Bài toán 10: Chứng minh đường thẳng:

a) \[d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 5t}\\{y =  - \frac{7}{5} + 9t}\\{z = \frac{2}{5} + t}\end{array}} \right.\] thuộc mặt phẳng \[\left( P \right):4x - 3y + 7z - 7 = 0\].

b) \[d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{4}\] cắt mặt phẳng \[\left( P \right):4x - y + 5z - 1 = 0\].

Giải

a) Đường thẳng \[d\] qua \[A\left( {0;\, - \frac{7}{5};\,\frac{2}{5}} \right)\] và có VTCP \[\overrightarrow u  = \left( {5;\,9;\,1} \right)\].

Mặt phẳng \[\left( P \right)\] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n  = \left( {4;\, - 3;\,7} \right)\].

Ta có : \[\overrightarrow n .\overrightarrow u  = 0\] và \[A \in \left( P \right)\] nên \[d\] nằm trên \[\left( P \right)\].

b) Đường thẳng \[d\] có VTCP \[\overrightarrow u  = \left( {2;\,3;\,4} \right)\].

Mặt phẳng \[\left( P \right)\] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n  = \left( {4;\, - 1;\,5} \right)\].

Ta có \[\overrightarrow n .\overrightarrow u  = 8 - 3 + 20 = 25 \ne 0\] nên \[d\] cắt mp\[\left( P \right)\].

Bài toán 11: Tìm k để đường thẳng \[d\] là giao tuyến của 2 mặt phẳng \[\left( P \right):2kx + y - z + 1 = 0\], \[\left( Q \right):x - ky + z - 1 = 0\] nằm trong mặt phẳng (Oyz).

Giải

Giao tuyến \[d\] có VTCP:

\[\overrightarrow u  = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}1&{ - 1}\\{ - k}&1\end{array}} \right|;\,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{2k}\\1&1\end{array}} \right|;\,\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{2k}&1\\1&{ - k}\end{array}} \right|} \right) = \left( {1 - k;\, - 1 - 2k;\, - 2{k^2} - 1} \right)\].

Mp(Oyz) có VTPT \[\overrightarrow i  = \left( {1;\,0;\,0} \right)\]

Để \[d\] nằm trong mặt phẳng (Oyz) thì cần có:

\[\overrightarrow i .\overrightarrow u  = 0 \Leftrightarrow \left( {1 - k} \right)1 + \left( { - 1 - 2k} \right).0 + \left( { - 2{k^2} - 1} \right).0 = 0 \Leftrightarrow k = 1\].

Thay \[k = 1\] vào phương trình của 2 mặt phẳng chứa d:

\[\left( P \right):2x + y - z + 1 = 0\], \[\left( Q \right):x - y + z - 1 = 0\].

Ta có điểm \[M\left( {0;\,0;\,1} \right)\] thuộc \[d\] và cùng thuộc mặt phẳng (Oyz) nên thỏa mãn.

Vậy để \[d\] nằm trong mặt phẳng (Oyz) thì cần và đủ là: \[k = 1\].

Bài toán 12: Trong không gian có hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm \[A\left( {2;\,1;\,0} \right)\], \[B\left( {1;\,2;\,2} \right)\], \[C\left( {1;\,1;\,0} \right)\] và mặt phẳng \[\left( P \right):x + y + z - 20 = 0\].

Xác định tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD song song với mặt phẳng \[\left( P \right)\].

Giải

Ta có \[\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1;\,1;\,2} \right)\], phương trình AB: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - t}\\{y = 1 + t}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\].

D thuộc đường thẳng AB \[ \Rightarrow D\left( {2 - t;\,1 + t;\,2t} \right) \Rightarrow \overrightarrow {C{\rm{D}}}  = \left( {1 - t;\,t;\,2t} \right)\].

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \[\left( P \right)\]: \[\overrightarrow n  = \left( {1;\,1;\,1} \right)\].

Vì C không thuộc mặt phẳng \[\left( P \right)\] nên:

\[C{\rm{D}}//\left( P \right) \Leftrightarrow \overrightarrow n .\overrightarrow {C{\rm{D}}}  = 0 \Leftrightarrow 1.\left( {1 - t} \right) + 1.t + 1.2t = 0 \Leftrightarrow t =  - \frac{1}{2}\].

