Bài toán min-max liên quan hàm số mũ, logarit nhiều biến

Bài toán min-max liên quan hàm số mũ, logarit nhiều biến - Đặng Việt Đông

Quang Trung Ngày: 08-03-2024 Lớp 12

Tải xuống 51 2.9 K 27

Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Bài toán min-max liên quan hàm số mũ, logarit nhiều biến - Đặng Việt Đông, tài liệu bao gồm 51 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

MIN – MAX LIÊN QUAN HÀM MŨ, HÀM LÔGARIT (NHIỀU BIẾN)

Dạng 1. Áp dụng đánh giá, áp dụng bất đẳng thức.

Dạng 2. Áp dùng phương pháp hàm số, hàm đặc trưng.

Dạng 3. Áp dụng hình học giải tích.

ÁP DỤNG ĐÁNH GIÁ, ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC

Câu 1: Xét các số thức a, b, x, y thỏa mãn $a > 1,b > 1$ và ${a^x} = {b^y} = \sqrt[3]{{ab}}$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = x + 3y$ thuoộc tập hợp nào dưới đây?

A. (0 ; 1).

B. $\left( {2;\frac{5}{2}} \right),\left( {\frac{3}{2};2} \right)$.

C. $\left( {\frac{3}{2};2} \right)$.

D. $\left( {\frac{5}{2};3} \right)$.

Lời giải

Chọn B

${a^x} = {b^y} = \sqrt[3]{{ab}} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {{\log }_a}\sqrt[3]{{ab}} = \frac{1}{3}\left( {1 + {{\log }_a}b} \right)}\\{y = {{\log }_b}\sqrt[3]{{ab}} = \frac{1}{3}\left( {1 + {{\log }_b}a} \right)}\end{array}} \right.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow Q = x + 3y\\ = \frac{1}{3}\left( {1 + {{\log }_a}b} \right) + 1 + {\log _b}a\\ = \frac{4}{3} + \frac{1}{3}{\log _a}b + {\log _b}a\\ \ge \frac{4}{3} + 2\sqrt {\frac{1}{3}} \in \left( {2;\frac{5}{2}} \right)\end{array}$

Câu 2: Cho hai số thực a, b đều lớn hơn 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S = \frac{1}{{{{\log }_{ab}}a}} + \frac{1}{{{{\log }_{\sqrt[4]{{ab}}}}b}}$ bằng

A. $\frac{4}{9}$.

B. $\frac{9}{4}$

C. $\frac{9}{2}$

D. $\frac{1}{4}$

Lời giải

Chọn B

Ta có

$S = \frac{1}{\log_{a b} a} + \frac{1}{\log_{\sqrt[4]{a b} b}} = \log_{a} (a b) + \log_{b} \sqrt[4]{a b}$

$= 1 + \log_{a} b + \frac{1}{4} (\log_{b} a + 1) = \log_{a} b + \frac{1}{4 \log_{a} b} + \frac{5}{4}$

Đặt $x = {\log _a}b$. Do a, b>1 nên x>0.

Khi đó $S = x + \frac{1}{{4x}} + \frac{5}{4} \ge 2\sqrt {x \cdot \frac{1}{{4x}}} + \frac{5}{4} = \frac{9}{4}$ (Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dương x và $\frac{1}{4}x$ ). Dấu " = " xảy ${\rm{ra}} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{1}{{4x}}}\\{x > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \pm \frac{1}{2}}\\{x > 0}\end{array} \Rightarrow x = \frac{1}{2}} \right.} \right.$.

Vậy $\min S = \frac{9}{4}$ tại ${\log _a}b = \frac{1}{2} \Leftrightarrow b = \sqrt a $.

Câu 3: Với a, b, c là các số thực lớn hơn 1 , đặt $x = {\log _a}(bc),y = {\log _b}(ca),z = {\log _c}(ab)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức P=x+y+4 z.

A. 6 .

B. 12 .

C. 10.

D. 16 .

Chọn C

Lời giải: Ta có

$\begin{array}{l}x = {\log _a}b + {\log _a}c;\\y = {\log _b}c + {\log _b}a;\\z = {\log _c}a + {\log _c}b\end{array}$.

