Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập bộ bài tập Biến đổi lũy thừa và mũ Toán lớp 12, tài liệu bao gồm 5 trang, tuyển chọn 10 bài tập Biến đổi lũy thừa và mũ đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải chi tiết và bài tập có đáp án (có lời giải), giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kì thi tốt nghiệp THPT môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.
Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:
BIẾN ĐỔI LŨY THỪA VÀ MŨ
I. Phương pháp giải
- Lũy thừa với số mũ nguyên dương:
\({a^n} = a.a...a,n\)thừa số a (với mọi a và \(n \in {N^ * })\)
- Lũy thừa với số mũ 0 và nguyên âm:
\({a^0} = 1\)và \({a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}\)(với \(a \ne 0\)và \(n \in {N^ * })\)
- Lũy thừa với số mũ hữu tỉ;
\({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}a\) (với \(a > 0\)và \(r = \frac{m}{n},n \in Z,n \in {N^ * })\)
- Lũy thừa với số mũ thực:
\({a^\alpha } = \lim {a^{{r_n}}}\)(với \(a > 0,\alpha \in R,{r_n} \in Q\)và \({{\mathop{\rm limr}\nolimits} _n} = \alpha ).\)
- Căn bậc n:
Khi n lẻ, \(b = \sqrt[n]{a} \Leftrightarrow {b^n} = a\)(với mọi a)
Khi n chẵn, \(b = \sqrt[n]{a} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b \ge 0\\{b^n} = a\end{array} \right.\)(với \(a \ge 0).\)
- Biến đổi lũy thừa: Với các số \(a > 0,b > 0,\alpha \)và \[\beta \]tùy ý, ta có:
\[{a^\alpha }.{a^\beta } = {a^{\alpha + \beta }};{a^\alpha }:{a^\beta } = {a^{\alpha - \beta }};{\left( {{a^\alpha }} \right)^\beta } = {a^{\alpha \beta }}\]
\[{\left( {a.b} \right)^\alpha } = {a^\alpha }.{b^\alpha };{\left( {a:b} \right)^\alpha } = {a^\alpha }:{b^\alpha }\]
- Quan hệ so sánh:
Nếu \[a > 1\]thì: \[{a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha > \beta \]
Nếu \[0 < a < 1\]thì: \[{a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha < \beta \]
Nếu \[0 < a < b\]thì: \[{a^\alpha } < {b^\alpha } \Leftrightarrow \alpha > 0;{a^\alpha } > {b^\alpha } \Leftrightarrow \alpha < 0.\]
- Biến đổi căn bậc cao: Với hai số không âm a, b, hai số nguyên dương m, n và hai số nguyên p, q tùy ý, ta có:
\[\sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a}\sqrt[n]{b};\sqrt[n]{{\frac{a}{b}}} = \frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}}\left( {b > 0} \right),\sqrt[n]{{{a^p}}} = {\left( {\sqrt[n]{a}} \right)^n}\left( {a > 0} \right);\sqrt[m]{{\sqrt[n]{a}}} = \sqrt[{mn}]{a}\]
Nếu \[\frac{p}{n} = \frac{q}{m}\]thì \[\sqrt[n]{{{a^p}}} = \sqrt[m]{{{a^q}}}\left( {a > 0} \right)\]. Đặc biệt \[\sqrt[n]{a} = \sqrt[{mn}]{{{a^m}}}.\]
II. Ví dụ minh họa
Bài toán 1: Thực hiện phép tính:
\[A = {27^{\frac{2}{3}}} + {\left( {\frac{1}{{16}}} \right)^{ - 0,75}} - {25^{0,5}};\] \[B = {\left( {0,5} \right)^{ - 4}} - {625^{0,25}} - {\left( {2\frac{1}{4}} \right)^{ - 1\frac{1}{2}}} + 19{\left( { - 3} \right)^{ - 3}}\]
Giải
\[A = {\left( {{3^3}} \right)^{\frac{2}{3}}} + {\left( {{2^{ - 4}}} \right)^{ - \frac{3}{4}}} - {\left( {{5^2}} \right)^{\frac{1}{2}}} = {3^2} + {2^3} - 5 = 12\]
\[B = {\left( {{{\left( { - 2} \right)}^{ - 1}}} \right)^{ - 4}} - {\left( {{5^4}} \right)^{\frac{1}{4}}} - {\left( {{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}} \right)^{ - \frac{3}{2}}} + \frac{{19}}{{ - 27}}\]