Vậy \[D\left( {\frac{5}{2};\,\frac{1}{2};\, - 1} \right)\].

Bài toán 13: Chứng minh các mặt phẳng: \[\left( {{P_m}} \right):\left( {2 + m} \right)x + \left( {1 + m} \right)y + \left( {1 + m} \right)z + m - 1 = 0\] luôn đi qua một đường thẳng cố định.

Giải

\[\left( {{P_m}} \right):2{\rm{x}} + y + z - 1 + m\left( {x + y + z + 1} \right) = 0\].

Mặt phẳng \[\left( {{P_m}} \right)\] đi qua các điểm \[M\left( {x;\,y;\,z} \right)\] có tọa độ không phụ thuộc m khi và chỉ khi: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2{\rm{x}} + y + z - 1 = 0}\\{{\rm{x}} + y + z + 1 = 0}\end{array}} \right.\].

Bài toán 14: Chứng minh các đường thẳng \[{d_k}\] là giao tuyến của 2 mặt phẳng: \[x + k{\rm{z}} - k = 0\], \[\left( {1 - k} \right)x - ky = 0\], \[k \ne 0\] luôn nằm trên mặt phẳng cố định

Giải

Giao tuyến \[{d_k}\] chứa các điểm \[M\left( {x;\,y;\,z} \right)\] có tọa độ thỏa mãn hệ:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + k{\rm{z}} - k = 0}\\{\left( {1 - k} \right)x - ky = 0}\end{array}} \right.;\,k \ne 0\].

Suy ra: \[x - \left( {1 - k} \right)x + k{\rm{z}} - k + ky = 0\].

\[ \Rightarrow k\left( {x + y + z - 1} \right) = 0 \Rightarrow x + y + z - 1 = 0\], vì \[k \ne 0\]

Vậy các đường thẳng \[{d_k}\] luôn luôn nằm trong mặt phẳng cố định \[\left( P \right):x + y + z - 1 = 0\]

Bài toán 15: Trong không gian Oxyz có tập hợp các mặt phẳng \[\left( {{\alpha _m}} \right)\] có phương trình là: \[m{\rm{x}} - 2\left( {m - 1} \right)y + \left( {m + 1} \right)z - 1 = 0\] và đường thẳng d có phương trình tham số:

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 - 2t}\\{y = 3t}\\{z =  - 2 - t}\end{array}} \right.\].

a) Chứng tỏ rằng các mặt phẳng \[\left( {{\alpha _m}} \right)\] đi qua một đường thẳng cố định \[\Delta \].

b) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng d và \[\Delta \] chéo nhau.

Giải

a) Phương trình các mặt phẳng \[\left( {{\alpha _m}} \right)\] có thể viết thành:

\[2y + z - 1 + m\left( {x - 2y + z} \right) = 0\].

Đẳng thức này đúng với mọi m nên ta suy ra: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2y + z - 1 = 0}\\{x - 2y + z = 0}\end{array}} \right.\].

Hệ phương trình này xác định một đường thẳng \[\Delta \] cố định là giao tuyến của 2 mặt phẳng \[2y + z - 1 = 0\], \[x - 2y + z = 0\].

\[\Delta \] có VTCP \[\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {{n_1}} ,\,\overrightarrow {{n_2}} } \right] = \left( {4;\,1;\, - 2} \right)\]  và đi qua \[B\left( { - 1;\,0;\,1} \right)\].

Vậy các mặt phẳng \[\left( {{\alpha _m}} \right)\] đi qua đường thẳng cố định \[\Delta :\frac{{x + 1}}{4} = \frac{y}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 2}}\].

b) d qua \[A\left( {1;\,0;\, - 2} \right)\] và có VTCP \[\overrightarrow u  = \left( { - 2;\,3;\, - 1} \right)\]

Ta có \[\left[ {\overrightarrow u ,\,\overrightarrow v } \right].\overrightarrow {AB}  \ne 0\] nên d và \[\Delta \] chéo nhau.