Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Các bài tập vận dụng cao bất phương trình mũ và bất phương trình logarit, tài liệu bao gồm 27 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

BÀI 6. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

A. KIẾN THỨC SÁCH GIÁO KHOA CẦN NẮM

I. BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ

1. Bất phương trình mũ cơ bản

2. Cách giải bất phương trình mũ đơn giản

a) Đưa vê cùng có số

\({a^{f(x)}} > {a^{g(x)}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 < a < 1}\\{f(x) < g(x)}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a > 1}\\{f(x) > g(x)}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)

b) Đặt ẩn phụ \(\alpha {a^{2f(x)}} + \beta {a^{f(x)}} + \lambda  = 0\).

Đặt \(t = {a^{f(x)}},(t > 0)\)

c) Phương pháp logarit hóa

\({a^{f(x)}} > b \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 < a < 1}\\{f(x) < {{\log }_a}b}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a > 1}\\{f(x) > {{\log }_a}b}\end{array}} \right.\end{array} \right.\)

\({a^{f(x)}} > {b^{g(x)}} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a > 1}\\{f(x) > g(x) \cdot \log _a^b}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 < a < 1}\\{f(x) < g(x) \cdot \log _a^b}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)

II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

1. Bất phương trình logarit cơ bản

2. Cách giải một số bất phương trình logarit đơn giản

a) Đưa về cùng cơ số:

\({\log _a}f(x) > {\log _a}g(x) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 < a < 1}\\{f(x) < g(x)}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a > 1}\\{f(x) > g(x)}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)

b) Phương pháp mũ hoá

\({\log _a}f(x) > b \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a > 1}\\{f(x) > {a^\beta }}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 < a < 1}\\{0 < f(x) < {a^A}}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\)

B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1. Phương pháp biến đổi tương đương đưa về cùng cơ số

1. Phương pháp

a. Bất phương trình mũ cơ bản

- Bất phương trình \({a^{f(x)}} \le {a^{g(x)}}\)

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a > 1\\f(x) \le g(x)\end{array} \right.\\a = 1\\\left\{ \begin{array}{l}0 < a < 1\\f(x) \ge g(x)\end{array} \right.\end{array} \right.\]

( hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a > 0}\\{(a - 1)[f(x) - g(x)] \le 0}\end{array}} \right.\))

- Bất phương trình \({a^{f(x)}} < b\) (với b>0)

 \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a > 1\\f(x) \le {\log _a}b\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}0 < a < 1\\f(x) \ge {\log _a}b\end{array} \right.\end{array} \right.\)

 - Bất phương trình \({a^{f(x)}} > b\)

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a > 0\\b \le 0\\f(x){\rm{ co nghia}}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a > 1\\b > 0\\f(x) > {\log _a}b\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}0 < a < 1\\b > 0\\f(x) < {\log _a}b\end{array} \right.\end{array} \right.\]

b. Bất phương trình logarit cơ bản

- Bất phương trình  \({\log _a}f(x) \le {\log _a}g(x)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a > 1\\0 < f(x) \le g(x)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}0 < a < 1\\f(x) \ge g(x)\end{array} \right.\end{array} \right.\)

(hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}0 < a \ne 1\\f(x) > 0\\g(x) > 0\\(a - 1)\left[ {f(x) - g(x)} \right] \le 0\end{array} \right.\))

- Bất phương trình \({\log _a}f(x) \le b\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a > 1\\0 < f(x) \le {a^b}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}0 < a < 1\\f(x) \ge {a^b}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

- Bất phương trình\({\log _a}f(x) \ge b\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a > 1\\f(x) > {a^b}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}0 < a < 1\\0 < f(x) \le {a^b}\end{array} \right.\end{array} \right.\)

2. Bài tập

Bài tập 1.

Cho bất phương trình \({\log _7}\left( {{x^2} + 2x + 2} \right) + 1 > {\log _7}\left( {{x^2} + 6x + 5 + m} \right)\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình trên có tập ngiệm chứa khoàng (1 ; 3)?

