Trả lời nhanh
Bài 1.14 trang 11 sách bài tập Toán 11 tập 1 Kết nối tri thức hỏi hai đẳng thức. Ý a: cos a − sin a = √2 cos(a + π/4). Khai triển vế phải bằng công thức cộng: √2 [cos a · √2/2 − sin a · √2/2] = cos a − sin a, vì √2 · √2/2 = 1. Ý b: sin a + √3 cos a = 2 sin(a + π/3), vì 2 · (1/2) = 1 và 2 · (√3/2) = √3. Một bài khác chứng minh sin a + cos a = √2 cos(a − π/4); đó là tổng, không phải hiệu của bài này.
Đề bài và chứng minh ý a
Chứng minh rằng:
- a) cos a − sin a = √2 cos(a + π/4)
- b) sin a + √3 cos a = 2 sin(a + π/3)
Cách chắc nhất là xuất phát từ vế có góc cộng, khai triển, rồi so với vế còn lại. Công thức cần dùng:
- cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y
- sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y
- cos(π/4) = sin(π/4) = √2/2
- cos(π/3) = 1/2, sin(π/3) = √3/2
Với ý a, đặt vế phải là √2 cos(a + π/4). Thay y = π/4:
√2 cos(a + π/4) = √2 [cos a · cos(π/4) − sin a · sin(π/4)]
= √2 [cos a · √2/2 − sin a · √2/2]
= √2 · (√2/2) · (cos a − sin a)
= (2/2) · (cos a − sin a) = cos a − sin a.
Vế phải trùng vế trái. Đẳng thức đúng với mọi a mà các hàm xác định, tức là mọi số thực a.
Có thể đi ngược, từ vế trái. Ta “nhét” hệ số √2/2 vào trong ngoặc:
cos a − sin a = √2 · [(√2/2) cos a − (√2/2) sin a]
= √2 · [cos(π/4) cos a − sin(π/4) sin a]
= √2 cos(a + π/4).
Hai chiều cùng một phép. Chiều khai triển vế phải ít phải nhớ mẹo hơn, nên khi làm bài nên viết chiều đó trước.
Chứng minh ý b
Vế phải là 2 sin(a + π/3). Khai triển:
2 sin(a + π/3) = 2 [sin a · cos(π/3) + cos a · sin(π/3)]
= 2 [sin a · (1/2) + cos a · (√3/2)]
= 2 · (1/2) · sin a + 2 · (√3/2) · cos a
= sin a + √3 cos a.
Đó đúng là vế trái. Hệ số 2 ở ngoài không phải trang trí: nó triệt tiêu mẫu số 2 của cos(π/3) và sin(π/3), đồng thời để lại √3 đứng trước cos a.
Đi từ vế trái cũng được. Muốn ra dạng R sin(a + φ), viết:
sin a + √3 cos a = 2 [ (1/2) sin a + (√3/2) cos a ]
= 2 [ cos(π/3) sin a + sin(π/3) cos a ]
= 2 sin(a + π/3).
Dạng tổng quát đáng nhớ: A sin a + B cos a = R sin(a + φ), với R = √(A² + B²) và cos φ = A/R, sin φ = B/R, khi R > 0. Ở ý b, A = 1, B = √3, nên R = √(1 + 3) = 2, cos φ = 1/2, sin φ = √3/2, tức φ = π/3. Ý a là hiệu, nên góc cộng mang dấu trừ trong công thức cos, không phải cùng một φ với ý b.
Kiểm tra bằng số trước khi nộp
Một đẳng thức lượng giác đúng thì phải đúng khi thay vài giá trị dễ. Em không dùng vài số đúng để thay cho chứng minh, nhưng dùng chúng để bắt lỗi dấu.
| a | cos a − sin a | √2 cos(a + π/4) | sin a + √3 cos a | 2 sin(a + π/3) |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 − 0 = 1 | √2 · cos(π/4) = √2 · √2/2 = 1 | 0 + √3 · 1 = √3 | 2 · sin(π/3) = 2 · √3/2 = √3 |
| π/4 | √2/2 − √2/2 = 0 | √2 · cos(π/2) = 0 | √2/2 + √3 · √2/2 = √2(1 + √3)/2 | 2 · sin(π/4 + π/3) = 2 sin(7π/12) |
| π/2 | 0 − 1 = −1 | √2 · cos(3π/4) = √2 · (−√2/2) = −1 | 1 + √3 · 0 = 1 | 2 · sin(π/2 + π/3) = 2 sin(5π/6) = 2 · 1/2 = 1 |
Ba cột ý a khớp tại a = 0, a = π/4 và a = π/2. Ý b khớp tại a = 0 và a = π/2. Ô a = π/4 của ý b không cần rút gọn thêm: hai cách viết cùng một số, em chỉ cần không thấy mâu thuẫn với các mốc đã tính hết.
