Với giải sách bài tập Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến sách Cánh diều hay, chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập trong SBT Toán 8. Mời các bạn đón xem:

Giải SBT Toán lớp 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến

Giải SBT Toán 8 trang 11

Bài 8 trang 11 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hai đa thức: A = x⁷ ‒ 4x³y² ‒ 5xy + 7; B = x⁷ + 5x³y² ‒ 3xy ‒ 3.

a) Tìm đa thức C sao cho C = A + B.

b) Tìm đa thức D sao cho A + D = B.

Lời giải:

a) C = A + B = x⁷ ‒ 4x³y² ‒ 5xy + 7 + x⁷ + 5x³y² ‒ 3xy ‒ 3

= (x⁷ + x⁷) + (‒ 4x³y² + 5x³y²) + (‒ 5xy ‒ 3xy) + 4

= 2x⁷ + x³y² ‒ 8xy + 4.

Vậy C = 2x⁷ + x³y² ‒ 8xy + 4.

b) Ta có A + D = B

Suy ra D = B ‒ A

= x⁷ + 5x³y² ‒ 3xy ‒ 3 ‒ (x⁷ ‒ 4x³y² ‒ 5xy + 7)

= x⁷ + 5x³y² ‒ 3xy ‒ 3 ‒ x⁷ + 4x³y² + 5xy ‒ 7

= (x⁷ ‒ x⁷) + (5x³y² + 4x³y²) + (‒ 3xy + 5xy) + (–3 – 7)

= 9x³y² + 2xy ‒ 10.

Vậy D = 9x³y² + 2xy ‒ 10.

Bài 9 trang 11 SBT Toán 8 Tập 1: Rút gọn biểu thức:

a) 2x(x² + y) ‒ x(2y + 1) ‒ x(2x² ‒ 21y);

b) 5x(6y ‒ x²) + 3y(y ‒ 10x) ‒ 3y(y ‒ 1) + 15x³;

c) 18xⁿ⁺¹(yⁿ⁺¹ + xⁿ⁺³) + 9y³(‒2xⁿ⁺¹y^n‒2 + 1)với n là số tự nhiên lớn hơn 2.

Lời giải:

a) 2x(x² + y) ‒ x(2y + 1) ‒ x(2x² ‒ 21y)

= 2x³ + 2xy ‒ 2xy ‒ x ‒ 2x³ + 21xy

= (2x³– 2x³) + (2xy ‒ 2xy + 21xy) ‒ x

= 21xy ‒ x.

b) 5x(6y ‒ x²) + 3y(y ‒ 10x) ‒ 3y(y ‒ 1) + 15x³

= 30xy ‒ 5x³ + 3y² ‒ 30xy ‒ 3y² + 3y + 15x³

= (30xy – 30xy) + (‒ 5x³ + 15x³) + (3y² ‒ 3y²) + 3y

= 10x³ + 3y.

c) 18xⁿ⁺¹(yⁿ⁺¹ + xⁿ⁺³) + 9y³(‒2xⁿ⁺¹y^n‒2 + 1)

= 18xⁿ⁺¹yⁿ⁺¹+ 18x^{n+1+ n + 3} – 18xⁿ⁺¹y^{3 + n – 2} + 9y³

= 18xⁿ⁺¹yⁿ⁺¹ + 18x²ⁿ⁺⁴ ‒ 18xⁿ⁺¹yⁿ⁺¹ + 9y³

= 18x²ⁿ⁺⁴ + 9y³.

Giải SBT Toán 8 trang 12

Bài 10 trang 12 SBT Toán 8 Tập 1: Tìm ba số tự nhiên liên tiếp, biết tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số trước là 12 đơn vị.

Lời giải:

Gọi ba số tự nhiên liên tiếp cần tìm là a, a + 1, a + 2.

Do tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số trước là 12 đơn vị nênta có:

(a + 1)(a + 2) ‒ a(a + 1) = 12.

Do đó a² + 2a + a + 2 ‒ a² ‒ a = 12

Hay 2a = 10

Suy ra a = 5

Vậy 3 số cần tìm là: 5; 6; 7.

Bài 11 trang 12 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến:

a) M = (x ‒ 1)(x² + x + 1) ‒ x²(x ‒ 1) ‒ x² ‒ 23;

b) $N=\left(x-\frac{1}{2}y\right)\left(x^2+2y\right)-x\left(x^2+2y\right)+y\left(\frac{1}{2}{x}^2+y\right)-\frac{1}{2}$.