A. 35 .

B. 36 .

C. 34 .

D. 33 .

Chọn C

Lời giải

\[bpt \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 6x + 5 + m > 0}\\{{{\log }_7}\left[ {7\left( {{x^2} + 2x + 2} \right)} \right] > {{\log }_7}\left( {{x^2} + 6x + 5 + m} \right)}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m >  - {x^2} - 6x - 5}\\{6{x^2} + 8x + 9 > m}\end{array}} \right.\]

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > \mathop {\max }\limits_{_{(1;3)}} f(x)}\\{m < \mathop {\min }\limits_{_{(1;3)}} g(x)}\end{array}} \right.\),

với

\(\begin{array}{l}f(x) =  - {x^2} - 6x - 5;\\g(x) = 6{x^2} + 8x + 9\end{array}\)

Xét sự biến thiên của hai hàm số $f(x)$ và $g(x)$

- \({f^\prime }(x) =  - 2x - 6 < 0,\forall x \in (1;3) \Rightarrow f(x)\) luôn nghịch biến trên khoảng (1;3)

\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{_{(1;3)}} f(x) = f(1) =  - 12\)

- \({g^\prime }(x) = 12x + 8 > 0,\forall x \in (1;3) \Rightarrow g(x)\) luôn đồng biến trên khoàng (1;3)

 \( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{_{(1;3)}} g(x) = g(1) = 23\)

Khi đó \( - 12 < m < 23\)

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \{  - 11; - 10; \ldots ;22\} \)

Vậy có tất cả 34 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài tập 2. Gọi S là tập tất cà các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình \({\log _2}\left( {7{x^2} + 7} \right) \ge {\log _2}\left( {m{x^2} + 4x + m} \right)\) có tập nghiệm là \(\mathbb{R}\). Tổng các phần tử của S là

A. 10 .

B. 11 .

C. 12 .

D. 13 .

Lời giải

Chọn C

BPT có tập nghiệm R

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m{x^2} + 4x + m > 0}\\{7{x^2} + 7 \ge m{x^2} + 4x + m}\end{array},\forall x \in \mathbb{R}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m{x^2} + 4x + m > 0{\rm{ (1) }}}\\{(7 - m){x^2} - 4x + 7 - m \ge (2)}\end{array},\forall x \in \mathbb{R}.} \right.\)

Ta có (1)\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = m > 0}\\{\Delta _1^\prime  = 4 - {m^2} < 0}\end{array} \Leftrightarrow m > 2} \right.\).

Ta có (2)

\[ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 7 - m > 0}\\{\Delta _2^\prime  = 4 - {{(7 - m)}^2} \le 0}\end{array}} \right.\]

\[ \Leftrightarrow 7 - m \ge 2 \Leftrightarrow m \le 5.\]

Do đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 2}\\{m \le 5}\end{array} \Leftrightarrow 2 < m \le 5} \right.\), mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m = \{ 3;4;5\} \).

Vậy S=3+4+5=12.

Bài tập 3. Bất phương trình \({\log _2}\frac{{{x^2} - 6x + 8}}{{4x - 1}} \ge 0\) có tập nghiệm là \(T = \left( {\frac{1}{4};a} \right] \cup [b; + \infty )\). Hòi M=a+b bằng

A. M=12.

B. M=8.

C. M=9.

D. M=10.

Lời giải

Chọn D

Ta có

 \(\begin{array}{l}{\log _2}\frac{{{x^2} - 6x + 8}}{{4x - 1}} \ge 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 6x + 8}}{{4x - 1}} \ge 1\\ \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 10x + 9}}{{4x - 1}} \ge 0\end{array}\)

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 10x + 9 \ge 0}\\{4x - 1 > 0}\end{array}} \right.\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} - 10x + 9 \le 0}\\{4x - 1 < 0}\end{array}} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{4} < x \le 1}\\{x \ge 9}\end{array}} \right.\end{array}\]

Nên \(T = \left( {\frac{1}{4};1} \right] \cup [9; + \infty )\). Suy ra M=a+b=1+9=10.

Bài tập 4. Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{{\log }_2}\left( {{x^2} - 1} \right)} \right) \le  - 1\) là:

A. \(S = [1;\sqrt 5 ]\).

B. \(S = ( - \infty ; - \sqrt 5 ] \cup [\sqrt 5 ; + \infty )\).

C. \(S = [ - \sqrt 5 ;\sqrt 5 ]\).

D. \(S = [ - \sqrt 5 ; - 1) \cup (1;\sqrt 5 ]\).

Lời giải

Chọn B

- ĐKXĐ: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\log }_2}\left( {{x^2} - 1} \right) > 0}\\{{x^2} - 1 > 0}\end{array} \Leftrightarrow {x^2} - 1 > 1} \right.\]

\[ \Leftrightarrow x \in ( - \infty ; - \sqrt 2 ) \cup (\sqrt 2 ; + \infty ).\]

Bất phương trình

 \(\begin{array}{l}{\log _{\frac{1}{2}}}\left( {{{\log }_2}\left( {{x^2} - 1} \right)} \right) \le  - 1\\ \Leftrightarrow {\log _2}\left( {{x^2} - 1} \right) \ge {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 1}} = 2\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 1} \right) \ge 4\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {x^2} \ge 5 \Leftrightarrow x \in ( - \infty ; - \sqrt 5 ] \cup [\sqrt 5 ; + \infty )\).