\[ = {2^4} - 5{\left( {\frac{3}{2}} \right)^{ - 3}} - \frac{{19}}{{27}} = 11 - \frac{8}{{27}} - \frac{{19}}{{27}} = 10.\]
Bài toán 2: Tính giá trị các biểu thức sau:
\[C = {3^{1 + 2\sqrt[3]{2}}}:{9^{\sqrt[3]{2}}};\] \[D = \left( {{4^{2\sqrt 3 }} - {4^{\sqrt 3 - 1}}} \right){.2^{ - 2\sqrt 3 }}\]
Giải
\[\begin{array}{l}C = {3^{1 + 2\sqrt[3]{2}}}:{9^{\sqrt[3]{2}}} = {3^{1 + 2\sqrt[3]{2}}}:{3^2}^{\sqrt[3]{2}}\\ = {3^{1 + 2\sqrt[3]{2} - 2\sqrt[3]{2}}} = {3^1} = 3\end{array}\]
\[\begin{array}{l}D = \left( {{4^{2\sqrt 3 }} - {4^{\sqrt 3 - 1}}} \right){.2^{ - 2\sqrt 3 }}\\ = {2^4}^{\sqrt 3 }{.2^{ - 2\sqrt 3 }} - {2^{2\sqrt 3 - 2}}{.2^{ - 2\sqrt 3 }}\\ = {2^{2\sqrt 3 }} - \frac{1}{4}.\end{array}\]
Bài toán 3: Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số với số mũ hữu tỉ:
\[K = \sqrt[3]{{\frac{2}{3}\sqrt[3]{{\frac{2}{3}}}\sqrt {\frac{2}{3}} }};\] \[L = \sqrt {a\sqrt {a\sqrt {a\sqrt a } } } :{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\left( {a > 0} \right)\]
Giải
\[\begin{array}{l}K = {\left( {\frac{2}{3}{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{1}{3}}}{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{1}{6}}}} \right)^{\frac{1}{3}}}\\ = {\left( {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6}}}} \right)^{\frac{1}{3}}}\\ = {\left( {{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^{\frac{3}{2}}}} \right)^{\frac{1}{3}}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{1}{2}}}\end{array}\]
\[\begin{array}{l}L = \left( {{a^{\frac{1}{2}}}.{a^{\frac{1}{4}}}.{a^{\frac{1}{8}}}.{a^{\frac{1}{{16}}}}} \right):{a^{\frac{{11}}{{16}}}}\\ = {a^{\frac{{15}}{{16}}}}:{a^{\frac{{11}}{{16}}}} = {a^{\frac{1}{4}}}.\end{array}\]
Bài toán 4: Đơn giản biểu thức trong điều kiện xác định:
\[M = \frac{{\sqrt a - \sqrt b }}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \frac{{\sqrt a + \sqrt[4]{{ab}}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}\] \[N = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}} - {a^{\frac{7}{3}}}}}{{{a^{\frac{1}{3}}} - {a^{\frac{4}{3}}}}} - \frac{{{a^{\frac{1}{3}}} - {a^{\frac{5}{3}}}}}{{{a^{\frac{2}{3}}} + {a^{ - \frac{1}{3}}}}}.\]
Giải
\[\begin{array}{l}M = \frac{{\left( {\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}} \right)\left( {\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}} \right)}}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \frac{{\sqrt[4]{a}\left( {\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{{ab}}} \right)}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}\\ = \sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b} - \sqrt[4]{a} = \sqrt[4]{b}\end{array}\]
\[\begin{array}{l}N = \frac{{{a^{\frac{1}{3}}}\left( {1 - {a^2}} \right)}}{{{a^{\frac{1}{3}}}\left( {1 - a} \right)}} - \frac{{{a^{ - \frac{1}{3}}}\left( {1 - {a^2}} \right)}}{{{a^{ - \frac{1}{3}}}\left( {a + 1} \right)}}\\ = \left( {1 + a} \right) - \left( {1 - a} \right) = 2a.\end{array}\]
Bài toán 5: Rút gọn các biểu thức:
\[S = \sqrt {\frac{{a + \sqrt {{a^2} - b} }}{2}} \pm \sqrt {\frac{{a - \sqrt {{a^2} - b} }}{2}} \], với \[a,b > 0,{a^2} \ge b.\]
Giải