Khi đó

$\begin{array}{l}P = x + y + 4z\\ = {\log _a}b + {\log _a}c + {\log _b}c + {\log _b}a + 4{\log _c}a + 4{\log _c}b\end{array}$.

$P = \left( {{{\log }_a}c + \frac{4}{{{{\log }_a}c}}} \right) + \left( {{{\log }_b}c + \frac{4}{{{{\log }_b}c}}} \right) + \left( {{{\log }_a}b + \frac{1}{{{{\log }_a}b}}} \right)$.

Vì a, b, c >1

$ \Rightarrow {\log _a}b > 0;{\log _b}c > 0;{\log _a}c > 0$ nên

$\begin{array}{l}P = \left( {{{\log }_a}c + \frac{4}{{{{\log }_a}c}}} \right) + \left( {{{\log }_b}c + \frac{4}{{{{\log }_b}c}}} \right) + \left( {{{\log }_a}b + \frac{1}{{{{\log }_a}b}}} \right)\\ \ge 2.2 + 2.2 + 2.1 = 10\end{array}$.

Vậy \[\min P = 10 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\log }_a}c = 2}\\{{{\log }_a}b = 1}\\{{{\log }_b}c = 2}\end{array}} \right.\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{c = {a^2}}\\{a = b}\\{c = {b^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = b}\\{c = {a^2}}\end{array}} \right.} \right.\\\end{array}\]

Câu 4: Xét các số thực dương a, b, x, y thỏa mãn a>1, b>1 và ${a^x} = {b^y} = \sqrt {ab} $. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=x+2y thuộc tập hợp nào dưới đây?

A. (1 ; 2).

B. $\left( {2;\frac{5}{2}} \right)$.

C. $(3;4)$.

D. $\left( {\frac{5}{2};3} \right)$.

Lời giải

Chọn D

Ta có

\[{a^x} = {b^y} = \sqrt {ab} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {{\log }_a}\sqrt {ab} }\\{y = {{\log }_b}\sqrt {ab} }\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{1}{2}\left( {1 + {{\log }_a}b} \right)}\\{y = \frac{1}{2}\left( {1 + {{\log }_b}a} \right)}\end{array}} \right.\]

$\begin{array}{l}P = x + 2y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}{\log _a}b + 1 + {\log _b}a\\ = \frac{1}{{{{\log }_a}b}} + \frac{1}{2}{\log _a}b + \frac{3}{2}{\rm{. }}\end{array}$

Đặt $t = {\log _a}b > 0 \Rightarrow P = \frac{1}{t} + \frac{t}{2} + \frac{3}{2}(t > 0)$.

$P = \frac{1}{t} + \frac{t}{2} + \frac{3}{2} \ge 2\sqrt {\frac{1}{t} \cdot \frac{t}{2}} + \frac{3}{2} = \sqrt 2 + \frac{3}{2} \in \left( {\frac{5}{2};3} \right){\rm{. }}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{t} = \frac{t}{2}}\\{t > 0}\end{array} \Leftrightarrow t = \sqrt 2 } \right.$.

Vậy $\left. {\min P = \sqrt 2 + \frac{3}{2} \in \frac{5}{2};3} \right)$.

Câu 5: Cho x, y là các số thụ̣c thỏa ${\log _{3x + y}}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le 1$. Khi $3x + y$ đạt giá trị lớn nhất, thì giá trị $k = \frac{x}{y}$ là

A. k=1.

B. $k = \frac{1}{2}$.

C. k=3.

D. $k = \frac{1}{3}$.

Chọn C

Lời giải

Xét truờng hợp 3x+y>1.

${\log _{3x + y}}\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \le 1 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \le 3x + y$ (1).

Đặt P=3x+y $ \Rightarrow y = P - 3x$.

(1) $ \Leftrightarrow {x^2} + {(P - 3x)^2} - P \le 0 \Leftrightarrow 10{x^2} - 6Px + {P^2} - P \le 0$ (2).

$\Delta = 9{P^2} - 10\left( {{P^2} - 2} \right) = - {P^2} + 10P$

Nếu $\Delta < 0$ thì (2) vô nghiệm. Do đó $\Delta \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le P \le 10$.

