Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Các dạng bài tập vận dụng cao lũy thừa và hàm số lũy thừa, tài liệu bao gồm 17 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất  giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

BÀI 1. LUỸ THỪA

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

I. Khái niệm luỹ thừa

1. Luỹ thừa với số mũ nguyên

Cho n là một số nguyên dương, a là một số thực tùy ý. Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số a.

\({a^n} = \underbrace {a \cdot a \ldots a}_{n{\rm{ th\"o {\o}a so\'a  }}a};{a^1} = a\)

Trong biểu thức \({a^n}\), a được gọi là cơ số, số nguyên n là số mũ

Với \(a \ne 0,n = 0\) hoặc n là một số nguyên âm, lũy thừa bậc n của số a là số \({a^n}\) xác định bời: \({a^0} = 1;{a^{ - n}} = \frac{1}{{{a^n}}}\).

Chú ý:

 Kí hiệu \({0^^\circ },{0^n}\) (n nguyên âm) không có nghĩa.

 Với \(a \ne 0\) và n nguyên, ta có \({a^n} = \frac{1}{{{a^{ - n}}}}\)

2. Phương trình \({x^n} = b\)

a) Trường hợp n lẻ: Với mọi số thực b, phương trình có nghiệm duy nhất

b) Trường hợp n chẵn

- Với b<0, phương trình vô nghiệm

- Với b=0, phương trình có một nghiệm x=0

- Với b>0, phương trình có hai nghiệm đối nhau

3. Căn bậc n

a) Khái niệm: Với n nguyên dương, căn bậc n của số thực a là số thực b sao cho \({b^n} = a\).

Ta thừa nhận hai khẳng định sau:

Khi n là số lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Căn đó được kí hiệu là \(\sqrt[n]{a}\)

Khi n là số chẵn, mỗi số thực dương a có đúng hai căn bậc n là hai số đối nhau là \(\sqrt[n]{a}\) (còn gọi là căn bậc số học của a ) và \( - \sqrt[n]{a}\).

b) Tính chất căn bậc n: Với \(a,b \ge 0,m,n \in {N^*},p,q \in Z\) ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b};\\\sqrt[n]{{\frac{a}{b}}} = \frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}}(b > 0)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\sqrt[n]{{{a^p}}} = {(\sqrt[n]{a})^p}(a > 0);\\\sqrt[m]{{\sqrt[n]{a}}} = \sqrt[{mn}]{a}\end{array}\)

Nếu \(\frac{p}{n} = \frac{q}{m}\) thì \(\sqrt[n]{{{a^p}}} = \sqrt[n]{{{a^q}}}(a > 0);\) Đặc biệt \(\sqrt[n]{a} = \sqrt[m]{{{a^m}}}\)

\(\sqrt[n]{{{a^n}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a,(n\,le)}\\{\left| a \right|,(n\,chan)}\end{array}} \right.\)

4. Lũy thừa với số mũ hữu tì

Cho số thực a dương và r là một số hữu tì. Giả sử \(r = \frac{m}{n}\), trong đó m là một số nguyên, còn n là một số nguyên dương. Khi đó, lũy thừa của a với số mũ r là số \({a^\prime }\) xác định bời \({a^r} = {a^{\frac{m}{n}}} = \sqrt[n]{{{a^m}}}\).

II. TÍNH CHẤT CỦA LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC

Cho a, b là những số dương; \(\alpha ,\beta  \in \mathbb{R}\)

\({a^\alpha } \cdot {a^\beta } = {a^{\alpha  + \beta }}\):

\(\frac{{{a^\alpha }}}{{{b^\alpha }}} = {a^{\alpha  - \beta }}\);

 \({\left( {{a^\alpha }} \right)^\beta } = {a^{\alpha \beta }}\) ;

\({\left( {\frac{a}{b}} \right)^\alpha } = \frac{{{a^\alpha }}}{{{b^\alpha }}}\)

Nếu a>1 thì \({a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha  > \beta \)

Nếu a<1 thì \({a^\alpha } > {a^\beta } \Leftrightarrow \alpha  < \beta \)

B. PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Các phép toán biến đổi lũy thừa

1. Phương pháp:

Ta cần nắm các công thức biến đồi lũy thừa sau:

- Với \(a \ne 0;b \ne 0\) và \(\alpha ,\beta  \in \mathbb{Z}\) ta có

\(\begin{array}{l}{{\rm{a}}^\alpha } \cdot {{\rm{a}}^\beta } = {{\rm{a}}^{\alpha  + \beta }};\\\frac{{{{\rm{a}}^\alpha }}}{{{{\rm{a}}^\beta }}} = {{\rm{a}}^{\alpha  - \beta }};\\{\left( {{{\rm{a}}^\alpha }} \right)^\beta } = {{\rm{a}}^{\alpha  \cdot \beta }};\\{({\rm{ab}})^\alpha } = {{\rm{a}}^\alpha } \cdot {{\rm{b}}^\alpha };\\{\left( {\frac{{\rm{a}}}{{\rm{b}}}} \right)^\alpha } = \frac{{{{\rm{a}}^\alpha }}}{{{{\rm{b}}^\alpha }}}\end{array}\)

- Với \(a,b \ge 0,m,n \in {N^*},p,q \in Z\) ta có:

\(\sqrt[n]{{ab}} = \sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}\)

\(\sqrt[n]{{\frac{a}{b}}} = \frac{{\sqrt[n]{a}}}{{\sqrt[n]{b}}}(b > 0)\)

\(\sqrt[n]{{{a^{\rm{P}}}}} = {(\sqrt[{\rm{n}}]{{\rm{a}}})^{\rm{p}}}({\rm{a}} > 0)\)

\(\sqrt[m]{{\sqrt[n]{a}}} = \sqrt[{mn}]{a}\)

Nếu \(\frac{p}{n} = \frac{q}{m}\) thì \(\sqrt[n]{{{a^p}}} = \sqrt[m]{{{a^q}}}(a > 0)\);

Đặc biệt \(\sqrt[n]{a} = \sqrt[{mn}]{{{a^m}}}\)

Công thức đặc biệt

\(f(x) = \frac{{{a^x}}}{{{a^x} + \sqrt a }}\) thì \(f(x) + f(1 - x) = 1\).

Thật vậy, ta có:

\(\begin{array}{l}f(1 - x) = \frac{{\frac{a}{{{a^x}}}}}{{\frac{a}{{{a^x}}} + \sqrt a }} = \frac{a}{{a + \sqrt a  \cdot {a^x}}}\\ \Rightarrow f(1 - x) = \frac{{\sqrt a }}{{{a^x} + \sqrt a }}\end{array}\)

Nên: \(f(x) + f(1 - x) = 1\).

2. Bài tập

Bài tập 1. Viết biểu thức \(\frac{{\sqrt {2\sqrt[3]{4}} }}{{{{16}^{0,75}}}}\) về dạng lũy thừa \({2^m}\) ta được \(m = \) ?

A. \( - \frac{{13}}{6}\).

B. \(\frac{{13}}{6}\).

C. \(\frac{5}{6}\)

D. \( - \frac{5}{6}\).

Hướng dẫn giải

Chọn A

\(\frac{{\sqrt {2\sqrt[3]{4}} }}{{{{16}^{0,75}}}} = \frac{{\sqrt 2  \cdot \sqrt[6]{{{2^2}}}}}{{{{\left( {{2^4}} \right)}^{\frac{3}{4}}}}} = \frac{{{2^{\frac{5}{6}}}}}{{{2^3}}} = {2^{\frac{{ - 13}}{6}}}\)

Bài tập 2. Cho x>0 ; y>0. Viết biểu thức \({x^{\frac{4}{5}}} \cdot \sqrt[6]{{{x^5}\sqrt x }}\) về dạng \({x^m}\) và biểu thức \({y^{\frac{4}{5}}}:\sqrt[6]{{{y^5}\sqrt y }}\) về dạng \({y^n}\). Ta có m-n= ?

