Công thức nón trụ cầu: diện tích, thể tích đầy đủ

Trả lời nhanh

Ba nhóm công thức cốt lõi: hình nón có S_xq = πrl, V = (1/3)πr²h, với l² = h² + r². Hình trụ có S_xq = 2πrh, S_tp = 2πrh + 2πr², V = πr²h. Mặt cầu có S = 4πR², khối cầu có V = (4/3)πR³. Ở đây r là bán kính đáy, h là chiều cao, l là đường sinh, R là bán kính mặt cầu.

1. Kí hiệu và hình dạng ba khối tròn xoay

Trước khi học thuộc công thức, các em cần nhớ đúng từng chữ cái chỉ đại lượng nào. Nhầm l với h là lỗi gặp nhiều nhất khi làm bài nón và trụ.

r: bán kính đường tròn đáy (của nón hoặc trụ).
h: chiều cao, tức khoảng cách từ đỉnh nón xuống mặt đáy, hoặc khoảng cách giữa hai đáy của trụ.
l: độ dài đường sinh. Với hình nón, đường sinh nối đỉnh với một điểm trên đường tròn đáy. Với hình trụ thì l = h.
R: bán kính mặt cầu, tức khoảng cách từ tâm O đến mọi điểm trên mặt cầu.

2. Công thức hình nón và khối nón

Hình nón sinh ra khi quay một tam giác vuông quanh một cạnh góc vuông. Cạnh góc vuông dùng làm trục quay là chiều cao h, cạnh góc vuông còn lại là bán kính r, cạnh huyền là đường sinh l.

Đại lượng	Công thức
Liên hệ h, r, l	l² = h² + r²
Diện tích đáy	S_đ = πr²
Diện tích xung quanh	S_xq = πrl
Diện tích toàn phần	S_tp = πrl + πr² = πr(l + r)
Thể tích khối nón	V = (1/3)S_đ.h = (1/3)πr²h

Vì sao S_xq = πrl?

Cắt mặt xung quanh của nón dọc theo một đường sinh rồi trải phẳng, ta được một hình quạt có bán kính l và độ dài cung bằng chu vi đáy 2πr. Diện tích hình quạt bằng một nửa tích bán kính với độ dài cung: (1/2).l.2πr = πrl. Góc ở tâm của hình quạt là 2πr/l (đo bằng radian). Bài toán “làm phễu từ tấm bìa hình quạt” thường dùng đúng ý này.

Các hệ thức hay dùng

Nếu góc ở đỉnh là 2α (nửa góc ở đỉnh là α) thì r = l.sin α và h = l.cos α.
Thiết diện qua trục là tam giác cân có hai cạnh bên bằng l, cạnh đáy bằng 2r. Nếu thiết diện qua trục là tam giác đều cạnh a thì l = a, r = a/2, h = a√3/2.
Nếu thiết diện qua trục là tam giác vuông cân thì h = r và l = r√2.

3. Công thức hình trụ và khối trụ

Hình trụ sinh ra khi quay một hình chữ nhật quanh một cạnh của nó. Hai đáy là hai hình tròn bằng nhau, và mọi đường sinh đều song song, bằng chiều cao.

Đại lượng	Công thức
Đường sinh	l = h
Diện tích một đáy	S_đ = πr²
Diện tích xung quanh	S_xq = 2πrh (= 2πrl)
Diện tích toàn phần	S_tp = 2πrh + 2πr² = 2πr(h + r)
Thể tích khối trụ	V = S_đ.h = πr²h

Vì sao có số 2? Trải mặt xung quanh của trụ ra, ta được một hình chữ nhật có chiều dài bằng chu vi đáy 2πr và chiều rộng h, nên S_xq = 2πrh. Diện tích toàn phần cộng thêm hai đáy, vì vậy có số hạng 2πr², khác với hình nón chỉ có một đáy.

Thiết diện qua trục của hình trụ là hình chữ nhật có kích thước 2r × h. Nếu thiết diện này là hình vuông thì h = 2r.

4. Công thức mặt cầu và khối cầu

Đại lượng	Công thức
Diện tích mặt cầu	S = 4πR²
Thể tích khối cầu	V = (4/3)πR³
Đường tròn giao tuyến khi mặt phẳng (P) cách tâm một khoảng d < R	r = √(R² − d²)

Lưu ý cách gọi: mặt cầu chỉ có diện tích, còn khối cầu mới có thể tích. Nhiều đề vẫn viết “thể tích mặt cầu”, các em hiểu ngầm là thể tích khối cầu.