Vậy ${P_{\max }}$. Khi đó (2) $ \Leftrightarrow x = \frac{{6P}}{{20}} = 3 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow k = \frac{x}{y} = 3$.

Câu 6: Cho các số thực x ; y thỏa mãn ${x^2} + 4xy + 12{y^2} = 4$. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P = $ ${\log _2}{(x - 2y)^2}$ là

A. $\max P = 3{\log _2}2$.

B. $\max P = {\log _2}12$.

C. $\max P = 12$.

D. $\max P = 16$.

Lời giải

Chọn B

Điểu kiện $x \ne 2y$. Từ ${x^2} + 4xy + 12{y^2} = 4$ suy ra:

Nếu $y = 0$ thì ${x^2} = 4 \Rightarrow P = 2$

Nếu $y \ne 0$ ta có: $P = {\log _2}{(x - 2y)^2} \Leftrightarrow 4{(x - 2y)^2} = {4.2^P}$

$ \Rightarrow \frac{{{{4.2}^P}}}{4} = \frac{{4 \cdot {{(x - 2y)}^2}}}{{{x^2} + 4xy + 12{y^2}}} = \frac{{4{{\left( {\frac{x}{{2y}} - 1} \right)}^2}}}{{{{\left( {\frac{x}{{2y}}} \right)}^2} + 2\frac{x}{{2y}} + 3}}$

Đặt

$\begin{array}{l}t = \frac{x}{{2y}},t \in \mathbb{R},{2^P} = \frac{{4{t^2} - 8t + 4}}{{{t^2} + 2t + 3}}\\ \Leftrightarrow {2^P}\left( {{t^2} + 2t + 3} \right) = 4{t^2} - 8t + 4\end{array}$

$ \Leftrightarrow \left( {{2^P} - 4} \right){t^2} + 2\left( {{2^P} + 4} \right)t + {3.2^P} - 4 = 0$

Xét với $(P \ne 2)$

Để phương trình có nghiệm: ${\Delta ^\prime } \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {{2^P} + 4} \right)^2} - \left( {{2^P} - 4} \right)\left( {{{3.2}^P} - 4} \right) \ge 0$

$ \Leftrightarrow - 2{\left( {{2^P}} \right)^2} + {24.2^P} \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le {2^P} \le 12 \Rightarrow P \le {\log _2}12$

Vậy $\max P = {\log _2}12$.

Dấu đẳng thức xảy ra khi $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = - 2}\\{t = \frac{x}{{2y}}}\\{{x^2} + 4xy + 12{y^2} = 4}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 4y}\\{{y^2} = \frac{1}{3}}\end{array}} \right.} \right.$.

Câu 7: Cho x, y là các số thụ̣c dương, thỏa mãn ${\log _{\frac{1}{2}}}x + {\log _{\frac{1}{2}}}y \le {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {3x + {y^2}} \right)$. Tìm giá trị nhỏ nhất ${P_{\min }}$ của biểu thức P=4x+y.

A. $P{\sqrt 5 _{\min }}$

B. $P{\sqrt 5 _{{\rm{min}}}}$

C. $P{\sqrt 5 _{min}}$

D. $P{\sqrt 5 _{\min }}$.

Lời giải:

Chọn A

$\begin{array}{l}{\log _{\frac{1}{2}}}x + {\log _{\frac{1}{2}}}y \le {\log _{\frac{1}{2}}}\left( {3x + {y^2}} \right)\\ \Leftrightarrow xy \ge 3x + {y^2} \Leftrightarrow x(y - 3) \ge {y^2}\end{array}$.

Từ đây, x, y là các số thực dương nên ta suy ra y>3

và $x \ge \frac{{{y^2}}}{{y - 3}} = y + 3 + \frac{9}{{y - 3}}$

Do đó,

$\begin{array}{l}P \ge 4\left( {y + 3 + \frac{9}{{y - 3}}} \right) + y = 5(y - 3) + \frac{{36}}{{y - 3}} + 27\\ \ge 12\sqrt 5 + 27\end{array}$.