A. \( - \frac{{11}}{6}\)

B. \(\frac{{11}}{6}\)

C. \(\frac{8}{5}\)

D. \( - \frac{8}{5}\)

Hướng dẫn giải

Chọn B

\(\begin{array}{l}{x^{\frac{4}{5}}} \cdot \sqrt[6]{{{x^5}\sqrt x }} = {x^{\frac{4}{5}}} \cdot {x^{\frac{5}{6}}} \cdot {x^{\frac{1}{{12}}}} = {x^{\frac{{103}}{{60}}}}\\ \Rightarrow m = \frac{{103}}{{60}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{y^{\frac{4}{5}}}:\sqrt[6]{{{y^5}\sqrt y }} = {y^{\frac{4}{5}}}:\left( {{y^{\frac{5}{6}}} \cdot {y^{\frac{1}{{12}}}}} \right) = {y^{ - \frac{7}{{60}}}}\\ \Rightarrow n =  - \frac{7}{{60}} \Rightarrow m - n = \frac{{11}}{6}\end{array}\)

Bài tập 3. Biết \({4^x} + {4^{ - x}} = 23\) tính giá trị của biểu thức \(P = {2^x} + {2^{ - x}}\) :

A. 5 .

B. \(\sqrt {27} \).

C. \(\sqrt {23} \).

D. 25 .

Chọn A

Hướng dẫn giải

Do \({2^x} + {2^{ - x}} > 0,\forall x \in \mathbb{R}\)

Nên

\(\begin{array}{l}{2^x} + {2^{ - x}} = \sqrt {{{\left( {{2^x} + {2^{ - x}}} \right)}^2}}  = \sqrt {{2^{2x}} + 2 + {2^{ - 2x}}} \\ = \sqrt {{4^x} + {4^{ - x}} + 2}  = \sqrt {23 + 2}  = 5\end{array}\).

Bài tập 4. Biểu thức thu gọn cùa biểu thức

\(P = \left( {\frac{{{a^{\frac{1}{2}}} + 2}}{{a + 2{a^{\frac{1}{2}}} + 1}} - \frac{{{a^{\frac{1}{2}}} - 2}}{{a - 1}}} \right) \cdot \frac{{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} + 1} \right)}}{{{a^{\frac{1}{2}}}}},(a > 0,a \ne  \pm 1)\), có dạng \(P = \frac{m}{{a + n}}\).

Khi đó biểu thức liên hệ giữa m và n là:

A. m+3n=-1.

B. m+n=-2.

C. m-n=0.

D. 2m-n=5.

Hướng dẫn giải

Chọn D

\(\begin{array}{l}P = \left( {\frac{{{a^{\frac{1}{2}}} + 2}}{{a + 2{a^{\frac{1}{2}}} + 1}} - \frac{{{a^{\frac{1}{2}}} - 2}}{{a - 1}}} \right) \cdot \frac{{\left( {{a^{\frac{1}{2}}} + 1} \right)}}{{{a^{\frac{1}{2}}}}}\\ = \left( {\frac{{\sqrt a  + 2}}{{{{(\sqrt a  + 1)}^2}}} - \frac{{\sqrt a  - 2}}{{(\sqrt a  - 1)(\sqrt a  + 1)}}} \right) \cdot \frac{{\sqrt a  + 1}}{{\sqrt a }}\end{array}\)

\( = \left( {\frac{{\sqrt a  + 2}}{{\sqrt a  + 1}} - \frac{{\sqrt a  - 2}}{{\sqrt a  - 1}}} \right) \cdot \frac{1}{{\sqrt a }} = \frac{{2\sqrt a }}{{a - 1}} \cdot \frac{1}{{\sqrt a }} = \frac{2}{{a - 1}}\)

Do đó m=2 ; n=-1.

