Với lời giải SBT Toán 11 trang 15 Tập 1 chi tiết trong Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác sách Cánh diều giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 11. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán 11 Bài 2: Các phép biến đổi lượng giác

Bài 18 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Chọn đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau:

A. ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=\frac{3-\cos 4x}{4}$ .

B. ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=\frac{3+\cos 4x}{4}$ .

C. ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=\frac{3+\cos 4x}{2}$ .

D. ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=\frac{3-\cos 4x}{2}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có sin⁴ x + cos⁴ x = 1 – 2sin² x cos² x (theo Bài 9a)

= 1 – 2 (sin x cos x)² = $1-2{\left(\frac{\sin 2x}{2}\right)}^2=1-2.\frac{{\sin }^{2}2x}{4}=1-\frac{2\left(1-{\cos }^{2}2x\right)}{4}$

$=1-\frac{2-2{\cos }^{2}2x}{4}=\frac{4-2+2{\cos }^{2}2x}{4}$$=\frac{3+\left(2{\cos }^{2}2x-1\right)}{4}=\frac{3+\cos 4x}{4}$.

Vậy ${\sin }^{4}x+{\cos }^{4}x=\frac{3+\cos 4x}{4}$ .

Bài 19 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Rút gọn biểu thức cos(120° – x) + cos(120° + x) – cos x ta được kết quả là:

A. – 2cos x.

B. – cos x.

C. 0.

D. sin x – cos x.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có cos(120° – x) + cos(120° + x) – cos x

= cos 120° cos x + sin 120° sin x + cos 120° cos x – sin 120° sin x – cos x

= 2 cos 120° cos x – cos x

= 2 . $\left(-\frac{1}{2}\right)$  . cos x – cos x

= – cos x – cos x

= – 2 cos x.

Bài 20 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Nếu $\cos a=\frac{3}{4}$  thì giá trị của $\cos \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2}$  bằng:

A. $\frac{23}{16}$ .

B. $\frac{7}{8}$ .

C. $\frac{7}{16}$ .

D. $\frac{23}{8}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $\cos \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2}={\cos }^2\frac{a}{2}=\frac{1+\cos 2.\frac{a}{2}}{2}=\frac{1+\cos a}{2}=\frac{1+\frac{3}{4}}{2}=\frac{7}{8}$ .

Bài 21 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Nếu $\cos a=\frac{\sqrt{5}}{3}$  thì giá trị của biểu thức $A=4\sin \left(a+\frac{\pi }{3}\right)\sin \left(a-\frac{\pi }{3}\right)$  bằng:

A. $-\frac{11}{9}$ .

B. $\frac{11}{9}$ .

C. $-\frac{1}{9}$ .

D. $\frac{1}{9}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $A=4\sin \left(a+\frac{\pi }{3}\right)\sin \left(a-\frac{\pi }{3}\right)$

$=-2\left(\cos 2a-\cos \frac{2\pi }{3}\right)$

Bài 22 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Nếu $\cos a=\frac{1}{3},\sin b=\frac{-2}{3}$  thì giá trị cos(a + b) cos(a − b) bằng:

A. $-\frac{2}{3}$ .

B. $\frac{1}{3}$ .

C. $\frac{2}{3}$ .

D. $-\frac{1}{3}$ .

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có cos(a + b) cos(a − b)  

$=\frac{1}{2}\left(\cos 2a+\cos 2b\right)$

Bài 23 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Giá trị của biểu thức $P=\frac{\sin \frac{\pi }{9}+\sin \frac{5\pi }{9}}{\cos \frac{\pi }{9}+\cos \frac{5\pi }{9}}$  bằng:

A. $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

B. $-\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

C. $\sqrt{3}$ .

D. $-\sqrt{3}$ .                                                                     

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $P=\frac{\sin \frac{\pi }{9}+\sin \frac{5\pi }{9}}{\cos \frac{\pi }{9}+\cos \frac{5\pi }{9}}$$=\frac{2\sin \frac{\frac{\pi }{9}+\frac{5\pi }{9}}{2}\cos \frac{\frac{\pi }{9}-\frac{5\pi }{9}}{2}}{2\cos \frac{\frac{\pi }{9}+\frac{5\pi }{9}}{2}\cos \frac{\frac{\pi }{9}-\frac{5\pi }{9}}{2}}$

$=\frac{\sin \frac{\pi }{3}\cos \left(-\frac{2\pi }{9}\right)}{\cos \frac{\pi }{3}\cos \left(-\frac{2\pi }{9}\right)}=\frac{\sin \frac{\pi }{3}}{\cos \frac{\pi }{3}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$.