Dấu bằng xảy ra khiy $ = 3 + \frac{{6\sqrt 5 }}{5},x = 6 + \frac{{27\sqrt 5 }}{{10}}$.

Câu 8: Cho $m = {\log _a}(\sqrt[3]{{ab}})$ với $a > 1,b > 1$ và $P = \log _a^2b + 16{\log _b}a$. Tìm $m$ sao cho $P$ đạt giá trị nhỏ nhất.

A. $m = \frac{1}{2}$

B. m=4.

C. m=1.

D. m=2.

Lời giải

Chọn C

Theo giả thiết ta có

$\begin{array}{l}m = \frac{1}{3}{\log _a}(ab) = \frac{1}{3}\left( {1 + {{\log }_a}b} \right)\\ \Rightarrow {\log _a}b = 3m - 1\end{array}$.

Suy ra

$\begin{array}{l}P = \log _a^2b + \frac{{16}}{{{{\log }_a}b}}\\ \Leftrightarrow P = {(3m - 1)^2} + \frac{{16}}{{3m - 1}}\\ \Leftrightarrow P = {(3m - 1)^2} + \frac{8}{{3m - 1}} + \frac{8}{{3m - 1}}\end{array}$.

Vì a>1, b>1 nên ${\log _a}b = 3m - 1 > 0$.

Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho ba số dương ta có:

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow P = {(3m - 1)^2} + \frac{8}{{3m - 1}} + \frac{8}{{3m - 1}} \ge 3 \cdot \sqrt[3]{{{{(3m - 1)}^2} \cdot \frac{{64}}{{{{(3m - 1)}^2}}}}}\\ \Leftrightarrow P \ge 12.{\rm{ }}\end{array}$

Dấu bằng xảy ra khi ${(3m - 1)^2} = \frac{8}{{3m - 1}} \Leftrightarrow m = 1$.

Câu 9: Xét các số thực dương a, b, x, y thỏa mãn $a > 1,b > 1$ và ${a^{2x}} = {b^y} = {a^4}{b^4}$. Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=xy+3x+2 y có dạng $m + n\sqrt {14} $ (với m, n là các số tự nhiên), tính S=m+n

A. 48

B. 34

C. 30 .

D. 38 .

Chọn D

Lời giải

Theo bài ra ta có:

$\begin{array}{l}{a^{2x}} = {b^y} = {a^4}{b^4}\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^{2x}} = {a^4}{b^4}}\\{{b^y} = {a^4}{b^4}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x = {{\log }_a}\left( {{a^4}{b^4}} \right)}\\{y = {{\log }_b}\left( {{a^4}{b^4}} \right)}\end{array}} \right.} \right.\end{array}$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x = 4 + 4{{\log }_a}b}\\{y = 4 + 4{{\log }_b}a}\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2\left( {1 + {{\log }_a}b} \right)}\\{y = 4\left( {1 + {{\log }_b}a} \right)}\end{array}} \right.$

Do đó:

$\begin{array}{l}P = xy + 3x + 2y\\ = 8\left( {1 + {{\log }_a}b} \right)\left( {1 + {{\log }_b}a} \right) + 6\left( {1 + {{\log }_a}b} \right) + 8\left( {1 + {{\log }_b}a} \right)\end{array}$

$ = 16 + 8{\log _b}a + 8{\log _a}b + 6 + 6{\log _a}b + 8 + 8{\log _b}a$

$ = 30 + 14{\log _a}b + 16{\log _b}a$

Đặt $t = {\log _a}b$. Vì a, b>1 nên ${\log _a}b > {\log _a}1 = 0$.

Khi đó $P = 30 + 14t + \frac{{16}}{t} \ge 30 + 2\sqrt {14t \cdot \frac{{16}}{t}} = 30 + 8\sqrt {14} $.

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất là $30 + 8\sqrt {14} $ khi $14t = \frac{{16}}{t} \Rightarrow t = \frac{{2\sqrt {14} }}{7}$ hay $b = {a^{\frac{{2\sqrt {14} }}{7}}}$.

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 30}\\{n = 8}\end{array} \Rightarrow S = m + n = 38} \right.$.

