Giải Toán 12 Bài 4: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

Trịnh Thị Giang Ngày: 11-05-2022 Lớp 12

2.3 K

Tailieumoi.vn giới thiệu Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 4: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit chính xác, chi tiết nhất giúp học sinh dễ dàng làm bài tập Hàm số mũ - hàm số lôgarit lớp 12.

Giải bài tập Toán lớp 12 Bài 4: Hàm số mũ. Hàm số lôgarit

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời câu hỏi 1 trang 71 SGK Giải tích 12: Cho biết năm

2003

, Việt Nam có

80902400

người và tỉ lệ tăng dân số là

1, 47

. Hỏi năm

2010

Việt Nam sẽ có bao nhiêu người, nếu tỉ lệ tăng dân số hằng năm không đổi ?

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức

T = A {(1 + r)}^{N}

Lời giải:

Từ năm $2003$ đến năm $2010$ là $7$ năm.

Vậy năm $2010$ Việt Nam sẽ có số người là: $80902400 . {(1 + 0.0147)}^{7} = 89603511, 14.$

Trả lời câu hỏi 2 trang 71 SGK Giải tích 12: Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số mũ ? Với cơ số bao nhiêu ?

$\begin{aligned} a) y = (\sqrt{3})^{x} \\ b) y = 5^{\frac{x}{3}} \\ c) y = x^{- 4} \\ d) y = 4^{- x} \end{aligned}$

Phương pháp giải:

Hàm số

y = a^{x} (0 < a \neq 1)

được gọi là hàm số mũ cơ số

a

Lời giải:

Các hàm số mũ là $y = (\sqrt{3})^{x}$ với cơ số là $\sqrt{3}$ ; $y = 5^{\frac{x}{3}}$ với cơ số là $5^{\frac{1}{3}}$ ; $y = 4^{- x}$ với cơ số là $4^{- 1}$

Trả lời câu hỏi 3 trang 75 SGK Giải tích 12: Tìm đạo hàm của hàm số:

y = \ln (x + \sqrt{(1 + x^{2})})

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức đạo hàm

{(\ln u)}^{'} = \frac{u^{'}}{u}

Lời giải:

$\begin{aligned} y^{'} = [\ln (x + \sqrt{1 + x^{2}})]^{'} \\ = \frac{(x + \sqrt{1 + x^{2}})^{'}}{x + \sqrt{1 + x^{2}}} \end{aligned}$

$= \frac{1 + \frac{{(1 + x^{2})}^{'}}{2 \sqrt{1 + x^{2}}}}{x + \sqrt{1 + x^{2}}}$ $= \frac{1 + \frac{2 x}{2 \sqrt{1 + x^{2}}}}{x + \sqrt{1 + x^{2}}}$ $= \frac{1 + \frac{x}{\sqrt{1 + x^{2}}}}{x + \sqrt{1 + x^{2}}}$

$= \frac{\frac{\sqrt{1 + x^{2}} + x}{\sqrt{1 + x^{2}}}}{x + \sqrt{1 + x^{2}}}$ $= \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$

Trả lời câu hỏi 4 trang 77 SGK Giải tích 12: Nêu nhận xét về mối liên hệ giữa đồ thị của các hàm số trên Hình 35 và Hình 36.

Lời giải:

Đồ thị của các hàm số trên Hình 35 và Hình 36 đối xứng nhau qua đường thẳng $y = x .$

Câu hỏi và bài tập (trang 77, 78 SGK Giải tích 12)

Bài 1 trang 77 SGK Giải tích 12: Vẽ đồ thị của các hàm số:

a) $y = 4^{x}$ ;

y = {(\frac{1}{4})}^{x}

Phương pháp giải:

Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:

Bước 1: Tập xác định.

Bước 2: Sự biến thiên.

- Tính $y^{'}$ , tìm các điểm mà tại đó $y^{'}$ bằng 0 hoặc không xác định.

- Xét dấu $y^{'}$ và suy ra các khoảng đơn điệu của đồ thị hàm số.

- Tính các giới hạn đặc biệt: Giới hạn tại vô cực và giới hạn tại các điểm mà hàm số không xác định.

- Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

- Lập bảng biến thiên.

Bước 3: Đồ thị.