Đặt \[u = \sqrt {\frac{{a + \sqrt {{a^2} - b} }}{2}} ,v = \sqrt {\frac{{a - \sqrt {{a^2} - b} }}{2}} \left( {u \ge v \ge 0} \right)\]
thì \[{u^2} + {v^2} = a;{u^2}{v^2} = \frac{b}{4}\]nên \[b = 4{u^2}{v^2}\] nên
\[\begin{array}{l}\sqrt {a + \sqrt b } = \sqrt {{u^2} + {v^2} + 2uv} = u + v\\ = \sqrt {\frac{{a + \sqrt {{a^2} - b} }}{2}} + \sqrt {\frac{{a - \sqrt {{a^2} - b} }}{2}} \end{array}\]
Tương tự: \[\sqrt {a - \sqrt b } = \sqrt {{u^2} + {v^2} - 2uv} = u - v\]
\[ = \sqrt {\frac{{a + \sqrt {{a^2} - b} }}{2}} - \sqrt {\frac{{a - \sqrt {{a^2} - b} }}{2}} \]
Bài toán 6: Chứng minh
a)\[\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } = 2\] b)\[\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }} = 3\]
Giải
a) Vì \[\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } > 0\]nên \[\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } = 2\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {4 + 2\sqrt 3 } - \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } } \right)^2} = 4\\ \Leftrightarrow 4 + 2\sqrt 3 + 4 - 2\sqrt 3 - 2\sqrt {16 - 12} = 4\end{array}\]
\[ \Leftrightarrow \]đúng
Cách khác: Ta có \[4 \pm 2\sqrt 3 = {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} \pm 2\sqrt 3 + 1 = {\left( {\sqrt 3 \pm 1} \right)^2}\]
b) Đặt \[x = \sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }}\]. Ta có:
\[{x^3} = 9 + \sqrt {80} + 9 - \sqrt {80} + 3\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }}.\sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }}\left( {\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }}} \right)\]
\[ = 18 + 3\sqrt[3]{{81 - 80}}.x = 18 + 3x\].
Do đó có phương trình:
\[{x^3} - 3x - 18 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 6} \right) \Leftrightarrow x = 3:\]đpcm
Cách khác: \[{\left( {\frac{{3 \pm \sqrt 5 }}{2}} \right)^3} = \frac{{72 \pm 32\sqrt 5 }}{8} = 9 \pm 4\sqrt 5 = 9 \pm \sqrt {80} \]
Nên \[\sqrt[3]{{9 + \sqrt {80} }} + \sqrt[3]{{9 - \sqrt {80} }} = \frac{{3 + \sqrt 5 }}{2} + \frac{{3 - \sqrt 5 }}{2} = 3.\]
Chú ý: Có thể dùng \[S = 3,P = 1\]để tìm nghiệm của \[{X^2} - 3X + 1 = 0.\]
Bài toán 7: Không dùng máy, tính giá trị đúng:
a)\(\sqrt {15 + 6\sqrt 6 } + \sqrt {15 - 6\sqrt 6 } \) b)\(\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} - \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }}\)
Giải
a) Ta có \({\left( {3\sqrt 2 \pm 2\sqrt 3 } \right)^2} = 18 + 12 \pm 12\sqrt 6 = 30 \pm 12\sqrt 6 \) nên
\(\begin{array}{l}\sqrt {15 + 6\sqrt 6 } + \sqrt {15 - 6\sqrt 6 } \\ = \frac{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} + \frac{{3\sqrt 2 - 2\sqrt 3 }}{{\sqrt 2 }} = 6\end{array}\)
Cách khác: Đặt \(\sqrt {15 + 6\sqrt 6 } + \sqrt {15 - 6\sqrt 6 } = x,x > 0.\)
Ta có\({x^2} = 30 + 2\sqrt {225 - 216} = 36\) nên chọn \(x = 6.\)
b) Ta có: \[7 + 5\sqrt 2 = 1 + 3\sqrt 2 + 6 + 2\sqrt 2 = {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^3}\]
Tương tự: \[7 - 5\sqrt 2 = {\left( {1 - \sqrt 2 } \right)^3}\]
Do đó \[\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} - \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }} = 1 + \sqrt 2 - \left( {1 - \sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2 \]
