Phương pháp giải Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 2024 (lý thuyết và bài tập)

Quang Trung Ngày: 20-08-2024 Lớp 12

Tải xuống 17 10.1 K 48

Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Lý thuyết và bài tập giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, tài liệu bao gồm 17 trang. Tài liệu được tổng hợp từ các tài liệu ôn thi hay nhất giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức và chuẩn bị cho kỳ thi sắp hới. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây

Phương pháp giải Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối 2023

Bài giảng Toán học 12 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI

Bài toán tổng quát: Cho hàm số\[y = \left| {f(x)} \right|\]. Tìm GTLN-GTNN của hàm số trên đoạn\[[a;b]\];

‘Phương pháp chung

Bước 1: Tìm \[\mathop {\max }\limits_{[a;b]} f(x) = p;\mathop {\min }\limits_{[a;b]} f(x) = q\].

Bước 2: Xét các khả năng

Nếu \[p.q \le 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop {\min }\limits_{[a;b]} \left| {f(x)} \right| = 0}\\{\mathop {\max }\limits_{[a;b]} \left| {f(x)} \right| = \max \left\{ {\left| p \right|;\left| q \right|} \right\}}\end{array}} \right.\]

Nếu \[q > 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop {\min }\limits_{[a;b]} \left| {f(x)} \right| = q}\\{\mathop {\max }\limits_{[a;b]} \left| {f(x)} \right| = p}\end{array}} \right.\]

Nếu \[p < 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop {\min }\limits_{[a;b]} \left| {f(x)} \right| = \left| p \right| = - p}\\{\mathop {\max }\limits_{[a;b]} \left| {f(x)} \right| = \left| q \right| = - q}\end{array}} \right.\]

Chú ý công thức tính nhanh:

\[\mathop {\max }\limits_{[a;b]} \left| {f(x)} \right| = \frac{{\left| {p + q} \right| + \left| {p - q} \right|}}{2}\] ;

\[\mathop {\min }\limits_{[a;b]} \left| {f(x)} \right| = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0,neup.q < 0}\\{\frac{{\left| {p + q} \right| + \left| {p - q} \right|}}{2},neup.q > 0}\end{array}} \right.\]

Tùy theo từng bài toán cụ thể mà ta áp dụng cho hợp lý nhất. Sau đây chúng ta sẽ áp dụng cho 3 dạng thường gặp nhất.

Dạng 1: Tìm tham số để\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop {\min }\limits_{[a;b]} \left| {f(x)} \right| \le k( \ge k)}\\{\mathop {\max }\limits_{[a;b]} \left| {f(x)} \right| \le k( \ge k)}\end{array}} \right.\]

Ví dụ mẫu 1: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số\[y = \left| {{x^4} - 2{x^2} - m} \right|\]trên đoạn [−1;2] bằng 2. Tổng tất cả các phần tử của S bằng

A. −2 .

B. 7 .

C. 14.

D. 3 .

Lời giải

Chọn B

Xét \[f(x) = {x^4} - 2{x^2} - m\] trên đoạn [−1;2] có

\[f'(x) = 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 \in [ - 1;2]}\\{x = 0 \in [ - 1;2]}\\{x = - 1 \in [ - 1;2]}\end{array}} \right.\]

Khi đó \[f(0) = - m;f( \pm 1) = - m - 1;f(2) = - m + 8\].

Suy ra: \[\mathop {\max }\limits_{[ - 1;2]} f(x) = - m + 8\]và \[\mathop {\min }\limits_{[ - 1;2]} f(x) = - m - 1\] .

Nếu \[( - 1 - m)(8 - m) \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le m \le 8\] thì \[\mathop {\min }\limits_{[ - 1;2]} f(x) = 0\], không thỏa mãn đề bài.

Nếu \[ - m - 1 > 0 \Leftrightarrow m < - 1\]thì \[\mathop {\min }\limits_{[ - 1;2]} y = | - m - 1| = - m - 1\]

Khi đó \[ - m - 1 = 2 \Leftrightarrow m = - 3(t/m)\] .

