Trả lời nhanh
Góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy (ABC) là góc giữa SA và hình chiếu vuông góc của nó trên đáy. Gọi H là hình chiếu của đỉnh S trên (ABC) thì HA là hình chiếu của SA, nên góc cần tìm là góc SAH. Vì SH ⊥ (ABC) nên tam giác SHA vuông tại H, ta tính góc bằng tan = SH/HA hoặc cos = HA/SA.
Quy trình 4 bước xác định góc giữa cạnh bên và mặt đáy
- Tìm chân đường cao H. Đây là hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt đáy. Với hình chóp có cạnh bên SA vuông góc với đáy thì H trùng A; với hình chóp đều thì H là tâm của đa giác đáy.
- Nối H với chân cạnh bên. Đoạn HA là hình chiếu của cạnh bên SA trên đáy.
- Chỉ ra góc. Góc (SA, (ABC)) = góc giữa SA và HA = góc SAH (luôn nhọn, không vượt quá 90°).
- Tính bằng tam giác vuông SHA. Dùng tanα = SH/HA, sinα = SH/SA hoặc cosα = HA/SA, tuỳ đề cho độ dài nào.
Phần khó nhất luôn là bước 1. Hãy tự hỏi: giả thiết đề bài cho “đường vuông góc với đáy” ở đâu? Có thể là SA ⊥ (ABC), có thể là hai mặt phẳng vuông góc theo giao tuyến, hoặc hình chóp đều.
Ba trường hợp hay gặp
| Giả thiết | Hình chiếu H của S | Góc cạnh bên SC với đáy |
|---|---|---|
| SA ⊥ (ABCD) | H ≡ A | Góc SCA |
| Hình chóp đều | H là tâm đáy | Góc SCH |
| (SAB) ⊥ (ABC), SAB cân/đều tại S | H là trung điểm AB | Góc SCH |
Ví dụ 1: Cạnh bên vuông góc với đáy
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a√2. Tính góc giữa SC và mặt đáy.
Lời giải. Vì SA ⊥ (ABCD) nên AC là hình chiếu của SC trên đáy, do đó góc cần tìm là góc SCA. Đường chéo hình vuông AC = a√2. Trong tam giác SAC vuông tại A: tan(SCA) = SA/AC = a√2/(a√2) = 1. Vậy góc giữa SC và đáy bằng 45°.
Ví dụ 2: Hình chóp tam giác đều
Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Tính cosin góc giữa cạnh bên và mặt đáy.
Lời giải. Gọi H là tâm của tam giác đều ABC thì SH ⊥ (ABC) và AH là hình chiếu của SA. Đường cao tam giác đều là a√3/2, mà H chia đường cao theo tỉ lệ 2 : 1 từ đỉnh nên AH = (2/3)·(a√3/2) = a√3/3. Góc cần tìm là góc SAH: cos(SAH) = AH/SA = (a√3/3)/(2a) = √3/6.
Ví dụ 3: Hai mặt phẳng vuông góc
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông cân tại C, AB = 2a. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính góc giữa SC và mặt đáy, và góc giữa SA và mặt đáy.
Lời giải. Gọi H là trung điểm AB. Tam giác SAB đều nên SH ⊥ AB, SH = a√3. Vì (SAB) ⊥ (ABC) theo giao tuyến AB nên SH ⊥ (ABC).
- Với SC: HC là hình chiếu của SC. Tam giác ABC vuông tại C nên trung tuyến HC = AB/2 = a. Khi đó tan(SCH) = SH/HC = a√3/a = √3, suy ra góc SCH = 60°.
- Với SA: hình chiếu của SA là HA (vì H nằm trên AB). Tam giác SAB đều nên góc SAH = góc SAB = 60°.
Lỗi sai thường gặp
- Lấy luôn góc SAB (góc giữa hai cạnh) làm “góc với đáy”. Chỉ đúng khi SB hoặc SA nằm đúng trong mặt đáy và H thuộc đường thẳng đó, như câu cuối ví dụ 3.
- Nhầm hình chiếu của S với chân đường cao vẽ trên mặt bên. Cần chứng minh SH vuông góc với hai đường cắt nhau trong đáy, hoặc dùng định lí hai mặt phẳng vuông góc.
- Tính tan nhưng ghi ngược thành HA/SH.
- Cho kết quả là góc tù. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn trong khoảng từ 0° đến 90°.
Bài luyện tập
- Hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông tại B, AB = a, BC = a√3, SA = a. Tính góc giữa SC và đáy. Gợi ý: AC = 2a, tan = 1/2.
- Hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy a và cạnh bên a. Tính góc giữa cạnh bên và đáy. Đáp số: 45° (AH = a√2/2, cos = √2/2).
- Hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật AB = a, AD = a√3, SA ⊥ (ABCD), SC tạo với đáy góc 60°. Tính SA. Đáp số: SA = 2a√3.
Muốn học tiếp, em xem thêm các dạng liền kề: Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng chứa đường cao, Góc giữa cạnh bên và mặt bên và Góc giữa đường cao và mặt bên.
Câu hỏi thường gặp
Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là góc nào?
Là góc giữa cạnh bên và hình chiếu vuông góc của nó trên mặt đáy, tức góc SAH nếu H là hình chiếu của đỉnh S xuống đáy.
Với hình chóp đều, hình chiếu của đỉnh nằm ở đâu?
Ở tâm của đa giác đáy: giao điểm các đường trung tuyến với tam giác đều, giao hai đường chéo với hình vuông.
Khi nào dùng tan, khi nào dùng cos?
Có SH và HA thì dùng tan = SH/HA. Có HA và SA thì dùng cos = HA/SA. Có SH và SA thì dùng sin = SH/SA.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có thể lớn hơn 90° không?
Không. Góc này luôn nằm trong đoạn từ 0° đến 90°; nếu tính ra góc tù, em đã lấy nhầm góc giữa hai cạnh.