- Kết hợp điều kiện ta được: \(x \in ( - \infty ; - \sqrt 5 ] \cup [\sqrt 5 ; + \infty )\).

Bài tập 5. Bất phương trình \(\ln \left( {2{x^2} + 3} \right) > \ln \left( {{x^2} + ax + 1} \right)\) nghiệm đúng với mọi số thực x khi:

A. \( - 2\sqrt 2  < a < 2\sqrt 2 \).

B. \(0 < a < 2\sqrt 2 \).

C. 0<a<2.

D. -2<a<2.

Lởi giải

Chọn D

\(\ln \left( {2{x^2} + 3} \right) > \ln \left( {{x^2} + ax + 1} \right)\) nghiệm đúng với mọi số thực $x$

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + ax + 1 > 0}\\{2{x^2} + 3 > {x^2} + ax + 1}\end{array},\forall x \in \mathbb{R}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + ax + 1 > 0}\\{{x^2} - ax + 2 > 0}\end{array},\forall x \in \mathbb{R}} \right.\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} - 4 < 0}\\{{a^2} - 8 < 0}\end{array} \Leftrightarrow {a^2} - 4 < 0 \Leftrightarrow  - 2 < a < 2.} \right.\)

Bài tập 6. Bất phương trình \(\left( {{3^x} - 1} \right)\left( {{x^2} + 3x - 4} \right) > 0\) có bao nhiêu nghiệm nguyên nhỏ hơn 6 ?

A. 9 .

B. 5 .

C. 7 .

D. Vô số.

Lời giải

\(\left( {{3^x} - 1} \right)\left( {{x^2} + 3x - 4} \right) > 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{3^x} - 1 > 0\\{x^2} + 3{\rm{x}} - 4 > 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{3^x} - 1 < 0\\{x^2} + 3{\rm{x}} - 4 < 0\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\\left[ \begin{array}{l}x <  - 4\\x > 1\end{array} \right.\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\ - 4 < x < 1\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\ - 4 < x < 0\end{array} \right.\end{array}\)

Kết hợp điều kiện nghiệm nguyên nhỏ hơn 6 ta thấy các giá trị thỏa là \(\{  - 3; - 2; - 1;2;3;4;5\} \).

Bài tập 7. nghiệm của bất phương trình \({\left( {{x^2} + \frac{1}{2}} \right)^{2{x^2} + x + 1}} \le {\left( {{x^2} + \frac{1}{2}} \right)^{1 - x}}\) là

A. \(\left[ { - 1; - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right]\).

B. \(\left[ {0;\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right]\).

C. \(( - 1;0)\).

D. \(\left[ { - 1; - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right] \cup \left[ {0;\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right]\).

Lời giải

Chọn D

\(\begin{array}{l}{\rm{ Do }}{x^2} + \frac{1}{2} > 0\forall x{\rm{ }}\\{\rm{nen }}{\left( {{x^2} + \frac{1}{2}} \right)^{2{x^2} + x + 1}} \le {\left( {{x^2} + \frac{1}{2}} \right)^{1 - x}}\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + \frac{1}{2} = 1}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + \frac{1}{2} > 1}\\{2{x^2} + x + 1 \le 1 - x}\end{array}} \right.}\\{\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 < {x^2} + \frac{1}{2} < 1}\\{2{x^2} + x + 1 \ge 1 - x}\end{array}} \right.}\end{array}} \right.\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\\left\{ \begin{array}{l}x \in \left( { - \infty ; - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) \cup \left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}; + \infty } \right)\\x \in \left[ { - 1;0} \right]\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \in \left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }};\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\\x \in \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {0; + \infty } \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}\\x \in \left[ { - 1; - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\\x \in \left[ {0;\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow x \in \left[ { - 1; - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right] \cup \left[ {0;\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right]\)