Nếu \[ - m + 8 < 0 \Leftrightarrow m > 8\] thì \[\mathop {\min }\limits_{[ - 1;2]} y = | - m + 8| = m - 8\]; khi đó

\[m - 8 = 2 \Leftrightarrow m = 10(t/m).\]

Vậy tổng tất cả các phần tử của bằng 7 .

Ví dụ mẫu 2: Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số \[y = \left| {\frac{{{x^2} - mx + 2m}}{{x - 2}}} \right|\]trên đoạn [−1;1] bằng 3. Tính tổng tất cả các phần tử của S .

A. \[ - \frac{8}{3}\].

B. 5.

C. \[\frac{5}{3}\].

D. −1.

Lời giải

Chọn D

Xét hàm số \[f(x) = \frac{{{x^2} - mx + 2m}}{{x - 2}}\] trên [−1;1] có \[f'(x) = 1 - \frac{4}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\] ;

\[f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 4 \notin [ - 1;1]}\end{array};} \right.\]

\[f( - 1) = - m - \frac{1}{3};f(0) = - m;f(1) = - m - 1.\]

Suy ra: \[\mathop {\max }\limits_{[ - 1;1]} f(x) = - m\]và \[\mathop {\min }\limits_{[ - 1;1]} f(x) = - m - 1.\]

Nếu \[ - m( - m - 1) \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le m \le 0;\]

\[\mathop {\max }\limits_{[ - 1;1]} y = \left\{ {| - m - 1|;| - m|} \right\} = \left\{ {m + 1; - m} \right\}\]

Có hai khả năng \[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 = - m}\\{3 = m + 1}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = - 3}\\{m = 2}\end{array}} \right.} \right.\], không thỏa mãn.

Nếu \[f(0) = - m < 0 \Leftrightarrow m > 0\]. Khi đó \[\mathop {\max }\limits_{[ - 1;1]} y = | - m - 1| = m + 1.\]

\[ \Rightarrow m + 1 = 3 \Leftrightarrow m = 2(t/m)\]

Nếu \[ - m - 1 > 0 \Leftrightarrow m < - 1\]. Khi đó \[3 = \mathop {\max }\limits_{[ - 1;1]} \left| {f(x)} \right| = f(0) \Leftrightarrow m = - 3\].

Vậy có hai giá trị thỏa mãn là m₁ = -3, m_{2 = 2.} . Do đó tổng tất cả các phần tử của S là −1.

Ví dụ mẫu 3: Cho hàm số \[y = \left| {{x^3} - {x^2} - x + m} \right|\]với m ∈ Z . Có tất cả bao nhiêu số nguyên m để \[\mathop {\min }\limits_{[1;3]} y < 3\]?

A. 21.

B. 22 .

C. 4 .

D. 20 .

Lời giải

Chọn A

Xét hàm số \[f(x) = {x^3} - {x^2} - x + m\], x ∈ [1;3].

Ta có $f' (x) = 3 x^{2} - 2 x - 1 = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = 1 \in [1; 3] \\ x = - \frac{1}{3} \in [1; 3] \end{matrix}$

Ta có \[f(1) = m - 1,f(3) = m + 15.\]

Suy ra \[\mathop {\min }\limits_{[1;3]} f(x) = m - 1;\]\[\mathop {\max }\limits_{[1;3]} f(x) = m + 15\].

Nếu \[(m - 1)(m + 15) \le 0 \Leftrightarrow - 15 \le m \le 1;\mathop {\min }\limits_{[1;3]} y = 0 < 3\]. Trường hợp này có 17 số nguyên thỏa mãn.

Nếu \[m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > 1;\mathop {\min }\limits_{[1;3]} y = m - 1 < 3 \Rightarrow 1 < m < 4\]. Trường hợp này có 2 số nguyên thỏa mãn.

Nếu \[m + 15 < 0 \Leftrightarrow m < - 15;\mathop {\min }\limits_{[1;3]} |m + 15| < 3 \Rightarrow - m - 15 < 3 \Rightarrow - 18 < m < - 15\].Trường hợp này có 2 số nguyên thỏa mãn. Vậy có tất cả 21 số nguyên thỏa mãn.