Bài tập 5. Cho số thực dương x. Biểu thức \(\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } } } } } } \)được viết dưới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ có dạng \({x^{\frac{a}{b}}}\), với \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Khi đó, biểu thức liên hệ giữa \({a_{{\rm{v\`a  }}}}b\) là:

A. a+b=509.

B. a+2b=767.

C. 2a+b=709.

D. 3a-b=510.

Hướng dẫn giải

Chọn B

\(\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt x } } } } } } } \)=\(\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x.{x^{\frac{1}{2}}}} } } } } } } \)

=\(\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{3}{2}}}} } } } } } } \)

\(\begin{array}{l} = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x{{\left( {{x^{\frac{3}{2}}}} \right)}^{\frac{1}{2}}}} } } } } } \\ = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{7}{4}}}} } } } } } \\ = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x \cdot {x^{\frac{7}{8}}}} } } } } \end{array}\)

\(\begin{array}{l} = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{15}}{8}}}} } } } } \\ = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x \cdot {x^{\frac{{15}}{{16}}}}} } } } \\ = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{31}}{{16}}}}} } } } \\ = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {x{x^{\frac{{31}}{{32}}}}} } } \\ = \sqrt {x\sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{63}}{{32}}}}} } } \end{array}\)

 \(\begin{array}{l} = \sqrt {x\sqrt {x \cdot {x^{\frac{{63}}{{64}}}}} }  = \sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{127}}{{64}}}}} } \\ = \sqrt {x\sqrt {{x^{\frac{{127}}{{128}}}}} }  = \sqrt {x \cdot {x^{\frac{{255}}{{128}}}}} \\ = \sqrt {{x^{\frac{{255}}{{128}}}}}  = {x^{\frac{{255}}{{256}}}}\end{array}\).

Do đó a=255, b=256.

Bài tập 6. Cho a>0 ; b>0. Viết biểu thức \({a^{\frac{2}{3}}}\sqrt a \) về dạng \({a^m}\) và biểu thức \({b^{\frac{2}{3}}}:\sqrt b \) về dạng \({b^n}\). Ta có m+n= ?

A. \(\frac{1}{3}\)

B. \( - 1\)

C. 1

D. \(\frac{1}{2}\)

Hướng dẫn giải

Chọn C

\({a^{\frac{2}{3}}}\sqrt a  = {a^{\frac{2}{3}}} \cdot {a^{\frac{1}{2}}} = {a^{\frac{5}{6}}}\)

 \( \Rightarrow m = \frac{5}{6};{b^{\frac{2}{3}}}:\sqrt b  = {b^{\frac{2}{3}}}:{b^{\frac{1}{2}}} = {b^{\frac{1}{6}}}\)

\( \Rightarrow n = \frac{1}{6}\)\( \Rightarrow m + n = 1\)

Bài tập 7. Viết biểu thức \(\sqrt {\frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt[4]{8}}}} \) về dạng \({2^x}\) và biểu thức \(\frac{{2\sqrt 8 }}{{\sqrt[3]{4}}}\) về dạng \({2^y}\). Ta có \({x^2} + {y^2} = \) ?

A. \(\frac{{2017}}{{567}}\)

B. \(\frac{{11}}{6}\)

C. \(\frac{{53}}{{24}}\)

D. \(\frac{{2017}}{{576}}\)

Chọn D

Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {\frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt[4]{8}}}}  = \frac{{\sqrt 2  \cdot \sqrt[4]{2}}}{{\sqrt[8]{{{2^3}}}}} = {2^{\frac{3}{8}}}\\ \Rightarrow x = \frac{3}{8};\frac{{2\sqrt 8 }}{{\sqrt[3]{4}}} = \frac{{2 \cdot {2^{\frac{3}{2}}}}}{{{2^{\frac{2}{3}}}}} = {2^{\frac{{11}}{6}}}\end{array}\)

\( \Rightarrow y = \frac{{11}}{6} \Rightarrow {x^2} + {y^2} = \frac{{53}}{{24}}\)

Bài tập 8. Cho \(a = 1 + {2^{ - x}},b = 1 + {2^x}\). Biểu thức biểu diễn b theo a là:

A. \(\frac{{a - 2}}{{a - 1}}\).

B. \(\frac{{a - 1}}{a}\).

C. \(\frac{{a + 2}}{{a - 1}}\).

D. \(\frac{a}{{a - 1}}\).

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có: \(a = 1 + {2^{ - x}} > 1,\forall x \in \mathbb{R}\) nên \({2^x} = \frac{1}{{a - 1}}\)

Do đó: \(b = 1 + \frac{1}{{a - 1}} = \frac{a}{{a - 1}}\).