- Tìm giao điểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ (nếu có).

- Vẽ đồ thị hàm số dựa vào các yếu tố ở trên.

Lời giải:

Đồ thị hàm số $y = 4^{x}$

*) Tập xác định: $R$

*) Sự biến thiên:

$y^{'} = 4^{x} \ln 4 > 0, \forall x \in R$

- Hàm số đồng biến trên $R$

- Giới hạn đặc biệt:

$\begin{aligned} lim_{x \to - \infty} y = 0 \\ lim_{x \to + \infty} y = + \infty \end{aligned}$

Tiệm cận ngang: $y = 0$ .

- Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị nằm hoàn toàn phía trên trục hoành, cắt trục tung tại điểm $(0; 1)$ , đi qua điểm $(1; 4)$ và qua các điểm $(\frac{1}{2}; 2)$ , $(- \frac{1}{2}; \frac{1}{2})$ , $(- 1; \frac{1}{4})$ .

Đồ thị hàm số $y = {(\frac{1}{4})}^{x}$

*) Tập xác định: $R$

*) Sự biến thiên:

$y^{'} = {(\frac{1}{4})}^{x} . \ln (\frac{1}{4})$ $= - {(\frac{1}{4})}^{x} \ln 4 < 0 \forall x \in R$

- Hàm số nghịch biến trên $R$

- Giới hạn:

$\begin{aligned} lim_{x \to - \infty} y = + \infty \\ lim_{x \to + \infty} y = 0 \end{aligned}$

Tiệm cận ngang $y = 0$

- Bảng biến thiên:

*) Đồ thị:

Đồ thị hàm số nằm hoàn toàn về phía trên trục hoành, cắt trục tung tại điểm $(0; 1),$ đi qua điểm $(1; \frac{1}{4}$ ) và qua các điểm $(- \frac{1}{2}; 2), (- 1; 4) .$

Bài 2 trang 77 SGK Giải tích 12: Tính đạo hàm của các hàm số:

a) $y = 2 x e^{x} + 3 s i n 2 x$ ;

y = 5 x^{2} - 2^{x} \cos x

;

y = \frac{x + 1}{3^{x}} .

Phương pháp giải:

Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản: ${(e^{x})}^{'} = e^{x}, {(\sin k x)}^{'} = k \cos k x$ và quy tắc tính đạo hàm của một tích: ${(u v)}^{'} = u^{'} . v + u . v^{'}$ .

Lời giải:

$y^{'} = (2 x e^{x})^{'} + 3 (\sin 2 x)^{'}$

$= 2. (x)^{'} e^{x} + 2 x (e^{x})^{'} + 3.2 \cos 2 x$

$= 2.1. e^{x} + 2 x . e^{x} + 6 \cos 2 x$

$= 2 (1 + x) e^{x} + 6 \cos 2 x$

$\begin{array}{l} y^{'} = {(5 x^{2})}^{'} - {(2^{x} \cos x)}^{'} \\ = 5.2 x - ({(2^{x})}^{'} . \cos x + 2^{x} . {(\cos x)}^{'}) \\ = 10 x - (2^{x} . \ln 2. \cos x - 2^{x} . \sin x) \\ = 10 x - 2^{x} (\ln 2 \cos x - \sin x) \end{array}$

$\begin{array}{l} y^{'} = \frac{{(x + 1)}^{'} {.3}^{x} - (x + 1) . {(3^{x})}^{'}}{{(3^{x})}^{2}} \\ = \frac{3^{x} - (x + 1) {.3}^{x} \ln 3}{{(3^{x})}^{2}} \\ = \frac{3^{x} (1 - (x + 1) \ln 3)}{{(3^{x})}^{2}} \\ = \frac{1 - (x + 1) \ln 3}{3^{x}} \end{array}$

Bài 3 trang 77 SGK Giải tích 12: Tìm tập xác định của các hàm số:

a) $y = \log_{2} (5 - 2 x)$ ;

b) $y = \log_{3} (x^{2} - 2 x)$ ;

y = \log_{\frac{1}{5}} (x^{2} - 4 x + 3)

;

y = \log_{0, 4} \frac{3 x + 2}{1 - x}

Phương pháp giải:

Hàm số $y = \log_{a} f (x) (0 < a \neq 1)$ xác định khi và chỉ khi $f (x) > 0$ .