Lời giải:

a) Ta có:

M = (x ‒ 1)(x² + x + 1) ‒ x²(x ‒ 1) ‒ x² ‒ 23

= x³ + x² + x ‒ x² ‒ x ‒ 1 ‒ x³ + x² ‒ x² ‒ 23

= (x³ ‒ x³) + (x² ‒ x²) + (x ‒ x) + (‒1 ‒ 23)

= ‒24.

Vậy giá trị của M không phụ thuộc vào giá trị của biến.

b) Ta có:

$N=\left(x-\frac{1}{2}y\right)\left(x^2+2y\right)-x\left(x^2+2y\right)+y\left(\frac{1}{2}{x}^2+y\right)-\frac{1}{2}$

$=x^3+2xy-\frac{1}{2}{x}^{2}y-y^2-x^3-2xy+\frac{1}{2}{x}^{2}y+y^2-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$

Vậy giá trị của Nkhông phụ thuộc vào giá trị của biến.

Bài 12 trang 12 SBT Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng biểu thức P = (2y ‒ x)(x + y) + x(y ‒ x) ‒ 2y(x + 5y) ‒ 1 luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x và y.

Lời giải:

Ta có:

P = (2y ‒ x)(x + y) + x(y ‒ x) ‒ 2y(x + 5y) ‒ 1

= 2xy + 2y² ‒ x² ‒ xy +xy ‒ x² ‒ 2xy ‒ 10y² ‒ 1

= (2xy – xy + xy – 2xy) + (2y² ‒ 10y²) + (‒ x² ‒ x²) – 1

= ‒8y² ‒ 2x² ‒ 1.

Do với mọi giá trị của x, y ta có: x² ≥ 0, y² ≥ 0 nên ‒ 2x² ≤0, ‒8y² ≤0

Suy ra ‒8y² ‒ 2x² ‒ 1≤ ‒1với mọi giá trị của biến x, y.

Vậy P luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x và y.

Bài 13 trang 12 SBT Toán 8 Tập 1: Cho hai đơn thức: A = ‒132xⁿ⁺¹y¹⁰zⁿ⁺²; B = 1,2x⁵yⁿzⁿ⁺¹với n là số tự nhiên.

a) Tìm các số tự nhiên n để đơn thức A chia hết cho đơn thức B.

b) Tìm đa thức P sao cho P = A : B.

c) Tính giá trị của đa thức P tại n = 9; x = 2; y = –1; z = 5,8.

Lời giải:

a) Đơn thức Achia hết cho đơn thức B khi mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ không lớn hơn số mũ của nó trong A.

Suy ra 

Do đó 

Mà n ∈ ℕ nên n ∈ {4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}.

Vậy n ∈ {4; 5; 6; 7; 8; 9; 10}thì đơn thức Achia hết cho đơn thức B.

b) Ta có: P = A : B

= (‒132xⁿ⁺¹y¹⁰zⁿ⁺²) : (1,2x⁵yⁿzⁿ⁺¹)

= (‒132 : 1,2)(xⁿ⁺¹: x⁵)(y^10‒yⁿ)(zⁿ⁺²: z^{n + 1})

= ‒110x^n+1‒5y^10‒nz^n+2‒n‒1

= ‒110x^n‒4y^10‒nz.

Vậy P = ‒110x^n‒4y^10‒nz.

c) Thay n = 9; x = 2; y = –1; z = 5,8 vào P ta có:

P = ‒110.2^9‒4.(‒1)^10‒9.5,8

= ‒110.2⁵.(–1).5,8

= 110. 32 . 5,8

= 20 416.

Vậy P = 20 416.

Bài 14 trang 12 SBT Toán 8 Tập 1: Một mảnh đất có dạng hình chữ nhật với chiều dài là x (m), chiều rộng là y (m) với 1 < y < x. Người ta để lối đi có độ rộng 1 (m) (phần không tô màu) như Hình 2.

a) Viết đa thức S biểu thị diện tích phần còn lại của mảnh đất đó.

b) Tính giá trị của S tại x = 9; y = 5,4.

Lời giải:

a) Phần còn lại của mảnh đất gồm bốn miếng đất bằng nhau có dạng hình chữ nhật với chiều dài bằng $\frac{x-1}{2}$(m), chiều rộng bằng $\frac{y-1}{2}$(m).