Cách khác: Đặt \[x = \sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} - \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }}\]. Ta có:
\[{x^3} = 7 + 5\sqrt 2 - \left( {7 - 5\sqrt 2 } \right) - 3\left( {\sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }} - \sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }}} \right).\left( {\sqrt[3]{{(7 + 5\sqrt 2 )(7 - 5\sqrt 2 )}}} \right)\]
\[ = 10\sqrt 2 + 3\left( {\sqrt[3]{{7 + 5\sqrt 2 }} - \sqrt[3]{{7 - 5\sqrt 2 }}} \right) = 10\sqrt 2 + 3x.\]
Ta có phương trình:
\[{x^3} - 3x - 10\sqrt 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 2\sqrt 2 } \right)\left( {{x^2} + 2\sqrt 2 x + 5} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2\sqrt 2 .\]
Bài toán 8: Trục căn ở mẫu \[\frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt[3]{3}}};\frac{1}{{\sqrt[6]{{5 - \sqrt {13 + \sqrt {48} } }}}}\]
Giải
\[\frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt[3]{3}}} = \frac{{\sqrt[3]{3} - \sqrt 2 }}{{\sqrt[3]{9} - 2}} = \frac{{\left( {\sqrt[3]{3} - \sqrt 2 } \right)\left( {3\sqrt[3]{3} + 2\sqrt[3]{9} + 4} \right)}}{1}\]
Vì \[5 - \sqrt {13 + \sqrt {48} } = 5 - \sqrt {{{\left( {2\sqrt 3 + 1} \right)}^2}} = 4 - 2\sqrt 3 = {\left( {\sqrt 3 - 2} \right)^2}\]
nên \[\frac{1}{{\sqrt[6]{{5 - \sqrt {13 + \sqrt {48} } }}}} = \frac{1}{{\sqrt[3]{{\sqrt 3 - 1}}}} = \frac{{\sqrt[3]{{{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}}}}}{{\sqrt 3 - 1}} = \frac{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right).\sqrt[3]{{4 - 2\sqrt 3 }}}}{2}\]
Bài toán 9: Cho số tự nhiên n lẻ, chứng minh:
Nếu \[a{x^n} = b{y^n} = c{z^n},\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 1\]thì \[\sqrt[n]{{a{x^{n - 1}} + b{y^{n - 1}} + c{z^{n - 1}}}} = \sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} + \sqrt[n]{c}\]
Giải
\[VT = \sqrt[n]{{\frac{{a{x^n}}}{x} + \frac{{b{y^n}}}{y} + \frac{{c{z^n}}}{z}}} = \sqrt[n]{{a{x^n}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)}} = \sqrt[n]{{a{x^n}}} = x\sqrt[n]{a} = y\sqrt[n]{b} = z\sqrt[n]{c}\]
\[ \Rightarrow VT\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) = \sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} + \sqrt[n]{c} \Rightarrow \]đpcm
Bài toán 10: Trong khai triển nhị thức \[P\left( x \right) = {\left( {{x^{ - \frac{2}{3}}} + x\sqrt x } \right)^{13}},x > 0\]
a) Tìm hệ số của \[{x^{13}}\] b) Tìm số hạng không chứa \[x\].
Giải
Số hạng tổng quát của \[P\left( x \right) = {\left( {{x^{ - \frac{2}{3}}} + x\sqrt x } \right)^{13}}\]là:
\[{T_{k + 1}} = C_{13}^k{\left( {{x^{ - \frac{2}{3}}}} \right)^{13 - k}}{\left( {x\sqrt x } \right)^k} = C_{13}^k{x^{\frac{{13k - 52}}{6}}}\]
a) Hệ số của \[{x^{13}}\]ứng với \[\frac{{13k - 52}}{6} = 13 \Leftrightarrow k = 10\]là: \[{T_{11}} = C_{13}^{10} = 286.\]
Số hạng không chứa \[x\] ứng với \[13k - 52 = 0 \Leftrightarrow k = 4\]là \[{T_5} = C_{13}^4 = 715.\]
CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK
- Người đại diện: Nguyễn Thanh Tuyền
- Số giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh: 0108307822, ngày cấp: 04/06/2018, nơi cấp: Sở Kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội.
© 2021 Vietjack. All Rights Reserved.