Câu 10: Trong các nghiệm (x ; y) thỏa mãn bất phương trình ${\log _{3{x^2} + 2{y^2}}}(x + 2y) \ge 1$, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T = x + 2y$.

A. $\frac{8}{3}$.

ㄹ. $\frac{7}{3}$

C. $\frac{7}{6}$

D. 1 .

Lời giải

Chọn ${\rm{B}}$ Nếu $0 < 3{x^2} + 2{y^2} < 1$ thì từ giả thiết ${\log _{3{x^2} + 2{y^2}}}(x + 2y) \ge 1$ ta suy ra $x + 2y \le 1$.

Nếu $3{x^2} + 2{y^2} > 1$ thì khi đó ta có:

$\begin{array}{l}{\log _{3{x^2} + 2{y^2}}}(x + 2y) \ge 1 \Leftrightarrow x + 2y \ge 3{x^2} + 2{y^2}\\ \Leftrightarrow 3{x^2} - x + 2{y^2} - 2y \le 0\end{array}$

$ \Leftrightarrow {\left( {x\sqrt 3 - \frac{1}{{2\sqrt 3 }}} \right)^2} + {\left( {y\sqrt 2 - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^2} \le \frac{7}{{12}}$

Ta viết lại $T = x + 2y = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {x\sqrt 3 - \frac{1}{{2\sqrt 3 }}} \right) + \sqrt 2 \left( {y\sqrt 2 - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) + \frac{7}{6}$

Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwartz thì

$\begin{array}{l}\frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {x\sqrt 3 - \frac{1}{{2\sqrt 3 }}} \right) + \sqrt 2 \left( {y\sqrt 2 - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\\ \le \sqrt {{{\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)}^2} + {{(\sqrt 2 )}^2}} \cdot \sqrt {{{\left( {x\sqrt 3 - \frac{1}{{2\sqrt 3 }}} \right)}^2} + {{\left( {y\sqrt 2 - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)}^2}} \end{array}$

$ \le \sqrt {\frac{7}{3}} \cdot \sqrt {\frac{7}{{12}}} = \frac{7}{6}$.

Do đó $T \le \frac{7}{6} + \frac{7}{6} = \frac{7}{3}$. Dấu “=" xảy ra khi $(x;y) = \left( {\frac{1}{3};1} \right)$.

Vậy $T\frac{7}{{{3_{\max }}}}$ max đạt được khi $(x;y) = \left( {\frac{1}{3};1} \right)$.

Câu 11: Xét các số thực x, y thỏa mãn ${\log _2}(x - 1) + {\log _2}(y - 1) = 1$. Khi biểu thức P=2x+3 y đạt giá trị nhỏ nhất thì $3x - 2y = a + b\sqrt 3 $ với $a,b \in \mathbb{Q}$. Tính T=ab.

A. T=9.

B. $T = \frac{7}{3}$.

C. $T = \frac{5}{3}.$

D. T=7.

Lời giải

Chọn C

Điều kiện: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 1 > 0}\\{y - 1 > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 1}\\{y > 1}\end{array}} \right.} \right.$.

Khi đó:

$\begin{array}{l}{\log _2}(x - 1) + {\log _2}(y - 1) = 1\\ \Leftrightarrow (x - 1)(y - 1) = 2 \Leftrightarrow y - 1 = \frac{2}{{x - 1}}\\ \Leftrightarrow y = \frac{2}{{x - 1}} + 1\end{array}$.

Suy ra:

$\begin{array}{l}P = 2x + 3y = 2x + \frac{6}{{x - 1}} + 3\\ = 2(x - 1) + \frac{6}{{x - 1}} + 5\end{array}$.

Cách 1: Dùng bất đẳng thức

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

$2(x - 1) + \frac{6}{{x - 1}} \ge 2\sqrt {2(x - 1) \cdot \frac{6}{{x - 1}}} $

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2(x - 1) + \frac{6}{{x - 1}} \ge 4\sqrt 3 \\ \Rightarrow P \ge 4\sqrt 3 + 5\end{array}$.

Dấu "“=" xảy ra

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2(x - 1) = \frac{6}{{x - 1}}\\ \Leftrightarrow {(x - 1)^2} = 3\\ \Leftrightarrow |x - 1| = \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + \sqrt 3 (N)}\\{x = 1 - \sqrt 3 (L)}\end{array}} \right.\end{array}$.