Thêm một mốc cho ý a khi a = π/6. Vế trái: √3/2 − 1/2 = (√3 − 1)/2. Vế phải: √2 cos(π/6 + π/4) = √2 cos(5π/12). Cos 75° = (√6 − √2)/4, nên √2 · (√6 − √2)/4 = (√12 − √4)/4 = (2√3 − 2)/4 = (√3 − 1)/2. Khớp.
Lỗi dấu và bài lẫn với tổng
Lỗi gặp nhiều nhất là nhớ nhầm dấu trong cos(x + y). Nếu viết cos(a + π/4) = cos a cos(π/4) + sin a sin(π/4) thì vế phải thành cos a + sin a, tức là tổng, không còn là hiệu. Dấu trừ nằm ở công thức cos của tổng, không nằm ở đề.
Lỗi thứ hai là thay sin(π/4) hoặc cos(π/4) bằng 1/2. Giá trị 1/2 thuộc góc π/3 và π/6. Góc π/4 luôn là √2/2. Nếu dùng nhầm 1/2, tích √2 · 1/2 không bằng 1, đẳng thức gãy ngay tại bước cuối.
Lỗi thứ ba là quên nhân hệ số ra ngoài ngoặc. √2 đứng trước cả ngoặc, nên √2 nhân vào từng hạng tử, hoặc nhân vào thừa số chung √2/2. Kết quả √2 · √2/2 = 2/2 = 1. Viết thành √2 · √2/2 = √2 là sai.
Một số lời giải trên mạng chứng minh sin a + cos a = √2 cos(a − π/4) = √2 sin(a + π/4). Đẳng thức ấy đúng, nhưng là bài khác: vế trái là tổng. Bài 1.14 ý a là hiệu cos a − sin a và góc a + π/4. Đừng chép lẫn hai đề. Nếu đề trường em viết sin α + cos α, em chứng minh tổng; nếu đề viết cos a − sin a, em chứng minh hiệu như trên.
Cùng vế trái của ý a còn một dạng nữa: cos a − sin a = √2 sin(π/4 − a). Thật vậy, sin(π/4 − a) = sin(π/4) cos a − cos(π/4) sin a = (√2/2)(cos a − sin a), nhân √2 thì ra hiệu. Dạng này tương đương, không mâu thuẫn với √2 cos(a + π/4).
Ba bài tập cùng kiểu
Bài 1. Chứng minh sin a + cos a = √2 sin(a + π/4).
Lời giải: √2 sin(a + π/4) = √2 [sin a · √2/2 + cos a · √2/2] = sin a + cos a.
Bài 2. Chứng minh √3 sin a + cos a = 2 sin(a + π/6).
Lời giải: 2 sin(a + π/6) = 2 [sin a · cos(π/6) + cos a · sin(π/6)] = 2 [sin a · √3/2 + cos a · 1/2] = √3 sin a + cos a. Ở đây R = √(3 + 1) = 2 và φ = π/6 vì cos(π/6) = √3/2 đứng trước sin a.
Bài 3. Tính giá trị của cos(π/12) − sin(π/12) bằng ý a.
Lời giải: Chọn a = π/12. Vế phải √2 cos(π/12 + π/4) = √2 cos(π/3) = √2 · 1/2 = √2/2. Vậy cos(π/12) − sin(π/12) = √2/2. Đây là một cách lấy giá trị góc 15° mà không cần công thức nhân đôi.
Khi trình bày trên giấy, mỗi ý một khối: ghi công thức, thay góc đặc biệt, rút hệ số, kết luận “điều phải chứng minh”. Không nhảy từ dòng đầu tới dòng cuối. Giáo viên chấm nhìn thấy dấu của cos(x + y) và tích √2 · √2/2.
Câu hỏi thường gặp
Bài 1.14 Toán 11 Kết nối tri thức chứng minh gì?
Ý a: cos a − sin a = √2 cos(a + π/4). Ý b: sin a + √3 cos a = 2 sin(a + π/3).
Vì sao √2 nhân với √2/2 lại ra 1?
Vì √2 · √2 = 2, chia cho 2 thì còn 1. Hệ số ấy khử đúng phần √2/2 của sin và cos góc π/4.
Công thức cos(a + π/4) lấy dấu nào?
Cos của một tổng mang dấu trừ: cos a cos(π/4) − sin a sin(π/4). Dấu cộng sẽ biến bài thành tổng sin a + cos a.
sin a + cos a có bằng √2 cos(a + π/4) không?
Không. Tổng sin a + cos a bằng √2 sin(a + π/4), cũng bằng √2 cos(a − π/4). Bài này là hiệu, góc là a + π/4.
Làm sao biết hệ số 2 ở ý b?
R = √(1² + (√3)²) = 2. Góc φ = π/3 vì cos φ = 1/2 và sin φ = √3/2.