Bài tập 9. Cho các số thực dương a và b. Biểu thức thu gọn của biểu thức \(P = \left( {2{a^{\frac{1}{4}}} - 3{b^{\frac{1}{4}}}} \right) \cdot \left( {2{a^{\frac{1}{4}}} + 3{b^{\frac{1}{4}}}} \right) \cdot \left( {4{a^{\frac{1}{2}}} + 9{b^{\frac{1}{2}}}} \right)\) có dạng là P=xa+yb. Tính x+y ?

A. x+y=97.

B. x+y=-65.

C. x-y=56.

D. y-x=-97.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có:

\(\begin{array}{l}P = \left( {2{a^{\frac{1}{4}}} - 3{b^{\frac{1}{4}}}} \right) \cdot \left( {2{a^{\frac{1}{4}}} + 3{b^{\frac{1}{4}}}} \right) \cdot \left( {4{a^{\frac{1}{2}}} + 9{b^{\frac{1}{2}}}} \right)\\ = \left( {{{\left( {2{a^{\frac{1}{4}}}} \right)}^2} - {{\left( {3{b^{\frac{1}{4}}}} \right)}^2}} \right) \cdot \left( {4{a^{\frac{1}{2}}} + 9{b^{\frac{1}{2}}}} \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l} = \left( {4{a^{\frac{1}{2}}} - 9{b^{\frac{1}{2}}}} \right) \cdot \left( {4{a^{\frac{1}{2}}} + 9{b^{\frac{1}{2}}}} \right)\\ = {\left( {4{a^{\frac{1}{2}}}} \right)^2} - {\left( {9{b^{\frac{1}{2}}}} \right)^2} = 16a - 81b.\end{array}\)

Do đó: x=16, y=-81.

Bài tập 10. Cho các số thực dương phân biệt a và b. Biểu thức thu gọn cùa biều thức \(P = \frac{{\sqrt a  - \sqrt b }}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \frac{{\sqrt {4a}  + \sqrt[4]{{16ab}}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}\) có dạng \(P = m\sqrt[4]{a} + n\sqrt[4]{b}\). Khi đó biểu thức liên hệ giữa m vàn là:

A. 2m-n=-3.

B. m+n=-2.

C. m-n=0.

D. m+3n=-1.

Hướng dẫn giài

Chọn A

\(\begin{array}{l}P = \frac{{\sqrt a  - \sqrt b }}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \frac{{\sqrt {4a}  + \sqrt[4]{{16ab}}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}\\ = \frac{{{{(\sqrt[4]{a})}^2} - {{(\sqrt[4]{b})}^2}}}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \frac{{2\sqrt[4]{a}\sqrt[4]{a} + 2\sqrt[4]{a}\sqrt[4]{b}}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{(\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})}}{{\sqrt[4]{a} - \sqrt[4]{b}}} - \frac{{2\sqrt[4]{a}(\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b})}}{{\sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b}}}\\ = \sqrt[4]{a} + \sqrt[4]{b} - 2\sqrt[4]{a} = \sqrt[4]{b} - \sqrt[4]{a}\end{array}\) .

Do đó m=-1 ; n=1.

Bài tập 11: Cho \(f(x) = \frac{{{{2018}^x}}}{{{{2018}^x} + \sqrt {2018} }}\). Tính giá trị biểu thức sau đây ta được

\(S = f\left( {\frac{1}{{2019}}} \right) + f\left( {\frac{2}{{2019}}} \right) +  \ldots  + f\left( {\frac{{2018}}{{2019}}} \right)\)

A. S=2018.

B. S=2019.

C. S=1009.

D. \(S = \sqrt {2018} \).