Mẹo nhớ: diện tích mặt cầu bằng đúng 4 lần diện tích hình tròn lớn (4 × πR²). Lấy đạo hàm của V = (4/3)πR³ theo R thì được 4πR², nên nếu quên một trong hai công thức, các em có thể suy ra từ công thức còn lại.

Vị trí tương đối giữa mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P), với d = d(O, (P)):

d > R: (P) không cắt mặt cầu.
d = R: (P) tiếp xúc mặt cầu (là tiếp diện).
d < R: (P) cắt mặt cầu theo đường tròn bán kính √(R² − d²). Khi d = 0, ta được đường tròn lớn.

5. Công thức mở rộng: hình nón cụt

Cắt hình nón bằng một mặt phẳng song song với đáy, phần nằm giữa mặt phẳng cắt và đáy gọi là hình nón cụt. Gọi r₁, r₂ là bán kính hai đáy, h là chiều cao, l là đường sinh.

l² = h² + (r₁ − r₂)²
S_xq = πl(r₁ + r₂)
V = (1/3)πh(r₁² + r₂² + r₁r₂)

Kiểm tra nhanh: cho r₂ = 0 thì các công thức trên trở về đúng công thức hình nón. Các em nên dùng cách thử này mỗi khi không chắc mình nhớ đúng.

6. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp các khối đa diện thường gặp

Dạng bài “mặt cầu ngoại tiếp” chiếm nhiều câu trong đề thi. Bảng dưới gom các công thức rút gọn, giúp các em làm nhanh:

Khối đa diện	Bán kính R
Hình lập phương cạnh a	R = a√3/2
Hình hộp chữ nhật kích thước a, b, c	R = √(a² + b² + c²)/2
Hình chóp đều có cạnh bên b, chiều cao h	R = b²/(2h)
Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy, cạnh bên đó dài h; đáy có bán kính đường tròn ngoại tiếp r_đ	R² = r_đ² + (h/2)²
Lăng trụ đứng chiều cao h, đáy nội tiếp đường tròn bán kính r_đ	R² = r_đ² + (h/2)²
Hình trụ (r, h) nội tiếp mặt cầu	R² = r² + (h/2)²

Giải thích công thức R = b²/(2h): tâm mặt cầu nằm trên đường cao SH. Mặt phẳng trung trực của cạnh bên SA cắt SH tại tâm I. Hai tam giác vuông SMI (M là trung điểm SA) và SHA đồng dạng, nên SI.SH = SM.SA = b²/2. Từ đó R = SI = b²/(2h).

7. Mối quan hệ nón – trụ – cầu cần nhớ

Khối nón và khối trụ có cùng đáy, cùng chiều cao: V_nón = (1/3)V_trụ.
Khối cầu nội tiếp khối trụ (trụ có r = R, h = 2R): V_cầu = (4/3)πR³, V_trụ = 2πR³, nên V_cầu : V_trụ = 2 : 3. Diện tích mặt cầu 4πR² cũng đúng bằng diện tích xung quanh của trụ đó (2π.R.2R).
Từ đó suy ra, với cùng bán kính R và chiều cao 2R: V_nón : V_cầu : V_trụ = 1 : 2 : 3. Đây là tỉ lệ rất dễ nhớ.

8. Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1 (hình nón). Cho hình nón có bán kính đáy r = 3 cm, chiều cao h = 4 cm. Tính S_xq, S_tp và V.

Đường sinh: l = √(4² + 3²) = 5 cm.
S_xq = π.3.5 = 15π cm².
S_tp = 15π + π.3² = 24π cm².
V = (1/3).π.9.4 = 12π cm³.

Ví dụ 2 (hình trụ). Thiết diện qua trục của một hình trụ là hình vuông cạnh 6 cm. Tính S_xq, S_tp và V.

Hình vuông có cạnh 2r = h = 6, suy ra r = 3, h = 6.
S_xq = 2π.3.6 = 36π cm².
S_tp = 36π + 2π.9 = 54π cm².
V = π.9.6 = 54π cm³.

Ví dụ 3 (mặt cầu ngoại tiếp). Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lập phương cạnh a.

