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}$ .

Lời giải:

$VT=\sin A+\sin B+\sin C=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}+2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}$.

Mặt khác, trong tam giác ABC, ta có A + B + C = π nên $\frac{A+B}{2}=\frac{\pi }{2}-\frac{C}{2}$ .

Từ đó suy ra: $\sin \frac{A+B}{2}=\cos \frac{C}{2},\sin \frac{C}{2}=\cos \frac{A+B}{2}$ .

Vậy $VT=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}+2\sin \frac{C}{2}\cos \frac{C}{2}$

$=2\cos \frac{C}{2}\cos \frac{A-B}{2}+2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{C}{2}$

$=2\cos \frac{C}{2}\left(\cos \frac{A-B}{2}+\cos \frac{A+B}{2}\right)$

$=2\cos \frac{C}{2}.2\cos \frac{\frac{A-B}{2}+\frac{A+B}{2}}{2}\cos \frac{\frac{A-B}{2}-\frac{A+B}{2}}{2}$

$=4\cos \frac{C}{2}\cos \frac{A}{2}\cos \left(-\frac{B}{2}\right)$

$=4\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\cos \frac{C}{2}=VP$ (điều phải chứng minh).