Vậy đa thức biểu thị diện tích phần còn lại của mảnh đất đó là:

$S=4.\frac{x-1}{2}.\frac{y-1}{2}=xy-x-y+1\left(m^2\right)$.

b) Thay x = 9; y = 5,4 vào S ta có:

S = 9.5,4 – 9 – 5,4 +1 = 48,6 – 9 – 5,4 + 1 = 35,2 (m²)

Xem thêm các bài giải SBT Toán lớp 8 Cánh diều hay, chi tiết khác:

Bài 1: Đơn thức nhiều biến. Đa thức nhiều biến

Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến

Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài 4: Vận dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử

Bài tập cuối chương 1

Lý thuyết Các phép tính với đa thức nhiều biến

1. Cộng hai đa thức nhiều biến

Để cộng hai đa thức theo hàng ngang, ta có thể làm như sau:

- Viết tổng hai đa thức theo hàng ngang;

- Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau;

- Thực hiện phép tính trong từng nhóm, ta được tổng cần tìm.

2. Trừ hai đa thức nhiềm biến

Để trừ đa thức P cho đa thức Q theo hàng ngang, ta có thể làm như sau:

- Viết hiệu P và Q theo hàng ngang, trong đó đa thức Q được đặt trong dấu ngoặc;

- Sau khi bỏ dấu ngoặc và đổi dấu mỗi đơn thức của đa thức Q, nhóm các đơn thức dồng dạng với nhau;

- Thực hiện phép tính trong từng nhóm, ta được hiệu cần tìm.

Ví dụ:

Cho hai đa thức $A=3x^2-xy$và $B=x^2+2xy-y^2$

$\begin{array}{l}A+B=\left(3x^2-xy\right)+\left(x^2+2xy-y^2\right)\\ =3x^2-xy+x^2+2xy-y^2\\ =(3x^2+x^2)+(-xy+2xy)-y^2\\ =4x^2+xy-y^2\end{array}$

$\begin{array}{l}A-B=\left(3x^2-xy\right)-\left(x^2+2xy-y^2\right)\\ =3x^2-xy-x^2-2xy+y^2\\ =(3x^2-x^2)+(-xy-2xy)+y^2\\ =2x^2-3xy+y^2\end{array}$

3. Nhân đa thức

Nhân hai đơn thức

Để nhân hai đơn thức, ta nhân các hệ số với nhau, nhân các phần biến với nhau; thu gọn đơn thức nhận được ở tích.

Ví dụ: $(-3x^{2}y)(4xy)=\left[\left(-3.4\right)\right].(x^2.x).\left(y.y\right)=-12.x^3.y^2$

Nhân đơn thức với đa thức 

Để nhân đơn thức với đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng đơn thức của đa thức, rồi cộng các kết quả với nhau.

Ví dụ:

$\begin{array}{l}3x^{2}y\left(2x^{2}y-xy+3y^2\right)\\ =(3x^{2}y).(2x^{2}y)-(3x^{2}y).(xy)+(3x^{2}y).(3y^2)\\ =\mathrm{3.2.}(x^2.x^2)\left(y.y\right)-3.(x^2.x).\left(y.y\right)+\mathrm{3.3.}{x}^2.\left(y.y^2\right)\\ =6x^4{y}^2-3x^3.y^2+9x^2{y}^3\end{array}$

Nhân hai đa thức

Để nhân hai đa thức, ta nhân mỗi đơn thức của đa thức này với từng đơn thức của đa thức kia, rồi cộng các kết quả với nhau.

Ví dụ:

$\begin{array}{l}(xy+1)(xy-3)\\ =(xy).\left(xy\right)+xy-3xy-3\\ =x^2{y}^2-2xy-3\end{array}$

4. Chia đa thức cho đơn thức

Hai đơn thức chia hết cho nhau

Đơn thức A chia hết cho đơn thức B ($B\ne 0$) khi mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ không lớn hơn số mũ của nó trong A.

Chia đa thức cho đơn thức 

Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (với A chia hết cho B), ta làm như sau:

- Chia hệ số của A cho hệ số của B.

- Chia lũy thừa của từng biến trong A cho lũy thừa của cùng biến đó trong B.

- Nhân các kết quả vừa tìm được cho nhau.

Ví dụ:

 $\begin{array}{l}16x^4{y}^3:(-8x^3{y}^2)\\ =(16:(-8)).(x^4:x^3).\left(y^3:y^2\right)\\ =-2xy\end{array}$

Đa thức chia hết cho đơn thức

Đa thức A chia hết cho B ($B\ne 0$) khi mỗi đơn thức của A chia hết cho B.

Chia đa thức cho đơn thức

Muốn chia một đa thức cho một đơn thức (trường hợp chia hết), ta chia từng hạng tử của đa thức cho đơn thức đó, rồi cộng các kết quả tìm được với nhau.

Ví dụ:

$\begin{array}{l}(x^{2}y+y^{2}x):xy\\ =x^{2}y:xy+y^{2}x:xy\\ =x+y\end{array}$