Lời giải:

Hàm số $y = \log_{2} (5 - 2 x)$ xác định khi và chỉ khi:

$5 - 2 x > 0 \Leftrightarrow x < \frac{5}{2} .$

Vậy hàm số $y = \log_{2} (5 - 2 x)$ có tập xác định là $D = (- \infty; \frac{5}{2}) .$

Hàm số $y = \log_{3} (x^{2} - 2 x)$ xác định khi và chỉ khi:

$x^{2} - 2 x > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x > 2 \\ x < 0 \end{array}$

Vậy hàm số $y = \log_{3} (x^{2} - 2 x)$ có tập xác định là $D = (- \infty; 0) \cup (2; + \infty)$ .

Hàm số $y = \log_{\frac{1}{5}} (x^{2} - 4 x + 3)$ xác định khi và chỉ khi

$x^{2} - 4 x + 3 > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x > 3 \\ x < 1 \end{array}$

Vậy hàm số $y = \log_{\frac{1}{5}} (x^{2} - 4 x + 3)$ có tập xác định là $D = (- \infty; 1) \cup (3; + \infty)$ .

Hàm số $y = \log_{0, 4} \frac{3 x + 2}{1 - x}$ xác định khi và chỉ khi:

$\frac{3 x + 2}{1 - x} > 0$

$\Leftrightarrow [\begin{array}{l} {\begin{cases} 3 x + 2 > 0 \\ 1 - x > 0 \end{cases} \\ {\begin{cases} 3 x + 2 < 0 \\ 1 - x < 0 \end{cases} \end{array}$ $\Leftrightarrow [\begin{array}{l} {\begin{cases} x > - \frac{2}{3} \\ x < 1 \end{cases} \\ {\begin{cases} x < - \frac{2}{3} \\ x > 1 \end{cases} (V N) \end{array}$ $\Leftrightarrow - \frac{2}{3} < x < 1$

Vậy hàm số $y = \log_{0, 4} \frac{3 x + 1}{1 - x}$ có tập xác định là $D = (- \frac{2}{3}; 1)$ .

Chú ý:

Các em cũng có thể lập bảng xét dấu các nhị thức bậc nhất như sau:

Bài 4 trang 78 SGK Giải tích 12: Vẽ đồ thị của các hàm số:

a) $y = \log x$ ;

b) y =

\log_{\frac{1}{2}} x

Phương pháp giải:

Các bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:

Bước 1: Tập xác định.

Bước 2: Sự biến thiên.

- Tính $y^{'}$ , tìm các điểm mà tại đó $y^{'}$ bằng 0 hoặc không xác định.

- Xét dấu $y^{'}$ và suy ra các khoảng đơn điệu của đồ thị hàm số.

- Tính các giới hạn đặc biệt: Giới hạn tại vô cực và giới hạn tại các điểm mà hàm số không xác định.

- Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

- Lập bảng biến thiên.

Bước 3: Đồ thị.

- Tìm giao điểm của đồ thị hàm số với các trục tọa độ (nếu có).

- Vẽ đồ thị hàm số dựa vào các yếu tố ở trên.

Lời giải:

Đồ thị hàm số $y = \log x$ .

*) Tập xác định: $D = (0; + \infty)$

*) Sự biến thiên:

$y^{'} = \frac{1}{x \ln 10} > 0, \forall x \in D$

- Hàm số đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$

- Giới hạn đặc biệt:

$\begin{aligned} lim_{x \to 0^{+}} y = - \infty \\ lim_{x \to + \infty} y = + \infty \end{aligned}$

Hàm số có tiệm cận đứng là: $x = 0$

- Bảng biến thiên:

*) Đồ thị:

Đồ thị hàm số nằm hoàn toàn bên phải trục tung) nhận trục tung làm tiệm cận đứng, cắt trục hoành tại điểm $(1; 0)$ và đi qua điểm $(10; 1)$ , $(\frac{1}{10}; - 1)$ .

Đồ thị hàm số $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ .

*) Tập xác định: $D = (0; + \infty)$

*) Sự biến thiên:

$y^{'} = \frac{- 1}{x \ln 2} < 0, \forall x \in D$

- Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; + \infty)$

- Giới hạn:

$\begin{aligned} lim_{x \to 0^{+}} y = + \infty \\ lim_{x \to + \infty} y = - \infty \end{aligned}$

Hàm số có tiệm cận đứng $x = 0$ .

- Bảng biến thiên:

*) Đồ thị:

Đồ thị hàm số nằm hoàn toàn bên phải trục tung (nhận trục tung làm tiệm cận đứng), cắt trục hoành tại điểm $(1; 0)$ và đi qua điểm $(\frac{1}{2}; 1)$ , điểm phụ $(2; - 1)$ , $(4. - 2)$ , $(\frac{1}{4}; 2)$ .

Bài 5 trang 78 SGK Giải tích 12: Tính đạo hàm của các hàm số:

a) $y = 3 x^{2} - \ln x + 4 \sin x$ ;

y = \log (x^{2} + x + 1)

;

y = \frac{\log_{3} x}{x}

Phương pháp giải:

a) Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản:

${(x^{n})}^{'} = n . x^{n - 1}$

${(\ln x)}^{'} = \frac{1}{x}$

${(\sin x)}^{'} = \cos x$

b) Sử dụng công thức đạo hàm của hàm hợp: ${(\log_{a} u)}^{'} = \frac{u^{'}}{u \ln a}$

c) Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản và quy tắc tính đạo hàm của thương: ${(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} . v - u . v^{'}}{v^{2}}$ .

Lời giải:

$\begin{array}{l} y^{'} = {(3 x^{2})}^{'} - {(\ln x)}^{'} + 4 {(\sin x)}^{'} \\ = 3.2 x - \frac{1}{x} + 4. \cos x \\ = 6 x - \frac{1}{x} + 4 \cos x \end{array}$

$y^{'} = \frac{{(x^{2} + x + 1)}^{^{'}}}{(x^{2} + x + 1) . l n 10}$ = $\frac{2 x + 1}{(x^{2} + x + 1) . l n 10}$ .

$y^{'} = \frac{{(\log_{3} x^{})}^{^{'}} . x - \log_{3} x . x^{'}}{x^{2}}$ = $\frac{\frac{1}{x . \ln 3} . x - \log_{3} x}{x^{2}}$ $= \frac{\frac{1}{\ln 3} - \log_{3} x}{x^{2}}$ $= \frac{1 - \ln 3. \log_{3} x}{x^{2} . \ln 3}$ $= \frac{1 - \ln 3. \frac{\ln x}{\ln 3}}{x^{2} \ln 3}$ $= \frac{1 - \ln x}{x^{2} . \ln 3}$ .

Lý thuyết Bài 4: Hàm số mũ, hàm số lôgarit

1. Định nghĩa

Hàm số mũ là hàm số có dạng $y = a^{x}$ , hàm số lôgarit là hàm số có dạng $y = \log_{a} x$ ( với cơ số a dương khác 1).

2. Tính chất của hàm số mũ $y = a^{x}$ $(a > 0, a \neq 1)$ .

- Tập xác định: $R$ .

- Đạo hàm: $\forall x \in R, y^{'} = a^{x} \ln a$ .

- Chiều biến thiên

+) Nếu $a > 1$ thì hàm số luôn đồng biến

+) Nếu $0 < a < 1$ thì hàm số luôn nghịch biến

- Tiệm cận: trục $O x$ là tiệm cận ngang.

- Đồ thị nằm hoàn toàn về phía trên trục hoành $(y = a^{x} > 0 \forall x)$ , và luôn cắt trục tung tại điểm $(0; 1)$ và đi qua điểm $(1; a)$ .

3. Tính chất của hàm số lôgarit $y = \log_{a} x$ $(a > 0, a \neq 1)$ .

- Tập xác định: $(0; + \infty)$ .

- Đạo hàm $\forall x \in (0; + \infty), y^{'} = \frac{1}{x \ln a}$ .

- Chiều biến thiên:

+) Nếu $a > 1$ thì hàm số luôn đồng biến

+) Nếu $0 < a < 1$ thì hàm số luôn nghịch biến

- Tiệm cận: Trục $O y$ là tiệm cận đứng.

