Bài tập về Tỉ số thể tích của khối lăng trụ có đáp án

Quý Lê Xuân Ngày: 08-03-2024 Lớp 12

Tải xuống 11 7.1 K 61

Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Tỉ số thể tích của khối lăng trụ Toán lớp 12, tài liệu bao gồm 11 trang có phương pháp giải chi tiết và bài tập có đáp án (có lời giải), giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kì thi THPT môn Toán sắp tới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Tài liệu Bài tập Tỉ số thể tích của khối lăng trụ có đáp án gồm các nội dung chính sau:

A. Phương phương giải

- Gồm phương pháp giải Bài tập Tỉ số thể tích của khối lăng trụ.

B. Bài tập minh họa

- Gồm 14 bài tập có đáp án và lời giải chi tiết giúp học sinh tự rèn luyện cách giải các dạng Bài tập Tỉ số thể tích của khối lăng trụ.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

Bài giảng Toán 12: Tỷ số thể tích

TỈ SỐ THỂ TÍCH CỦA KHỐI LĂNG TRỤ

A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

a. Lăng trụ tam giác

Kết quả 1:

Gọi V là thể tích khối lăng trụ, là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 6 đỉnh của lăng trụ, là thể tích khối chóp tạo thành từ 5 trong 6 đỉnh của lăng trụ. Khi đó: $V_{1} = \frac{V}{3}; V_{2} = \frac{2 V}{3}$

Ví dụ: Hình lăng trụ $A B C . A^{'} B^{'} C^{'} \overset{}{\to} V_{A^{'} B^{'} B C} = \frac{1}{3} V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}}; V_{A^{'} B^{'} A B C} = \frac{2}{3} V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}}$

Kết quả 2:

Cho hình lăng trụ tam giác $A B C . A^{'} B^{'} C^{'}$ . Mặt phẳng $(α)$ cắt các đường thẳng $A A^{'}, B B^{'}, C C^{'}$ lần lượt tại $M, N, P$ (tham khảo hình vẽ bên). Tính tỉ số $\frac{V_{A B C . M N P}}{V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}}}$ .

Bài tập Tỉ số thể tích của khối lăng trụ có đáp án (ảnh 2)

HD: Ta có $V_{A B C . M N P} = V_{M . A B C} + V_{A . B N P C}$

Lại có $V_{M . A B C} = \frac{1}{3} . d (M; (A B C)) . S_{Δ A B C} = \frac{1}{3} . \frac{A M}{A A^{'}} . d (A^{'}; (A B C)) . S_{Δ A B C}$

$= \frac{1}{3} . \frac{A M}{A A^{'}} . V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} \underset{}{\to} V_{M . A B C} = \frac{1}{3} . \frac{A M}{A A^{'}} . V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}}$

Và $S_{B N P C} = \frac{h}{2} . (B N + C P);$ $S_{B C C^{'} B^{'}} = \frac{h}{2} . (B B^{'} + C C^{'}) = h . B B^{'}$

$\Rightarrow \frac{S_{B N P C}}{S_{B C C^{'} B^{'}}} = \frac{\frac{h}{2} . (B N + C P)}{h . B B^{'}} = \frac{1}{2} (\frac{B N + C P}{B B^{'}}) = \frac{1}{2} (\frac{B N}{B B^{'}} + \frac{C P}{C C^{'}}) .$

Suy ra $V_{A . B N P C} = \frac{1}{3} . d (A; (B C C^{'} B^{'})) . S_{B N P C}$

$= \frac{1}{3} . d (A; (B C C^{'} B^{'})) . \frac{1}{2} (\frac{B N}{B B^{'}} + \frac{C P}{C C^{'}}) . S_{B C C^{'} B^{'}} = \frac{1}{2} (\frac{B N}{B B^{'}} + \frac{C P}{C C^{'}}) . V_{A . B C C^{'} B^{'}}$

Mà $V_{A . B C C^{'} B^{'}} = \frac{2}{3} V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} \Rightarrow V_{A . B N P C} = \frac{1}{3} . (\frac{B N}{B B^{'}} + \frac{C P}{C C^{'}}) . V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}}$

Vậy $V_{A B C . M N P} = \frac{1}{3} . \frac{A M}{A A^{'}} . V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} + \frac{1}{3} . (\frac{B N}{B B^{'}} + \frac{C P}{C C^{'}}) . V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}} \Rightarrow \frac{V_{A B C . M N P}}{V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}}} = \frac{1}{3} (\frac{A M}{A A^{'}} + \frac{B N}{B B^{'}} + \frac{C P}{C C^{'}})$