Tâm mặt cầu là tâm hình lập phương. R bằng nửa đường chéo: R = a√3/2.
S = 4π.(3a²/4) = 3πa².
V = (4/3)π.(a√3/2)³ = (4/3)π.(3√3a³/8) = (√3/2)πa³.

Ví dụ 4 (chóp đều). Hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a. Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp.

Nửa đường chéo đáy: HA = a√2/2. Chiều cao: h = √(a² − a²/2) = a√2/2.
R = b²/(2h) = a²/(a√2) = a√2/2.

Nhận xét: R = HA, tức tâm mặt cầu trùng với tâm H của đáy. Kết quả hợp lý, vì H cách đều cả năm đỉnh.

9. Lỗi sai thường gặp

Dùng h thay cho l trong S_xq của hình nón. Phải là πrl, không phải πrh.
Quên hệ số 1/3 khi tính thể tích nón, hoặc lại nhân thêm 1/3 vào thể tích trụ.
Quên số 2 trong 2πrh, hoặc chỉ cộng một đáy khi tính S_tp của trụ.
Lấy đường kính làm bán kính: đề cho “đường kính đáy 10” thì r = 5.
Nhầm 4πR² với (4/3)πR³: diện tích có đơn vị bình phương, thể tích có đơn vị lập phương. Kiểm tra số mũ của R là phát hiện ra ngay.
Dùng sai công thức nón cụt: l² = h² + (r₁ − r₂)² là hiệu hai bán kính, không phải tổng.

10. Bài tập luyện tập có đáp án

Bài 1. Hình nón có đường sinh 10 cm, bán kính đáy 6 cm. Tính thể tích khối nón và diện tích xung quanh.

Đáp án: h = √(100 − 36) = 8. V = (1/3)π.36.8 = 96π cm³. S_xq = π.6.10 = 60π cm².

Bài 2. Khối cầu có thể tích 36π cm³. Tính diện tích mặt cầu.

Đáp án: (4/3)πR³ = 36π, suy ra R³ = 27, R = 3. S = 4π.9 = 36π cm².

Bài 3. Một hình trụ có chiều cao 8 nội tiếp mặt cầu bán kính 5. Tính thể tích khối trụ.

Đáp án: r² = 5² − 4² = 9, nên r = 3. V = π.9.8 = 72π.

Bài 4. Hình nón cụt có bán kính hai đáy là 2 và 5, chiều cao 4. Tính đường sinh và diện tích xung quanh.

Đáp án: l = √(16 + 9) = 5. S_xq = π.5.(2 + 5) = 35π.

11. Tài liệu ôn tập nón – trụ – cầu

Thuộc công thức rồi, các em nên luyện thêm các dạng bài theo mức độ tăng dần:

Phương pháp giải về mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Lý thuyết và bài tập về mặt nón
Lý thuyết và bài tập về mặt tròn xoay
Lý thuyết và bài tập mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
Phương pháp giải Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu (bản mở rộng)
30 câu trắc nghiệm Mặt cầu có đáp án
73 câu trắc nghiệm Hình trụ, hình nón
30 câu trắc nghiệm Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu
35 câu trắc nghiệm mức độ vận dụng
38 bài tập trắc nghiệm Chương 2 Hình học 12
Giải Toán 12 Ôn tập chương II

Câu hỏi thường gặp

Diện tích xung quanh hình nón và hình trụ khác nhau thế nào?

Hình nón có S_xq = πrl, trong đó l là đường sinh, thường dài hơn chiều cao. Hình trụ có S_xq = 2πrh, có hệ số 2 vì mặt trụ trải ra là một hình chữ nhật dài 2πr.

Thể tích khối nón bằng bao nhiêu phần thể tích khối trụ?

Nếu khối nón và khối trụ có cùng bán kính đáy và cùng chiều cao thì thể tích khối nón bằng 1/3 thể tích khối trụ.

Làm sao nhớ công thức mặt cầu và khối cầu?

Diện tích mặt cầu bằng 4 lần diện tích hình tròn lớn: S = 4πR². Thể tích khối cầu là V = (4/3)πR³, và đạo hàm của V theo R đúng bằng S.

Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều tính nhanh thế nào?

Dùng công thức R = b²/(2h), trong đó b là độ dài cạnh bên và h là chiều cao của hình chóp đều.