Bài 4 trang 102 Toán 10 Tập 1 | Chân trời sáng tạo Giải Toán lớp 10

Nguyễn Linh Anh Ngày: 24-08-2024 Lớp 10

2.5 K

Với giải Bài 4 trang 102 Toán lớp 10 Chân trời sáng tạo chi tiết trong Bài tập cuối chương 5 học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:

Giải bài tập Toán lớp 10 Bài tập cuối chương 5

Bài 4 trang 102 Toán lớp 10: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Vẽ điểm E sao cho $\vec{C E} = \vec{A N}$ (Hình 1).

Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC

a) Tìm tổng của các vectơ $\vec{N C}$ và $\vec{M C}$ ; $\vec{A M}$ và $\vec{C D}$ ; $\vec{A D}$ và $\vec{N C}$ .

b) Tìm các vectơ hiệu: $\vec{N C} - \vec{M C}; \vec{A C} - \vec{B C}; \vec{A B} - \vec{M E}$ .

c) Chứng minh $\vec{A M} + \vec{A N} = \vec{A B} + \vec{A D}$ .

Phương pháp giải:

a) Chỉ ra các hình bình hành, từ đó suy ra các vectơ bằng nhau và vận dụng quy tắc hình bình hành.

b) Quy tắc hiệu: $\vec{A B} - \vec{A C} = \vec{C B}$ , quy tắc ba điểm $\vec{A B} = \vec{A O} + \vec{O B}$ và thay thế các vectơ bằng nhau $\vec{M E} = \vec{A D}$

c) Thay thế các vectơ bằng nhau $\vec{A N} = \vec{M C}$ ; sử dụng quy tắc hình bình hành $\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$ (với ABCD là hình bình hành)

Lời giải:

a) Ta có: $\vec{C E} = \vec{A N} \Rightarrow C E / / A N$ và $C E = A N = N D = B M = M C$

Suy ra $\vec{M C} = \vec{C E}$

+) $\vec{N C} + \vec{M C} = \vec{N C} + \vec{C E} = \vec{N E}$

+) ABCD là hình bình hành nên $\vec{C D} = \vec{B A}$

$\vec{A M} + \vec{C D} = \vec{A M} + \vec{B A} = \vec{B M}$

+) Ta có $\vec{M C} = \vec{A N} \Rightarrow A M C N$ là hình bình hành nên $\vec{N C} = \vec{A M}$

$\vec{A D} + \vec{N C} = \vec{A D} + \vec{A M} = \vec{A E}$ (vì AMED là hình bình hành)

b) Ta có:

+) $\vec{N C} - \vec{M C} = \vec{N C} + \vec{C M} = \vec{N M}$

+) $\vec{A C} - \vec{B C} = \vec{A C} + \vec{C B} = \vec{A B}$

+) $\vec{A B} - \vec{M E} = \vec{A B} - \vec{A D} = \vec{A B} + \vec{D A} = \vec{D B}$

c) Ta có:

$\vec{A M} + \vec{A N} = \vec{A M} + \vec{M C} = \vec{A C}$

Áp dụng quy tắc hình bình hành vào hình bình hành ABCD ta có

$\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C}$

Từ đó suy ra $\vec{A M} + \vec{A N} = \vec{A B} + \vec{A D}$ (đpcm)

Bài tập vận dụng:

Bài 1. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi M là trung điểm đoạn BC.

a) Gọi tên các vectơ cùng hướng với $\vec{B C}$ .

b) Gọi tên các vectơ ngược hướng với $\vec{B M}$ .

c) Chỉ ra các cặp vectơ bằng nhau và đối nhau có các điểm đầu hoặc điểm cuối là A, B, C, D, M.

Hướng dẫn giải

a) Vectơ-không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ nên $\vec{0}$ cùng hướng với $\vec{B C}$ .

Các vectơ cùng hướng với vectơ $\vec{B C}$ và khác $\vec{0}$ là các vectơ có giá song song hoặc trùng với $\vec{B C}$ và có hướng từ trên xuống dưới giống như $\vec{B C}$ .

Các vectơ thỏa mãn 2 điều kiện trên là: $\vec{B M}, \vec{M C}, \vec{A D}$ .

Vậy có 4 vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $\vec{0}, \vec{B M}, \vec{M C}, \vec{A D}$ .

b) Vì vectơ-không cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ nên vectơ đối của vectơ-không ngược hướng với $\vec{B M}$ .

Vectơ đối của vectơ-không là chính nó nên $\vec{0}$ ngược hướng với vectơ $\vec{B M}$ .

Các vectơ ngược hướng với $\vec{B M}$ là các vectơ có giá song song hoặc trùng với $\vec{B M}$ và có hướng ngược lại với $\vec{B M}$ , nghĩa là các vectơ cần tìm có hướng dưới lên trên.

Các vectơ thỏa mãn 2 điều kiện trên là: $\vec{M B}, \vec{C M}, \vec{C B}, \vec{D A}$ .

Vậy có 5 vectơ thỏa mãn yêu cầu bài toán là: $\vec{0}, \vec{M B}, \vec{C M}, \vec{C B}, \vec{D A}$ .

c) - Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB // CD và AB = CD (tính chất hình chữ nhật)

Mà hai vectơ $\vec{A B}, \vec{D C}$ cùng hướng và hai vectơ $\vec{B A}, \vec{C D}$ cùng hướng.

Do đó $\vec{A B} = \vec{D C}$ và $\vec{B A} = \vec{C D}$ .

+ Tương tự ta có: $\vec{A D} = \vec{B C}$ và $\vec{D A} = \vec{C B} .$

+ M là trung điểm của BC nên BM = MC = $\frac{B C}{2}$

Mà hai vectơ $\vec{B M}, \vec{M C}$ cùng hướng và hai vectơ $\vec{M B}, \vec{C M}$ cúng hướng.

Do đó $\vec{B M} = \vec{M C}$ và $\vec{M B} = \vec{C M} .$

- $\vec{A B}$ và $\vec{C D}$ là hai vectơ cùng độ dài nhưng ngược hướng nên $\vec{A B} = - \vec{C D} .$

Do đó $\vec{A B}$ và $\vec{C D}$ là hai vectơ đối nhau.

Tương tự ta có các cặp vectơ đối nhau là: $\vec{B A}$ và $\vec{D C}$ ; $\vec{A D}$ và $\vec{C B;}$ $\vec{D A}$ và $\vec{B C}$ ; $\vec{B M}$ và $\vec{C M;}$ $\vec{M B}$ và $\vec{M C}$

Bài 2. Một con thuyền trôi theo hướng nam vận tốc 25 km/h, dòng nước chảy theo hướng đông với vận tốc 10 km/h. Tính độ dài vectơ tổng của hai vectơ nói trên (làm tròn kết quả đến hàng trăm).

Hướng dẫn giải