Công thức tính nhanh

$\frac{V_{A B C . M N P}}{V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}}} = \frac{1}{3} (\frac{A M}{A A^{'}} + \frac{B N}{B B^{'}} + \frac{C P}{C C^{'}})$

b. Khối hộp

Kết quả 1:

Gọi V là thể tích khối hộp, $V_{1}$ là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 8 đỉnh của khối hộp gồm hai đường chéo của hai mặt song song, $V_{2}$ là thể tích khối chóp tạo thành từ 4 trong 8 đỉnh của khối hộp ở các trường hợp còn lại. Khi đó: $V_{1} = \frac{V}{3}; V_{2} = \frac{V}{6}$

Ví dụ: Hình hộp $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'} \overset{}{\to} V_{A^{'} C' B D} = \frac{1}{3} V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}}; V_{A^{'} C^{'} D^{'} D} = \frac{1}{6} V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}}$

þ Kết quả 2:

Cho hình lăng trụ tam giác $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Mặt phẳng $(α)$ cắt các đường thẳng $A A^{'}, B B^{'}, C C^{'}, D D^{'}$ lần lượt tại $M, N, P, Q$ (tham khảo hình vẽ bên).

Bài tập Tỉ số thể tích của khối lăng trụ có đáp án (ảnh 3)

Chứng minh rằng $\frac{A M}{A A^{'}} + \frac{C P}{C C^{'}} = \frac{B N}{B B^{'}} + \frac{D Q}{D D^{'}}$

và $\frac{V_{A B C D . M N P Q}}{V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}}} = \frac{1}{2} (\frac{A M}{A A^{'}} + \frac{C P}{C C^{'}}) = \frac{1}{2} (\frac{B N}{B B^{'}} + \frac{D Q}{D D^{'}})$

· Chứng minh $\frac{A M}{A A^{'}} + \frac{C P}{C C^{'}} = \frac{B N}{B B^{'}} + \frac{D Q}{D D^{'}}$

Gọi I là tâm hình vuông ABCD; $I^{'}$ là tâm hình vuông $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ .

Ta có: $\frac{A M}{A A^{'}} + \frac{C P}{C C^{'}} = \frac{A M + P C}{A A^{'}} = \frac{2 O I}{A A^{'}};$

$\frac{B N}{B B^{'}} + \frac{D Q}{D D^{'}} = \frac{B N + D Q}{B B^{'}} = \frac{2 O I^{'}}{B B^{'}} \Rightarrow \frac{A M}{A A^{'}} + \frac{C P}{C C^{'}} = \frac{B N}{B B^{'}} + \frac{D Q}{D D^{'}} .$

· Chứng minh $\frac{V_{A B C D . M N P Q}}{V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}}} = \frac{1}{2} (\frac{A M}{A A^{'}} + \frac{C P}{C C^{'}}) = \frac{1}{2} (\frac{B N}{B B^{'}} + \frac{D Q}{D D^{'}})$

Chia khối đa diện thành hai khối đa diện $A B C . M N P$ và $A C D . M P Q$ ;

Làm tương tự với thể tích khối lăng trụ tam giác;

Cộng thể tích hai khối đa diện $\Rightarrow \frac{V_{A B C . M N P}}{V_{A B C . A^{'} B^{'} C^{'}}} = \frac{1}{4} (\frac{A M}{A A^{'}} + \frac{C P}{C C^{'}} + \frac{B N}{B B^{'}} + \frac{D Q}{D D^{'}})$

Mà $\frac{A M}{A A^{'}} + \frac{C P}{C C^{'}} = \frac{B N}{B B^{'}} + \frac{D Q}{D D^{'}} \Rightarrow \frac{V_{A B C D . M N P Q}}{V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}}} = \frac{1}{2} (\frac{A M}{A A^{'}} + \frac{C P}{C C^{'}}) = \frac{1}{2} (\frac{B N}{B B^{'}} + \frac{D Q}{D D^{'}})$

Công thức tính nhanh $\frac{V_{A B C D . M N P Q}}{V_{A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}}} = \frac{1}{4} (\frac{A M}{A A^{'}} + \frac{C P}{C C^{'}} + \frac{B N}{B B^{'}} + \frac{D Q}{D D^{'}}) = \frac{1}{2} (\frac{A M}{A A^{'}} + \frac{C P}{C C^{'}}) = \frac{1}{2} (\frac{B N}{B B^{'}} + \frac{D Q}{D D^{'}})$