Góc giữa cạnh bên và mặt đáy

Tưởng Thị Hồng Vân Ngày: 08-03-2024 Lớp 12

Tải xuống 3 41.6 K 81

Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập bộ bài tập Góc giữa cạnh bên và mặt đáy Toán lớp 12, tài liệu bao gồm 3 trang, tuyển chọn các bài tập Góc giữa cạnh bên và mặt đáy có lời giải chi tiết, giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kì thi tốt nghiệp THPT môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Tài liệu Góc giữa cạnh bên và mặt đáy gồm các nội dung chính sau:

I. Phương pháp giải

- tóm tắt lý thuyết ngắn gọn;

- phương pháp giải chi tiết từng dạng bài tập.

II. Một số ví dụ/ Ví dụ minh họa

- gồm 3 ví dụ minh họa đa dạng của các dạng bài tập trên có lời giải chi tiết.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

Góc giữa cạnh bên và mặt đáy

I. Phương pháp giải

Tìm góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy (ABC)

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy (ABC).

Như vậy HA là hình chiếu vuông góc của SA trên (ABC).

Vậy $(\hat{S A; (A B C)}) = \hat{(S A; H A)} = \hat{S A H} .$

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, có $A B = a; B C = a \sqrt{3}$ . Biết $S A ⊥ (A B C)$ , SB tạo với đáy một góc $60 °$ và M là trung điểm của BC.

a) Tính cosin góc giữa SC và mặt phẳng (ABC).

b) Tính cosin góc giữa SM và mặt phẳng (ABC).

Lời giải

a) Do $S A ⊥ (A B C) \Rightarrow (\hat{S B; (A B C)}) = \hat{S B A} = 60 ° .$

Do đó $S A = A B \tan \hat{S B A} = a \tan 60 ° = a \sqrt{3} .$

Ta có: $A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = 2 a; \hat{(S C; (A B C))} = \hat{S C A} .$

Khi đó: $\cos \hat{S C A} = \frac{A C}{S C} = \frac{A C}{\sqrt{S A^{2} + A C^{2}}} = \frac{2 a}{\sqrt{3 a^{2} + 4 a^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{7}} .$

b) Do $S A ⊥ (A B C) \Rightarrow \hat{(S M; (A B C))} = \hat{S M A} = φ .$

Ta có: $A M = \sqrt{A B^{2} + B M^{2}} = \sqrt{a^{2} + {(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{7}}{2} .$

Khi đó $\cos φ = \frac{A M}{S M} = \frac{A M}{\sqrt{S A^{2} + A M^{2}}} = \frac{\sqrt{133}}{19} .$

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật có $A B = 2 a; A D = a$ . Tam giác (SAB) đều và thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy.

a) Tính góc giữa SB, SC và mặt phẳng (ABCD).

b) Gọi I là trung điểm của BC. Tính tan góc giữa SI và mặt phẳng (ABCD).

Lời giải

a) Gọi H là trung điểm của AB ta có: $S H ⊥ A B$

Mặt khác $\{\begin{cases} (S A B) ⊥ (A B C D) \\ A B = (S A B) \cap (A B C D) \end{cases} \Rightarrow S H ⊥ (A B C D) .$

Tam giác SAB đều cạnh 2a nên $S H = a \sqrt{3},$

$H C = \sqrt{H B^{2} + B C^{2}} = a \sqrt{2} .$

Do $S H ⊥ (A B C D) \Rightarrow (\hat{S B; (A B C D)}) = \hat{S B H} = 60 °$

$(\hat{S C; (A B C D)}) = \hat{S C H}$ và $\tan \hat{S C H} = \frac{S H}{H C} = \sqrt{\frac{3}{2}} .$

b) Ta có: $H I = \sqrt{H B^{2} + B I^{2}} = \sqrt{a^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{5}}{2} .$

Mặt khác $(\hat{S I; (A B C D)}) = \hat{S I H}$ và $\hat{S I H} = \frac{S H}{S I} = a \sqrt{3} : \frac{a \sqrt{5}}{2} = \frac{2 \sqrt{15}}{5} .$

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là nửa lục giác đều cạnh a, \[AD = 2a\]. Biết \[SA \bot \left( {ABCD} \right)\] và đường thẳng SB tạo với đáy một góc \[45^\circ .\]

a) Tính cosin góc tạo bởi các cạnh SC, SD và mặt đáy (ABCD).

b) Gọi I là trung điểm của CD, tính tan góc tạo bởi SI và mặt phẳng (ABCD).

Lời giải

a) Gọi O là trung điểm của AD \[ \Rightarrow \] OABC là hình thoi cạnh a \[ \Rightarrow CO = a = \frac{1}{2}AD \Rightarrow \Delta ACD\] vuông tại C.

\[\begin{array}{l}SA \bot \left( {ABCD} \right)\\ \Rightarrow \widehat {\left( {SB;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {SBA} = 45^\circ .\end{array}\]

Do đó \[SA = AB\tan 45^\circ = a.\]

\[\begin{array}{l}AC = \sqrt {A{D^2} - C{D^2}} = a\sqrt 3 \\ \Rightarrow \cos \widehat {\left( {SC;\left( {ABC} \right)} \right)} = \cos \widehat {SCA}\end{array}\]

\[\begin{array}{l} = \frac{{AC}}{{SC}} = \frac{{AC}}{{\sqrt {S{A^2} + A{C^2}} }}\\ = \frac{{a\sqrt 3 }}{{\sqrt {{a^2} + 3{a^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\end{array}\]

\[\begin{array}{l}\cos \left( {\widehat {SD;\left( {ABCD} \right)}} \right) = \cos \widehat {SDA}\\ = \frac{{AD}}{{\sqrt {S{A^2} + A{D^2}} }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}.\end{array}\]

b) Ta có:

\[\begin{array}{l}AI = \sqrt {A{C^2} + C{I^2}} \\ = \sqrt {3{a^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt {13} }}{2}.\end{array}\]

Do đó

\[\begin{array}{l}\tan \widehat {\left( {SI;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \tan \widehat {SIA}\\ = \frac{{SA}}{{AI}} = \frac{2}{{\sqrt {13} }}.\end{array}\]

Xem thêm