- Đồ thị nằm hoàn toàn phía bên phải trục tung, luôn cắt trục hoành tại điểm $(1; 0)$ và đi qua điểm $(a; 1)$ .

4. Chú ý

- Nếu $a > 1$ thì $\ln a > 0$ , suy ra $(a^{x})^{'} > 0 \forall x$ và $({\log_{a}}^{x}) > 0, \forall x > 0;$

do đó hàm số mũ và hàm số lôgarit với cơ số lớn hơn 1 đều là những hàm số luôn luôn đồng biến.

Tương tự, nếu $0 < a < 1$ thì $\ln a < 0$ , $(a^{x})^{'} < 0$ và $({\log_{a}}^{x}) < 0, \forall x > 0;$ ; hàm số mũ và hàm số lôgarit với cơ số nhỏ hơn 1 đều là những hàm số luôn luôn nghịch biến.

- Công thức đạo hàm của hàm số lôgarit có thể mở rộng thành

$(\ln | x |)^{'} = \frac{1}{x}, \forall x \neq 0$ và $(\log_{a} | x |)^{'} = \frac{1}{x \ln a}, \forall x \neq 0.$

Sơ đồ tư duy về Hàm số mũ - Hàm số Lôgarit

Các dạng toán về hàm số mũ, hàm số logarit

1. Hàm số mũ

Dạng 1: Tìm hàm số có đồ thị cho trước và ngược lại.

Phương pháp:

- Bước 1: Quan sát dáng đồ thị, tính đơn điệu,…của các đồ thị bài cho.

- Bước 2: Đối chiếu với hàm số bài cho và chọn kết luận.

Dạng 2: Tìm mối quan hệ giữa các cơ số khi biết đồ thị.

Phương pháp:

- Bước 1: Quan sát các đồ thị, nhận xét về tính đơn điệu để nhận xét các cơ số.

+ Hàm số đồng biến thì cơ số lớn hơn $1$ .

+ Hàm số nghịch biến thì cơ số lớn hơn $0$ và nhỏ hơn $1$ .

- Bước 2: So sánh các cơ số dựa vào phần đồ thị của hàm số.

- Bước 3: Kết hợp các điều kiện ở trên ta được mối quan hệ cần tìm.

Lưu ý: Đối với một số bài toán phức tạp hơn thì ta cần chú ý thêm đến một số yếu tố khác như điểm đi qua, tính đối xứng,…

Dạng 3: Tính đạo hàm các hàm số.

Phương pháp:

- Bước 1: Áp dụng các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương để tính đạo hàm hàm số đã cho.

${(u \pm v)}^{'} = u^{'} \pm v^{'}; {(u v)}^{'} = u^{'} v + u v^{'}; {(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$

- Bước 2: Tính đạo hàm các hàm số thành phần dựa vào công thức tính đạo hàm các hàm số cơ bản: hàm đa thức, phân thức, hàm mũ, logarit, lũy thừa,…

- Bước 3: Tính toán và kết luận.

Dạng 4: Tính giới hạn các hàm số.

Phương pháp:

Áp dụng các công thức tính giới hạn đặc biệt để tính toán:

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1$ ; $lim_{x \to 0} \frac{a^{x} - 1}{x} = \ln a$ ; $lim_{x \to + \infty} {(1 + \frac{1}{x})}^{x} = e$ ; $lim_{x \to 0} {(x + 1)}^{\frac{1}{x}} = e$ .

Dạng 5: Tìm GTLN, GTNN của hàm số mũ trên một đoạn.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $y^{'}$ , tìm các nghiệm $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n} \in [a; b]$ của phương trình $y^{'} = 0$ .

- Bước 2: Tính $f (a), f (b), f (x_{1}), . . ., f (x_{n})$ .

- Bước 3: So sánh các giá trị vừa tính ở trên và kết luận GTLN, GTNN của hàm số.

+ GTNN $m$ là số nhỏ nhất trong các giá trị tính được.

+ GTLN $M$ là số lớn nhất trong các giá trị tính được.

2. Hàm số logarit

Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Phương pháp:

- Bước 1: Tìm điều kiện để các logarit xác định.

Hàm số $\log_{a} (u (x))$ xác định ${\begin{cases} a > 0 \\ u (x) > 0 \end{cases}$

- Bước 2: Tìm điều kiện để các biểu thức dưới dấu căn bậc hai, biểu thức dưới mẫu trong các phân thức,…(nếu có).