$ \Rightarrow y = \frac{2}{{\sqrt 3 }} + 1 = \frac{{2\sqrt 3 + 3}}{3}$.

Do đó:

$\begin{array}{l}3x - 2y = 3(1 + \sqrt 3 ) - 2\left( {\frac{{2\sqrt 3 + 3}}{3}} \right)\\ = 1 + \frac{5}{3}\sqrt 3 \Rightarrow a = 1;b = \frac{5}{3}\\ \Rightarrow T = ab = \frac{5}{3}\end{array}$.

Cách 2: Dùng bảng biến thiên

Ta có: $P = 2x + \frac{6}{{x - 1}} + 3 \Rightarrow {P^\prime } = 2 - \frac{6}{{{{(x - 1)}^2}}}$

${P^\prime } = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + \sqrt 3 (N)}\\{x = 1 - \sqrt 3 (L)}\end{array}} \right.$

Bảng biến thiên

Bài toán min-max liên quan hàm số mũ, logarit nhiều biến - Đặng Việt Đông (ảnh 1)

Dựa vào bảng biến thiên, ta có: $P\sqrt 3 \sqrt 3 \frac{{2\sqrt 3 + 3}}{3}\min $.

Do đó:

$\begin{array}{l}3x - 2y = 3(1 + \sqrt 3 ) - 2\left( {\frac{{2\sqrt 3 + 3}}{3}} \right)\\ = 1 + \frac{5}{3}\sqrt 3 \Rightarrow a = 1;\\b = \frac{5}{3} \Rightarrow T = ab = \frac{5}{3}\end{array}$.

Câu 12: Xét các số thực x, y thỏa mãn ${\log _2}(x - 1) + {\log _2}(y - 1) = 1$. Khi biểu thức P=2x+3y đạt giá trị nhỏ nhất thì $3x - 2y = a + b\sqrt 3 $ với $a,b \in \mathbb{Q}$. Tính T=ab ?

A. T=9.

B. $T = \frac{7}{3}$.

C. $T = \frac{5}{3}.$

D. T=7.

Lời giải

Chọn C

Khi đó:

$\begin{array}{l}{\log _2}(x - 1) + {\log _2}(y - 1) = 1\\ \Leftrightarrow (x - 1)(y - 1) = 2\\ \Leftrightarrow y - 1 = \frac{2}{{x - 1}}\\ \Leftrightarrow y = \frac{2}{{x - 1}} + 1\end{array}$

Suy ra: $P = 2x + 3y = 2x + \frac{6}{{x - 1}} + 3 = 2(x - 1) + \frac{6}{{x - 1}} + 5$

Cách 1: Dùng bất đẳng thức

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: $2(x - 1) + \frac{6}{{x - 1}} \ge 2\sqrt {2(x - 1) \cdot \frac{6}{{x - 1}}} $

$\begin{array}{l} \Rightarrow 2(x - 1) + \frac{6}{{x - 1}} \ge 4\sqrt 3 \\ \Rightarrow P \ge 4\sqrt 3 + 5\end{array}$

Dấu "=" xảy ra

$ \Rightarrow y = \frac{2}{{\sqrt 3 }} + 1 = \frac{{2\sqrt 3 + 3}}{3}$.

Do đó:

$\begin{array}{l}3x - 2y = 3(1 + \sqrt 3 ) - 2\left( {\frac{{2\sqrt 3 + 3}}{3}} \right)\\ = 1 + \frac{5}{3}\sqrt 3 \\ \Rightarrow a = 1;b = \frac{5}{3} \Rightarrow T = ab = \frac{5}{3}\end{array}$.

Cách 2: Dùng bảng biến thiên

Ta có: $P = 2x + \frac{6}{{x - 1}} + 3 \Rightarrow {P^\prime } = 2 - \frac{6}{{{{(x - 1)}^2}}}$

${P^\prime } = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + \sqrt 3 (N)}\\{x = 1 - \sqrt 3 (L)}\end{array}} \right.$

Xem thêm