BÀI TẬP VỀ TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT - GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Câu 1. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số \[f(x) = \left| {{x^4} + 4{x^3} - m} \right|\] trên đoạn [−4;−2] bằng 2020 ?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Câu 2. Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số \[y = \left| {\frac{{{x^2} + mx + 3m}}{{x + 3}}} \right|\]trên đoạn [−2;2] bằng 5. Gọi T là tổng tất cả các phần tử của S . Tính T .

A. T = 4.

B. T = −5 .

C. T =1.

D. T = − 4

Lời giải

Chọn D

Xét hàm số \[f(x) = \frac{{{x^2} + mx + 3m}}{{x + 3}}\], hàm số luôn xác định trên tập đang xét.

\[f'(x) = \frac{{{x^2} + 6x}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = 0 \Rightarrow {x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = - 6}\end{array}} \right.\]

Ta có\[f( - 2) = m + 4,f(0) = m;f(2) = m + \frac{4}{5}\].

Với \[g(x) = \left| {f(x)} \right| = \left| {\frac{{{x^2} + mx + 3m}}{{x + 3}}} \right|\] . Ta có \[\mathop {\max }\limits_{[ - 2;2]} g(x) = \max \{ \left| {f( - 2)} \right|;\left| {f(0)} \right|\} \].

Xét \[m(m + 4) \le 0 \Leftrightarrow - 4 \le m \le 0\]thì \[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - m = 5}\\{m + 4 = 5}\end{array} \Leftrightarrow } \right.\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = - 5}\\{m = 1}\end{array}} \right.\] (loại).

Xét với m > 0. Ta có \[\mathop {\max }\limits_{[ - 2;2]} g(x) = \left| {f( - 2)} \right| = |m + 4| = m + 4 = 5 \Rightarrow m = 1.\]

Xét với m < −4, ta có \[\mathop {\max }\limits_{[ - 2;2]} g(x) = \left| {f(0)} \right| = |m| = - m = 5 \Rightarrow m = - 5.\]

Vậy S = {−5;1} nên tổng T = (−5) + 1 = −4.

Câu 3. Cho S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số \[f(x) = \left| { - {x^4} + 2{x^2} + m} \right| + 1\] trên đoạn [0;2] bằng 6. Tổng tất cả các phần tử của S bằng

A. 7 .

B. 17 .

C. −3 .

D. −7 .

Lời giải

Chọn A

Xét hàm số \[g(x) = - {x^4} + 2{x^2} + m\] trên [0;2].

Ta có \[g'(x) = - 4{x^3} + 4x \Rightarrow g'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0 \in [0;2]}\\{x = 1 \in [0;2]}\\{x = - 1 \notin [0;2]}\end{array}} \right.\]

Ta có \[f(0) = |m| + 1;f(1) = |m + 1| + 1;f(2) = |m - 8| + 1\]

\[ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop {\max }\limits_{[0;2]} f(x) = \left| {m + 1} \right| + 1}\\{\mathop {\max }\limits_{[0;2]} f(x) = \left| {m - 8} \right| + 1}\end{array}} \right.\]

Nếu \[\mathop {\max }\limits_{[0;2]} f(x) = \left| {m + 1} \right| + 1\]\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{|m + 1| + 1 = 6}\\{|m + 1| \ge |m - 8|}\end{array} \Leftrightarrow m = 4} \right.\]

Nếu \[\mathop {\max }\limits_{[0;2]} f(x) = \left| {m - 8} \right| + 1 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{|m - 8| + 1 = 6}\\{|m - 8| \ge |m + 1|}\end{array} \Leftrightarrow m = 3} \right.\]

Vậy tổng các giá trị của m bằng 7 .

Câu 4. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \[y = \left| {{x^2} - 3x + 2 + m} \right|\]thỏa mãn \[\mathop {\min }\limits_{[ - 2;2]} y = 5\]. Tổng tất cả các phần tử của S bằng

A. \[ - \frac{{47}}{4}\].

B. −10 .

C. \[ - \frac{{31}}{4}\].

D. \[\frac{9}{4}\].

Lời giải

Chọn A

Xét hàm số \[g(x) = {x^2} - 3x + 2 + m\] trên đoạn [−2;2], có:

\[g'(x) = 0 \Leftrightarrow 2x - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}\]

Câu 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = |x + 1001| + 1

Lời giải:

A = |x + 1001| + 1

Vì |x + 1001| ≥ 0 ∀ x