+ Căn bậc hai $\sqrt{u (x)}$ xác định nếu $u (x) \geq 0$ .

+ Phân thức $\frac{u (x)}{v (x)}$ xác định nếu $g (x) \neq 0$ .

- Bước 3: Giải các bất phương trình ở trên và kết hợp nghiệm ta được tập xác định của hàm số.

Dạng 2: Tìm hàm số có đồ thị cho trước và ngược lại.

Phương pháp:

- Bước 1: Quan sát dáng đồ thị, tính đơn điệu,…của các đồ thị bài cho.

- Bước 2: Đối chiếu với hàm số bài cho và chọn kết luận.

Dạng 3: Tìm mối quan hệ giữa các cơ số khi biết đồ thị.

Phương pháp:

- Bước 1: Quan sát các đồ thị, nhận xét về tính đơn điệu để nhận xét các cơ số.

+ Hàm số đồng biến thì cơ số lớn hơn $1$ .

+ Hàm số nghịch biến thì cơ số lớn hơn $0$ và nhỏ hơn $1$ .

- Bước 2: So sánh các cơ số dựa vào phần đồ thị của hàm số.

- Bước 3: Kết hợp các điều kiện ở trên ta được mối quan hệ cần tìm.

Lưu ý: Đối với một số bài toán phức tạp hơn thì ta cần chú ý thêm đến một số yếu tố khác như điểm đi qua, tính đối xứng,…

Dạng 4: Tính đạo hàm các hàm số.

Phương pháp:

- Bước 1: Áp dụng các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương để tính đạo hàm hàm số đã cho.

${(u \pm v)}^{'} = u^{'} \pm v^{'}; {(u v)}^{'} = u^{'} v + u v^{'}; {(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u^{'} v - u v^{'}}{v^{2}}$

- Bước 2: Tính đạo hàm các hàm số thành phần dựa vào công thức tính đạo hàm các hàm số cơ bản: hàm đa thức, phân thức, hàm mũ, logarit, lũy thừa,…

- Bước 3: Tính toán và kết luận.

Dạng 5: Tính giới hạn các hàm số.

Phương pháp:

Áp dụng các công thức tính giới hạn đặc biệt để tính toán:

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x)}{x} = 1$ ; $lim_{x \to 0} \frac{\log_{a} (1 + x)}{x} = \frac{1}{\ln a}$

Dạng 6: Tìm GTLN, GTNN của hàm số mũ và hàm số logarit trên một đoạn.

Phương pháp:

- Bước 1: Tính $y^{'}$ , tìm các nghiệm $x_{1}, x_{2}, . . ., x_{n} \in [a; b]$ của phương trình $y^{'} = 0$ .

- Bước 2: Tính $f (a), f (b), f (x_{1}), . . ., f (x_{n})$ .

- Bước 3: So sánh các giá trị vừa tính ở trên và kết luận GTLN, GTNN của hàm số.

+ GTNN $m$ là số nhỏ nhất trong các giá trị tính được.

+ GTLN $M$ là số lớn nhất trong các giá trị tính được.

Từ khóa :

Đánh giá

0 đánh giá

Đánh giá

Bài viết cùng môn học

Toán Lớp 8

Giáo án PowerPoint Ứng dụng định lí Thalès để ước lượng tỉ lệ giữa chiều ngang và chiều dọc của một vật (Chân trời sáng tạo) | Toán 8 quỳnh nga

117

Toán Lớp 8

Giáo án PowerPoint Dùng phương trình bậc nhất để tính nồng độ phần trăm của dung dịch. Thực hành pha chế dung dịch nước muối sinh lí (Chân trời sáng tạo) | Toán 8 quỳnh nga

119

Toán Lớp 8

Giáo án PowerPoint Vẽ đồ thị hàm số bậc nhất y = ax + b bằng phần mềm GeoGebara (Chân trời sáng tạo) | Toán 8 quỳnh nga

109

Toán Lớp 8

Giáo án PowerPoint Bài tập cuối chương 9 (Chân trời sáng tạo) | Toán 8 quỳnh nga

104

Tìm kiếm