Bài 24 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Rút gọn biểu thức $A=\frac{\sin x+\sin 2x+\sin 3x}{\cos x+\cos 2x+\cos 3x}$  ta được kết quả là:

A. tan x. 

B. tan 3x.

C. tan 2x.

D. tan x + tan 2x + tan 3x.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $A=\frac{\sin x+\sin 2x+\sin 3x}{\cos x+\cos 2x+\cos 3x}$ $=\frac{\left(\sin x+\sin 3x\right)+\sin 2x}{\left(\cos x+\cos 3x\right)+\cos 2x}$

$=\frac{2\sin \frac{x+3x}{2}\cos \frac{x-3x}{2}+\sin 2x}{2\cos \frac{x+3x}{2}\cos \frac{x-3x}{2}+\cos 2x}$ $=\frac{2\sin 2x\cos \left(-x\right)+\sin 2x}{2\cos 2x\cos \left(-x\right)+\cos 2x}$

$=\frac{\sin 2x\left(2\cos x+1\right)}{\cos 2x\left(2\cos x+1\right)}=\frac{\sin 2x}{\cos 2x}=\tan 2x$.

Bài 25 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Cho $\sin a=\frac{2}{3}$  với $\frac{\pi }{2}<a<\pi$ . Tính:

a) cos a, tan a;

b) $\sin \left(a+\frac{\pi }{4}\right),\cos \left(a-\frac{5\pi }{6}\right),\tan \left(a+\frac{2\pi }{3}\right)$ ;

c) sin 2a, cos 2a.

Lời giải:

a) Vì $\frac{\pi }{2}<a<\pi$  nên cos a < 0, do đó từ sin² a + cos² a = 1, suy ra

$\cos a=-\sqrt{1-{\sin }^{2}a}=-\sqrt{1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^2}=-\frac{\sqrt{5}}{3}$.

Ta có $\tan a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{\sqrt{5}}{3}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

b) $\sin \left(a+\frac{\pi }{4}\right)$$=\sin a\cos \frac{\pi }{4}+\cos a\sin \frac{\pi }{4}$$=\frac{2}{3}.\frac{\sqrt{2}}{2}+\left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right).\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{10}}{6}$ .

$\cos \left(a-\frac{5\pi }{6}\right)$$=\cos a\cos \frac{5\pi }{6}+\sin a\sin \frac{5\pi }{6}$$=\left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right).\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\frac{2}{3}.\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{15}+2}{6}$.

$\tan \left(a+\frac{2\pi }{3}\right)$$=\frac{\tan a+\tan \frac{2\pi }{3}}{1-\tan a\tan \frac{2\pi }{3}}=\frac{-\frac{2\sqrt{5}}{5}+\left(-\sqrt{3}\right)}{1-\left(-\frac{2\sqrt{5}}{5}\right).\left(-\sqrt{3}\right)}=\frac{8\sqrt{5}+9\sqrt{3}}{7}$.

c) $\sin 2a=2\sin a\cos a=2.\frac{2}{3}.\left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)=-\frac{4\sqrt{5}}{9}$ .

$\cos 2a=2{\cos }^{2}a-1=2.{\left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)}^2-1=\frac{1}{9}$.

Bài 26 trang 15 SBT Toán 11 Tập 1: Cho cos a = 0,2 với π < a < 2π. Tính $\sin \frac{a}{2}$ , $\cos \frac{a}{2}$ , $\tan \frac{a}{2}$ .

Lời giải:

Do π < a < 2π nên $\frac{\pi }{2}<\frac{a}{2}<\pi$ . Suy ra $\sin \frac{a}{2}>\mathrm{0,}\cos \frac{a}{2}<0$ .

Ta có: ${\sin }^2\frac{a}{2}=\frac{1-\cos a}{2}=\frac{1-\mathrm{0,2}}{2}=\mathrm{0,4}$ , suy ra $\sin \frac{a}{2}=\frac{\sqrt{10}}{5}$ .

Do đó, $\cos \frac{a}{2}=-\sqrt{1-{\sin }^2\frac{a}{2}}=-\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{10}}{5}\right)}^2}=-\frac{\sqrt{15}}{5}$ .

$\tan \frac{a}{2}=\frac{\sin \frac{a}{2}}{\cos \frac{a}{2}}=\frac{\frac{\sqrt{10}}{5}}{-\frac{\sqrt{15}}{5}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$.